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初中数学论文中考数学新定义试题浅析
初中数学论文：
中考数学“新定义”试题浅析
中考数学“新定义”试题浅析 随着新课改的深入，中考试题中考查学生的学习能力，促进学生发展的创新型试题不断地涌现。
而“新定义”试题是创新型试题的主要表现之一，也是2009年中考数学试题中的一个热点。
“新定义”试题具有新颖公平的问题背景，且与已学数学知识密切关联的知识基础，能有效考查学生的数学阅读理解能力和运用已学知识分析问题、解决问题的综合能力，在中考试题中有较好地效度。
现举例说明如下：
考点一：
利用“新定义”构建数、式模型例1、李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：
如图，在数 轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后再均匀地拉成1 个单位长度的线段，这一过程称为一次操作．那么在线段AB上的点中，在第二次操作422后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是____________． A B 0121?
3?
2?
10123456789101112 1311，均变成，变成1，∴在第二次操作后，44221313原线段AB上的，均变成1，∴点所对应的数之和是?
?
1。
4444解：
∵在第一次操作后，原线段AB上的 【剖析】本题是一道PISA型试题，以学生已学的数轴和已有的生活经验为基础，对某种操作进行了新的定义。
解答本题，关键是要读懂新定义中“一次操作”的真正含义：
先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度。
第一次操作后，在拉长后 1处为对折点，均匀21131变成1，原线段AB上的，均变成，这在题目中已有提示。
第二次操作后，2442113在线段处有两个数和为对折点，均匀拉长后这两个数都江堰市变为1，根据题意， 24413在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为和，这样马上可以得出结论。
4413解：
?
?
1。
本题是对学生的抽象概括、空间想象能力要求较高。
44 例2、若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式 为完全对称式，如a?
b?
c就是完全对称式.下列三个代数式：
①（a?
b）2；② ab?
bc?
ca； ③ab?
bc?
ca．其中是完全对称式的是（A） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解：
新定义“完全对称式”知，①?
a?
b?
?
?
b?
a?
，所以是完全对称式；②若将a、b字母交换，则ab?
bc?
ca变为ba?
ac?
bc，∵ab?
bc?
ca=ba?
ac?
bc，∴是完全对 22c称式；③若将a、b字母交换，则ab?
b?
22c变a为b2a?
a?
c222222c，b∵ 2a2b?
b?
c22c?
ab2a?
a?
c2c，∴不是完全对称式。
b 所以答案应选择为 【剖析】本题是以已学的整式的乘除、乘法公式为知识为基础，对代数式的变换进行了新的定义。
解答本题，关键是要读懂新定义中数学的本质含义，在理解“新定义”的基础上，再进行具体的代入、计算、判断，就能把问题解决。
考点二：
利用“新定义”构建方程、函数模型 例3、对于任意两个实数对和，规定：
当且仅当a＝c且b＝d时，=．定义运算“?
”：
?
=．若?
=，则p＝ ，q＝ ． 解：
新定义“?
”运算规定得：
∵?
=，∴?
=?
p?
2q,q?
2p?
，∴?
p?
2q,q?
2p?
?
?
5,0?
∴?
?
p?
2q?
5?
p?
1，解得：
?
，所以答案为：
1，–2; ?
q?
2p?
0?
q?
?
2【剖析】本题是以学生已学的实数运算和二元一次方程组为知识基础，给出了一个新定义的运算法则，学生在阅读和理解新运算的基础上，来解决与新运算有关的问题。
这类试题考查了学生的逻辑推理能力，一般到特殊地读懂新运算的本质，关键是要准确理解新符号的数学意义。
例4、某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如 下：
第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1?
1，y1?
1，当k≥2时， k?
1k?
2?
x?
x?
1?
5（?
）kk?
1?
?
55，[a]表示非负实数a的整数部分，例如=2，?
?
y?
y?
[k?
1]?
[k?
2]kk?
1?
55?
=0。
按此方案，第2009棵树种植点的坐标为 A. B. C. D解：
从特殊点的坐标出发，来探求它的变化周期性，从而来得出一般性的结论。
∵x2?
1?
1?
5?
?
?
?
?
?
?
?
2?
5?
0?
2，y2?
1?
?
?
?
?
?
?
1?
0?
1，∴p1?
1,1?
5555∵x3?
2?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
3?
5?
0?
3，y3?
1?
?
?
?
?
?
?
1?
0?
1，∴P2?
2,1?
5555同理可得：
PPPP,2?
，PPPP3?
3,1?
，4?
4,1?
，5?
5,1?
，6?
17?
2,2?
，8?
3,2?
，9?
4,2?
，10?
5,2?
， ?
?
1?
?
0?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
0?
?
?
?
?
?
?
2?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
2?
?
1?
?
?
?
?
P,3?
，…，得出五个数的循环。
所以2009?
5?
401……4，11?
1所以x2009?
x4?
4，y2009?
401?
1?
402，因此得结论P2009?
4,402?
。
【剖析】本题是一道探索性试题，以学生已学的点的坐标和已有的探究经验为基础，对[a]的数学符号进行了新的定义,即：
[a]表示非负实数a的整数部分。
解答本题，关键是要读懂新定义中“[a]”的真正含义，先通过对特殊和简单数的探索对折再拉长到与原线段长度相 1处为对折点，均2例5、已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像 等的线段即为1个单位长度。
第一次操作后，在 上的点，当四边形ABCD为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。
例如：
如图，正方形ABCD是一次函数y?
x?
