131《全等三角形》教案.docx

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131《全等三角形》教案

11.1全等三角形

教学目标

①通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等．

②知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质．

③能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题．

④通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意识．

教学重点

全等三角形的有关概念和性质．

知识难点

理解全等三角形边、角之间的对应关系．

教学准备

复写纸、剪刀、半透明的纸、多媒体课件（几个重要片断中使用）等．

教材分析

本节是初中几何比较重要的一节入门课它的基础是学生已经了解三角形的基本概念，教师准备引导学生学习全等三角形，为

后面进一步学习全等三角形的判定打一个良好的基础．

通过本节学习要让学生了解怎样的两个图形是全等形，会用符号语言表示两个三角形全等．知道全等三角形的有关概念，会在全

等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角．掌握全等三角形的性质，通过演绎变换两个重合的三角形，呈现出它们之间的各种不同位置的活动，从中了解体会图形变换的思想，逐步培养动态研究几何的意识．本节课的重点是全等三角形的性质．难点是确认全等三角形的对应元素．

本节课可以通过丰富多彩的实验、投影、多媒体手段等让学生取得充分的感性认识在此基础上，教学重心应放在“全等三角形的

性质”上，因而对它的处理，不论从时间分配上，还是从教学手段的应用上都应给予高度重视．在激发学生兴趣的同时，要对学生进行必要的能力训练．

教学过程（师生活动）

设计理念

问题情境

1．展现生活中的大量图片或录像片断。

片断1：

图案．

片断2：

一幅漂亮的山水倒影画，一幅用七巧板拼成的美丽图案．

片断3：

教科书第90页的3幅图案．

2．学生讨论：

（1）从上面的片断中你有什么感受?

（2）你能再举出生活中的一些类似例子吗?

丰富的图形容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中．

它反映了现实生活中存在着大量的全等图形．

图片的收集与制作

1．收集学生讨论中的图片．

2．讨论（或介绍）用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等制作类似图形的方法．

对学生进行操作技能的培训与指导．

学生分组讨论、思考探究

1．上面这些图形有什么共同的特征?

2，有人用“全等形”一词描述上面的图形，你认为这个词是什么含义?

对学生的不同回答，只要合理，就给予认可．

教师明晰，建立模型

1．给出“全等形”、“全等三角形”的定义．

2．列举反例，强调定义的条件．

3．提出问题“你能构造一对全等三角形”吗?

你是如何构造的，与同伴交流．

4．全等三角形的对应元素及性质：

教师结合手中的教具说明（学生运用自制学具理解）对应元素（顶点、边、角）的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等（教师启发学生根据“重合”来说明道理）．

通过构图，为学生理解全等三角形的有关概念奠定基础．

解析、应用与拓广

1．学生用半透明的纸描绘教科书91页图13.1—l中的△ABC，然后按“思考题”要求在三个图中依次操作．（或播放相应的课件）体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”．

2．以图13.1—1中的两个三角形为例，介绍对应边、对应角以及两个三角形全等的符号表示、读法、写法，并说出图13.1—2、图13.1—3的对应顶点、对应边、对应角，写出相等的边和角（解释“≌”的含义和读法，并强调对应顶点写在对应位置上）．

3．总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等变换的思想．

4．学生运用自制的两块全等三角形模板，用平移、翻折、旋转等方法，先独立拼出教科书92～93页中的5个图形，说出它们的对应顶点、对应边、对应角，再与同伴交流，你还能拼出其他图形吗?

善于对基本三角形变换出各种图形，观察它们的对应边、对应角的变化，体会当公共边、公共角完全或部分重叠时，如何快速寻找．培养学生的动手操作能力．

拓展与延伸

1．议一议：

右图是一个等边三角形，

你能把它分成两个全等的三角形吗?

你能把它分成三个、四个全等的三

角形吗?

2．例1：

已知△ABC≌△DFE，∠A＝96°，∠B＝25°，DF＝10cm．求∠E的度数及AB的长．

目的是使学生在操作的过程中理解全等三角形的概念，发展空间观念．鼓励学生根据全等三角形的概念和性质，通过观察、尝试找到分割的方法，并可用分出来的图形是否重合来验证所得的结论．

巩固练习

1．全等用符号_______表示．读作_______·

2．△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示为_______·

3．△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与_______是对应角；AB与_______是对应边，BC与_______是对应边，AC与_______是对应边．

4．判断题：

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（）

（2）全等三角形的周长相等．（）

（3）面积相等的三角形是全等三角形．（）

（4）全等三角形的面积相等．（）

5.找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形．

检查学生对本节课的掌握情况．

小结与作业

课堂小结

1．回忆这节课：

在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识?

