圆锥曲线的原理最详细图解平面与圆锥面的截线.docx

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圆锥曲线的原理最详细图解平面与圆锥面的截线

平面与圆锥面的截线

一、直观感受：

观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？

改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：

二、分类探究：

从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：

将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。

如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？

如下图：

归纳提升：

定理  在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：

（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：

利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：

β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.

如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.

下面证明：

β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：

换个角度看图：

容易知道：

截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.

四、知识运用

用图霸制作三维直观图：