1图像的其中一个伴侣正方形。
若某函数是一次函数y?
x?
1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；若某函数是反比例函数y?
k（k?
0），他的图像的伴侣正方形为ABCD，点Dx2在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式； 若某函数是二次函数y?
ax?
c（a?
0），它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ，写出符合题意的其中一条抛物线解析式 ，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个 数是奇数还是偶数？
。
（本小题只需直接写出答案） 简解：
如图，正方形边长为12；32；x1223?
?
1,3?
，?
7,?
3?
，?
?
4,7?
，?
4,1?
对应的函数为y?
x?
， 88722233213255y?
x?
，y?
x?
，y?
x?
。
40407777如图，∵△ADE≌△BAD≌△CBF，∴解得反比例函数为y?
【剖析】本题以正方形和一次函数、反比例函数、二次函数为知识基础 和问题背景，给出了“函数图像的伴侣正方形”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”，看懂函数图象。
本题主要考查了全等三角形、点坐标、函数图象等相关知识和数形结合思想的运用，考查学生综合运用知识的能力。
例6、阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
S?
ABC?
平宽与铅垂高乘积的一半. 1ah，即三角形面积等于水2yCB 铅垂高 CD1O 水平宽a 1 A x hB 解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0），交y轴于点B.求抛物线和直线AB的解析式； 点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?
CAB；是否存在一点P，使S△PAB=明理. 简解：
解：
（1）y1?
?
（x?
1）2?
4?
?
x2?
2x?
3 9S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说8y2?
?
x?
3
（2）CD＝4-2＝2 S?
CAB?
1?
3?
2?
3（平方单位）222（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x， △PAB的铅垂高为h，则铅垂高h?
y1?
y2?
（?
x?
2x?
3）?
（?
x?
3）?
?
x?
3x 1992S△CAB，得：
?
3?
（?
x?
3x）?
?
382832化简得：
4x?
12x?
9?
0，解得，x?
233152将x?
代入y1?
?
x?
2x?
3中，解得P点坐标为（,） 224S△PAB= 【剖析】本题以阅读材料的形式提出了新定义：
△ABC的“水平宽”、“铅垂高（h）”，从而得出一种计算三角形面积的新方法：
S?
ABC?
1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积2的一半.运用新定义中的新方法，可解答一类在以抛物线为背景下的斜三角形的最大面积问题，解答本题，关键是读懂“新定义”和理解运用新公式。
本题主要考查学生阅读理 解能力和数形结合思想的运用。
以 考点三：
利用“新定义”构建四边形、相似形模型例7、定义：
到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的 点叫凸四边形的准内点．如图1，PH?
PJ，PI?
PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．E AJ ABGJGPDHDIPCIF图3图4 图2BCH 图1如图2，?
AFD与?
DEC的角平分线FP,EP相交于点P．求证：
点P是四边形ABCD的准内点． 分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点． 判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．②任意凸四边形一定只有一个准内点． ③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA?
PB?
PC?
PD 或PA?
PC?
PB?
PD．（ ） 简解：
如图2，过点P作PG?
AB,PH?
BC,PI?
CD,PJ?
AD，∵EP平分?
DEC，∴PJ?
PH． 同理PG?
PI，∴P是四边形ABCD的准内点．GHADADA EGPPE11BCBCFB 图3 图3 DP2图4 FC平行四边形对角线AC,BD的交点P1就是准内点，如图3.或者取平行四边形两对边中点连线的交点P；1就是准内点，如图3梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点．如图4.真；真；假． 【剖析】本题以四边形、特殊四边和角平分线的性质为知识基础，给出了“四边形ABCD的准内点”的新定义，解答本题，关键是读懂”新定义”和看懂几何图形，理解点到直线的距离和 角平分线的性质是解题的关键。
本题主要考查学生的数学阅读理解能力、逻辑推理能力和画图操作能力。
例8、若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM，BM，?
AMB?
90°，则点M为直角点．若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？
M并说明理；D若点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，且AB?
4，BC?
3，求MN的长．解：
AB=2AD，如图 ∵直角点M为CD边的中点，∴MD=MC，∵AD=BC，∠D=∠C=Rt∠, ∴△ADM≌△ADM，∴∠AMD=∠BMC∵∠AMB=Rt∠,∴∠AMD+∠BMC=90° ∴∠AMD=∠BMC=45°，∴AD=DM，∴AB=2AD如图，作MH⊥AB于点H，连结MN，∵∠AMB=90°，∴∠AMD+∠BMC=90°，∵∠AMD+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠BMC，又∵∠D=∠C，∴△ADM∽△MCB，∴ ADC B MCA
（1）BADDM34?
MC?
，既，∴MC?
1或3。
?
MCBCMC3当MC?
1时，AN?
1，NH?
2。
∴MN?
MH?
NH?
∴MN?
7当MC?
3时，MN?
BC?
3【剖析】本题以全等三角形、矩形和相似三角形为知识基础，给出了“直角点”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”和看懂几何中的基本图形。
本题主要考查学生逻辑推理能力和分类讨论思想的运用，以及解方程和计算能力。
解答本题，可从不同角度和思路来解答，是一道解法多样性的试题。
年湖州市）若P为△ABC所在平面上一点，且?
APB?
?
BPC?
?
CPA?
120°，则点P叫做△ABC的费马点.若点P为锐角△ABC的费马点，且 AB?
?
ABC?
60°，PA?
3，PC?
4，则PB的值为________；例 9、题B222?
3?
2?
22?
7
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