解：
直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
典例4：
已知点P（4,4），圆C：
（x－m）2＋y2＝5（m<3）与椭圆E：
＋＝1（a>b>0）有一个公共点A（3,1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围．
解：
（1）点A坐标代入圆C方程，得（3－m）2＋1＝5.∵m＜3，∴m＝1.
圆C：
（x－1）2＋y2＝5.
设直线PF1的斜率为k，则PF1：
y＝k（x－4）＋4，即kx－y－4k＋4＝0.
∵直线PF1与圆C相切，∴＝.解得k＝或k＝.
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4，F1（－4,0），F2（4,0）.
2a＝AF1＋AF2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2.
椭圆E的方程为：
＋＝1.
（2）＝（1,3），设Q（x，y），＝（x－3，y－1），
·＝（x－3）＋3（y－1）＝x＋3y－6.
∵＋＝1，即x2＋（3y）2＝18，
而x2＋（3y）2≥2|x|·|3y|，∴－3≤xy≤3.
则（x＋3y）2＝x2＋（3y）2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36].
x＋3y的取值范围是[－6,6]．
∴·＝x＋3y－6的取值范围是[－12,0].
（注：
本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决）
典例5：
（2012·南师大信息卷）已知双曲线x2－＝1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点（2,3）．
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.
①若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；
②设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点为（0,9）时，求这个圆的方程．
[解]
（1）双曲线焦点为（±2,0），
设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）．
则解得a2＝16，b2＝12.故椭圆方程为＋＝1.
（2）①由已知，A（－4,0），B（4,0），F（2,0），直线l的方程为x＝8.设N（8，t）（t>0）．
∵AM＝MN，∴M.
由点M在椭圆上，得t＝6.故点M的坐标为M（2,3）．
所以
＝（－6，－3），
＝（2，－3），
·
＝－12＋9＝－3.
cos∠AMB＝
＝＝－.
②设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，
F，N三点坐标代入，得
得
圆的方程为x2＋y2＋2x－y－8＝0，
令x＝0，得y2－y－8＝0.
设P（0，y1），Q（0，y2），
由线段PQ的中点为（0,9），得y1＋y2＝t＋＝18.
此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0.
本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程．
演练5：
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0,1），Q（0,2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同
两点，直线PM与QN相交于点T．求证：
点T在椭圆C上．
解：
（1）由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝＝，解得a＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）证明：
由题意可设M，N的坐标分别为（x0，y0），（－x0，y0），则直线PM的方程为y＝x＋1，①
直线QN的方程为y＝x＋2.②
设T点的坐标为（x，y）．
联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝（2y－3）2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
典例6：
已知抛物线D的顶点是椭圆C：
＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线D的方程；
（2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．
①若直线l的斜率为1，求MN的长；
②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？
如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
[解]
（1）由题意，可设抛物线方程为y2＝2px（p>0）．由a2－b2＝16－15＝1，得c＝1.
∴抛物线的焦点为（1,0），∴p＝2.
∴抛物线D的方程为y2＝4x.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
①直线l的方程为：
y＝x－4，联立
整理得x2－12x＋16＝0，则x1＋x2＝12，x1x2＝16，
所以MN＝＝4.
②设存在直线m：
x＝a满足题意，则圆心E，过E作直线x＝a的垂线，垂足为H，
设直线m与圆E的一个交点为G.可得GH2＝EG2－EH2，
即GH2＝EA2－EH2＝－2＝y＋＋a（x1＋4）－a2
＝x1－4x1＋a（x1＋4）－a2＝（a－3）x1＋4a－a2.
当a＝3时，GH2＝3，此时直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2.
因此存在直线m：
x＝3满足题意．
以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在．
演练6：
已知椭圆C的离心率e＝，一条准线方程为x＝4，P为准线上一动点，直线PF1、PF2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F1F2为直径的圆O交于点M、N.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）探究是否存在一定点恒在直线MN上？
若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）由题意得＝，＝4，解得c＝2，a＝2，
则b2＝a2－c2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）由
（1）易知F1F2＝4，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
设P（4，t），则直线PF1方程为y＝（x＋2），
由得（t2＋36）x2＋4t2x＋4（t2－36）＝0，解得x1＝－2，x2＝－，
所以M，同理可得N.