2．找全等三角形对应元素的方法，注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一定是对应顶点；

3．在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式．

对于学生的发言，教师要给予肯定的评价．

布置作业

1．必做题：

教科书92页习题13，1第l题，第2题，第3题．

2．选做题：

教科书92页习题13．1第4题，

3．备选题：

（1）如下图，一栅栏顶部是由全等的三角形组成的，其中AC＝O.15m，BC＝2AC，求BD的长．

（2）如右图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转20°后得△ADE，问：

△ABC与△ADE关系如何?

你能求出∠BAD的度数吗?

（3）如上图，△ACF与△DBE全等，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7，求线段AB的长．

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

1．本设计通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，完成对三角形全等的实验，加深对“三角形全等”“对应”含义的理解，既培养学生的画图、识图能力，又提高了逻辑思维能力．

2．“构造一对全等三角形”这样一个开放性问题的设计，学生可以采用复写纸、手撕、剪纸，扎针眼、描图等方式获得，这往往因不同学生所拥有的生活经验而有所不同．显然，不同的学生从不同的生活背景和生活阅历出发，都能得到全等三角形，彼此之间的交流可以实现他们对全等三角形关键特征的理解和认识，同时，大家在交流中都能获得理解，分享成功的快乐!

3．在整个教学过程中，学生在自主探索和合作交流中，经历了观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，而这样的过程能够促进学生对数学的真正理解和把握，从中不仅获得了数学知识、技能，而经历了数学活动的过程，体验了数学活动的方法，同时情感、态度、价值观都能得到很好的发展。

11.2三角形全等的条件

（2）

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．

②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．

③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

教学难点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．

知识重点

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．

教学过程（师生活动）

设计理念

创设情境，引入课题

多媒体出示探究3：

已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．

教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．

让学生动手操作具有“一般性"的实验，增加学生的现实感受，同时也培养学生的动手操作能力．使学生可以非常直观地获得结果．

交流对话，探求新知

根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（SAS）

补充强调：

角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．

培养学生的概括能力和语言表达能力．

归纳、分析得到的规律，使学生有更深刻的认识和理解．

应用新知，体验成功

出示例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?

让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．

（若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：

要想证AB＝DE，

只需证△ABC≌△DEC

△ABC与△DEC全等的条件现有……还需要……）

明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．

通过测量池塘两端的距离这样一个实际问题．让学生综合运用了三角形全等的判定和性质，体验数学来源于实践．又服务于实践的思想．同时使学生进一步熟悉推理论证的模式，进一步完善学生的证明书写．

再次探究，释解疑惑

出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?

为什么?

让学生模仿前面的探究方法，得出结论：

两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．

教师演示：

方法

（一）教科书98页图13.2-7．

方法

（二）通过画图，让学生更直观地获得结论．

让学生思考、交流、探讨，通过学生之间的交流、探讨活动，培养学生的协作精神，同时也释解心中的疑惑．

巩固练习

教科书第99页，练习

（1）

（2）．

教给学生寻找全等条件的方法，完善学生全等的证明书写．

小结与作业

小结提高

1．判定三角形全等的方法；

2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?

让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．

通过课堂小结，归纳整理本节课学习的内容，帮学生完善认知结构．形成解题经验．

布置作业

1．必做题：

教科书第104页，习题13．2第3、4题．

2．选做题：

教科书第105页第10题．

3．备选题：

（1）小明做了一个如图所示的风筝，测得DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦?

并说明理由．

（2）如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证BC＝DE．

让学生巩固所学知识，注意学生能力的发展．

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

八年级学生年龄、生理及心理特征还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力，思维有局限，考虑问题还不够全面．因此在本课时设计时，充分发挥了教师的主导作用，适时点拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性，主动参与到合作探讨中来，使学生在与他人的合作交流中获取新知，并使个性思维得以发展．

首先对于本节课的引入，仍然是采用了探究的形式，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现、思维，得出判定三角形全等的又一条件．同时利用一个联系实际生活的问题——测量池塘两端的距离，对得到的知识加以运用，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．最后再同样通过探究让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等，培养学生的独立思考与发散思维的能力．