①若MN⊥x轴，则－＝，解得t2＝12，此时点M，N的横坐标都为1，故直线MN过定点（1,0）；
②若MN与x轴不垂直，即t2≠12，
此时kMN＝＝，
所以直线MN的方程为y－＝，
即y＝（x－1），所以直线MN过定点（1,0）．
综上，直线MN过定点（1,0）．
专题技法归纳：
（1）求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2＋ny2＝1（mn≠0），这样可以避免对参数的讨论．
（2）求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求的值．
（3）在双曲线中由于e2＝1＋，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．
课后练习（十）
1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．
解析：
若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则解得12.
答案：
（－∞，1）∪（2，＋∞）
2．点P为椭圆＋＝1（a>b>0）上一点，F1，F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________．
解析：
由题意得∠F1PF2＝90°，PF1＝2ccos75°，PF2＝2csin75°，所以2c（sin75°＋cos75°）＝2a，e＝＝.
3．已知抛物线y2＝2px（p>0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．
解析：
直线AB的方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得，y2－2py－p2＝0.
则yA＋yB＝2p＝4，p＝2，准线方程为x＝－1.
4．（2011·天津高考）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．
解析：
由题设可得双曲线方程满足3x2－y2＝λ（λ>0），即
－＝1.于是c2＝＋λ＝.
又抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则c2＝＝36，于是λ＝27.
所以双曲线的方程－＝1.
5．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
＝2
，
则C的离心率为________．
解析：
不妨设椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，B点为椭圆的上顶点，F（c,0）（c＞0）为右焦点，则由
＝2
，得D点到右准线的距离是B点到右准线距离的一半，则D点横坐标xD＝，由
＝2
知，c＝2，得3c2＝a2，e＝.
6．（2011·江西高考）若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：
由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k（x－1）（k为切线的斜率），即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A，易知另一切点B（1,0），则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为（1,0），令x＝0得上顶点为（0,2）．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.
7．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双
曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
解析：
由题意知，椭圆的焦点坐标是（±，0），离心率是.故在双曲线中c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是－＝1.
8．已知双曲线C:
的右顶点、右焦点分别为A、F,它的左准线与
轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为.
9．设P点在圆x2＋（y－2）2＝1上移动，点Q在椭圆＋y2＝1上移动，则PQ的最大值是________．
解析：
圆心C（0,2），PQ
≤PC＋CQ＝1＋CQ，
于是只要求CQ的最大值．设Q（x，y），
∴CQ＝＝＝，
∵－1≤y≤1，∴当y＝－时，CQmax＝＝，
∴PQmax＝1＋.
10．（2012·辽宁高考）已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________
解析：
不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以
（2）2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝
2，所以（|PF1|－|PF2|）2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则（|PF1|＋|PF2|）2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2.
11．（2011·四川高考）过点C（0,1）的椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为.椭圆与x轴交于两点A（a
0）、B（－a,0）．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（2）当点P异于点B时，求证：
·
为定值．
解：
（1）由已知得b＝1，＝，解得a＝2，所以椭圆方程为＋y2＝1.
椭圆的右焦点为（，0），此时直线l的方程为y＝－x＋1，
代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0.解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，所以D点坐标为.
故|CD|＝＝.
（2）证明：
当直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1.
代入椭圆方程化简得（4k2＋1）x2＋8kx＝0.解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，所以D点坐标为.
又直线AC的方程为＋y＝1，直线BD的方程为y＝（x＋2），
联立解得因此Q点坐标为（－4k,2k＋1）．
又P点坐标为，所以
·
＝·（－4k,2k＋1）＝4.
故
·
为定值．
12．已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，一条准线l：
x＝2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，M是l
上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．
①若PQ＝，求圆D的方程；
②若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程．
解：
（1）由题设：
∴，∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）①由
（1）知：
F（1,0），设M（2，t），
则圆D的方程：
（x－1）2＋2＝1＋，直线PQ的方程：
2x＋ty－2＝0，
∵PQ＝，∴2＝，
∴t2＝4，∴t＝±2.
∴圆D的方程：
（x－1）2
＋（y－1）2＝2或（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
②证明：
法一：
设P（x0，y0），
由①知即
消去t得x＋y＝2
∴点P在定圆x2＋y2＝2上．
法二：
设P（x0，y0），则直线FP的斜率为kFP＝.
∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为kOM＝，
∴直线OM的方程为y＝－x，点M的坐标为M.
∵MP⊥OP，∴
·
＝0，
∴x0（x0－2）＋y0＝0
∴x＋y＝2，∴点P在定圆x2＋y2＝2上．
升级会员 