在教学过程中让学生逐步学会用观察、探索、猜想来发现新知识的能力，论证、归纳等方法以及分析、化归等数学思想．同时注意与学生的情感沟通，营造亲切、和谐、活跃的课堂气氛，以激发学生积极思维，促进认知发展．

11.2三角形全等的条件（3）

教学目标

①探索并掌握两个三角形全等的条件：

“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．

③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．

教学重点

理解，掌握三角形全等的条件：

“ASA”“AAS”．

教学难点

探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．

教学过程（师生活动）

设计理念

创设情境

1．复习（用课件演示）

（1）作线段AB等于已知线段a，

（2）作∠ABC，等于已知∠α

（课件出示题目，让学生回顾作图方法，用课件演示．）

2．引入

师：

我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?

生：

“SSS”“SAS”

师：

那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?

今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

复习旧知，为探究“ASA”中的作△A'B'C'作好知识铺垫，让学生在知识上做好衔接．

复习判别两个三角形全等的两个条件，提出判别全等的新问题，激发学生探究的欲望，提高学习的积极性．

探究新知

1．师：

我们先来探究第一种情况．（课件出示“探究5……”）

（1）探究5

先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

师：

怎样画出△A'B'C'?

先自己独立思考，动手画一画。

在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决．

生：

独立探究，试着画△A'B'C'，（有问题的，可以小组内交流解决……）……

（2）全班讨论交流

师：

画好之后，我们看这儿有一种画法：

（课件出示画法，出现一步，画一步）

你是这样画的吗?

师：

把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它们是否全等．

生：

（剪△A'B'C'，与△ABC作比较……）

师：

全等吗?

生：

全等．

师：

这个探究结果反映了什么规律?

试着说说你的发现．

生1：

我发现……

生2：

……

生3：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

师：

这条件可以简写成“角边角”或“ASA”．至此，我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特别应注意，“边”必须是“两角的夹边”．

2．探究6

师：

我们再看看下面的条件：

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗?

能利用角边角条件证明你的结论吗?

师：

看已知条什，能否用“角边角”条件证明．

生独立思考，探究……再小组合作完成．

师：

你是怎么证明的?

（让小组派代表上台汇报）

小组1：

…．

小组2：

……投影仪展示学生证明过程

（根据学生的不同探究结果，进行不同的引导）

师：

从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一个什么规律?

生l：

两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等．

生2：

在"ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是“其中一个角的对边”．

师：

非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”．那怎样更完整的表述这一规律?

生1：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

师：

生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件．

强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”．

多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力．

3．例3

师：

下面我们看用"ASA”、“AAS"能否解决一些问题．

（课件出示例3）让学生自己看题、审题．

师：

根据已知条件，能得出什么?

又联系所求证的，该如何证明?

（先独立探究，再与同桌或四人小组交换意见，再全班交流）

师：

说说你的证明方法．（让学生上台讲解）

生1：

……

生2：

……

根据学生的回答，教师板书（注意，条件的书写顺序）……

师：

从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了．

4．探究7：

（1）三角对应相等的两个三角形全等吗?

（课件出示题目）

师：

想想，怎样来探究这个问题?

生1：

……

生2：

…．

引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明．

师：

这一规律我们可以怎样表达?

生1：

…．

生2：

三个角对应相等的两个三角形不一定全等．

（2）师：

说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?

生：

SSSSASASAAAS

让学生独立尝试画△A'B'C'．目的是给学生独立思考、自主探究的时间，培养独立面对问题的勇气．并在独立作图过程中，提高分析、作图能力，获得“ASA”的初步感知．

保证作图的正确性，这是探究出正确规律的前提．

不同的学生，表达语言也不同，不管是否严密，我们都应积极鼓励，加以引导，逐步严密化．

及时将新知纳入旧知，构建新的知识结构．

留给学生充分思考的时间．

让学生上台汇报，创设学生展示自己探究成果的机会．获得成功的体验．激发再次探究的热情．

留给学生较充分的独立思考、探究的时间，在探究过程中，提高逻辑推理能力．

与学生一起回顾证明方法，逐步培养反思的习惯，形成理性思维．

引导学生先确定探究的思路与方法，进一步培养理性思维．

也为学生提供创新的空间与可能．

一个良好的知识建构是以后知识有效迁移的有力的保证．

小结与作业

小结提高

师：

这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获?

让学生各抒己见，积极地在知识、学习方法、习惯等方面加以小结，以培养反思的习惯，培养理性思维．

巩固练习

教科书第101页，练习1、2．

布置作业

1。

必做题：

教科书第103页习题13.2第5题

2，选做题：

教科书第105页第11、12题，

3．备选题：

（1）图中的两个三角形有几对相等的角?

这两个三角形全等吗?

为什么?

（2）如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?

如果可以，带哪块去合适?

为什么?

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

1．在几个探究中，设计了“自主探究——合作交流”的主体形式，目的是先给学生独立思考的时间，提供给学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会。

让自己的观点与别人的观点相互碰撞与补充，共同解决一些困难，从而培养学生独立探究的能力。

创新能力、相互交流与合作的能力．

2．经历探究、发现规律之后，均安排了学生用自己的语言归纳与表达的环节．这是因为学生的归纳整理、表达能力的提高并非是一蹴而就的，而是一个循序渐进的过程．因此，我们

在每堂课中都应予以重视，并积极鼓励，让学生大胆表达．

3，在探究出新知识，或解决了一个问题后，引导学生及时对知识或方法进行回顾总结．目的是让学生及时把新知识纳入已有的知识结构，从而构建更完整、更有效的知识体系，并可以逐步培养学生反思的习惯，获得更好的学习方法，也养成理性的思维习惯．

11.2三角形全等的条件（4）

教学目标

①探索出直角三角形全等的条件—HL，并掌握，能进行简单的应用．

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力．

③通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性．

教学重点

掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．

教学难点

熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．

教学过程（师生活动）

设计理念

创设情境，引入新课

师：

我们知道，判定两个三角形全等的条件有哪些?

生：

SSS、SAS、AAS、ASA

师：

根据这些条件，对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了?

（课件显示两个直角三角形，教师指着直角三角形提问）

今天我们就来探究两个直角三角形全等的条件．

复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件．

探究新知

1．师：

两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了?

（让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答）

生1：

再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS”或“ASA”证全等了．

生2：

再满足两直角边对应相等，就可用“SAS”证全等了；

师：

那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗?

生：

（不能作肯定回答，只能作某种猜测）

2，师：

好，现在不要求马上给出结论．看看，通过动手探究，你是否能得出结论．直角三角形我们用Rt△表示．

3．探究8：

任意画出一个Rt△ABC，使／C＝90°，再画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝BC，A'B'＝AB，把画好的Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看看它们是否全等．（课件出示题目，师生一起看题）

生：

（独立探究，动手作图）

师：

遇到不能解决的问题，可提问或由四人小组解决．

师：

（看大部分同学已画好）现在请同学把自己的画法与这里出现的画法比较一下，你是否也是这样画的?

（课件出示画法，出示一步画一步）

师：

画好后，把Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗?

生：

全等．

师：

非常好．我们这样画的Rt△与原来的Rt△是全等的，这反映了一个什么规律?

（先让学生同桌互相说说，再全班交流）

生1：

……

生2：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

师：

说得非常好．这规律，我们可以简写成“斜边，直角边”或“HL”，这是不同于一般全等三角形的判定方法．

4．例4

师：

接着我们看看，“HL”能有哪一些应用?

（课件出示例4）

师：

结合图形，自己先分析一下已知条件和求证．

生：

（读题、思考）……（少数学生能很快得出方法）

师：

从这些已知条件中，我们能发现什么?

结合所求证的，你又能发现什么?

（留时间让生思考）……

师：

小组里交流你的办法和思路．哪几个小组展示自己的成果?

小组1：

AC⊥BC，BD⊥AD，又加上AC＝BD，我们能找到两个Rt△：

Rt△ADB，Rt△BCA．又因为AC＝BD已经是一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了．

小组2：

…

小组3：

…

师：

说得非常好（根据回答，及时引导，小结，并鼓励利用“HL”证明两个Rt△全等）．

师：

从这道题中我们可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt△，看看这些Rt△的关系．若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了．

比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件．

激发学生挑战新问题的积极性．

培养学生的分析、作图能力．

画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点．

让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL”这一条件．

自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心．

留给学生充分思考的时间．

让学生上台说方法，说思路，培养学生的逻辑推理能力；展示自己的探究成果，获得成功的喜悦．

与学生一起反思总结，逐步培养学生反思的习惯．

巩固练习

教科书第103页练习1、2．

小结与作业

小结提高

你有什么收获?

布置作业