湘教版数学初二上册全册教案.docx

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湘教版数学初二上册全册教案

第1章　分式

1.1　分式

第1课时　分式

1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.

2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.（重难点）

3.能根据字母的取值求分式的值.（重点）

4.能用分式表示现实情境中的数量关系.（重点）

自学指导：

阅读教材P2～3，完成下列问题.

（一）知识探究

1.一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g（g中含有字母），所得商叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.

2.

（1）分式存在的条件是g≠0；

（2）分式不存在的条件是g＝0；（3）分式的值为0的条件是f＝0，g≠0.

（二）自学反馈

1.下列各式中，哪些是分式？

①；②；③；④；⑤；⑥2x2＋；⑦；⑧－5；⑨3x2－1；⑩；⑪5x－7.

解：

分式有①②④⑦⑩.

　判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.

2.当x取何值时，下列分式的值不存在？

当x取何值时，下列分式的值等于0?

（1）；

（2）.

解：

（1）当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式的值不存在.当x＝3时，分式的值等于0.

（2）当3－2x＝0时，即x＝时，分式的值不存在.当x＝－5时，分式的值等于0.

　分母是否为0决定分式的值是否存在.

活动1　小组讨论

例1　列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？

哪些是分式？

（1）甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；

（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；

（3）x与y的差除以4的商是多少.

解：

（1）；分式.

（2）a＋b，a－b；整式.（3）；整式.

例2　当x取何值时，分式的值存在？

当x取何值时，分式的值为零？

解：

当的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；

当的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝.

　分式的值存在的条件：

分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：

分式的分母等于0.分式值为0的条件：

分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.

活动2　跟踪训练

1.下列各式中，哪些是分式？

①；②；③；④；⑤x2.

解：

①③是分式.

2.当x取何值时，分式的值存在？

解：

3x－2≠0，即x≠时，存在.

3.求下列条件下分式的值.

（1）x＝1；

（2）x＝－1.

解：

（1）当x＝1时，＝－.

（2）当x＝－1时，＝－.

活动3　课堂小结

1.分式的定义及根据条件列分式.

2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.

第2课时　分式的基本性质

1.理解并掌握分式的基本性质.（重点）

2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.（重难点）

自学指导：

阅读教材P4～6，完成下列问题.

（一）知识探究

1.分式的基本性质：

分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为＝（h≠0）.

2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分.

3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.

（二）自学反馈

1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）＝（c≠0）；

（2）＝.

解：

（1）由c≠0，知＝＝.

（2）由x≠0，知＝＝.

　应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.

2.填空，使等式成立：

（1）＝（其中x＋y≠0）；

（2）＝.

　在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.

3.约分：

（1）；

（2）.

解：

（1）公因式为ab，所以＝ac.

（2）公因式为8a2b2，所以＝－.

活动1　小组讨论

例1　约分：

（1）；

（2）；（3）.

解：

（1）＝－.

（2）＝.

（3）＝＝.

　约分的过程中注意完全平方式（a－b）2＝（b－a）2的应用.像（3）这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.

例2　先约分，再求值：

，其中x＝3，y＝1.

解：

＝＝.

当x＝3，y＝1时，＝.

活动2　跟踪训练

1.约分：

（1）；

（2）.

解：

（1）＝.

（2）＝＝－.

2.先约分，再求值：

（1），其中m＝1，n＝2；

（2），其中x＝2，y＝4.

解：

（1）＝＝＝1.

（2）＝＝＝＝－.

活动3　课堂小结

1.分数的基本性质.

2.约分、化简求值.

1.2　分式的乘法和除法

第1课时　分式的乘法和除法

1.理解分式的乘、除法的法则.（重点）

2.会进行分式的乘除运算.（重难点）

自学指导：

阅读教材P8～9，完成下列问题.

（一）知识探究

分式的乘、除法运算法则：

（1）分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为·＝.

（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：

如果u≠0，则规定÷＝·＝.

（二）自学反馈

1.计算·的结果是.

2.化简÷的结果是m.

3.下列计算对吗？

若不对，要怎样改正？

（1）·＝1；

（2）÷a＝b；

（3）·＝；（4）÷＝.

解：

（1）对.

（2）错.正确的是.（3）错.正确的是－.（4）错.正确的是.

活动1　小组讨论

例1　计算：

（1）·；

（2）÷.

解：

（1）原式＝＝＝.

（2）原式＝·＝－＝－.

例2　计算：

（1）·；

（2）÷.

解：

（1）原式＝·＝＝.

（2）原式＝·＝·＝＝－.

　整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.

活动2　跟踪训练

1.计算：

（1）·；

（2）÷8x2y；（3）－3xy÷.

解：

（1）原式＝＝.

（2）原式＝·＝＝.

（3）原式＝－3xy·＝－＝－.

（2）和（3）要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.

2.计算：

（1）÷；

（2）÷（x＋3）·.

解：

（1）原式＝·＝·＝＝.

（2）原式＝··＝··＝－.

　分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.

活动3　课堂小结

1.分式的乘、除运算法则.

2.分式的乘、除法法则的运用.

第2课时　分式的乘方

1.理解分式乘方的运算法则.（重点）

2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.（重难点）

自学指导：

阅读教材P10～11，完成下列问题.

（一）知识探究

分式的乘方法则：

分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为（）n＝.（其中n为正整数）

（二）自学反馈

1.计算：

（1）（）2；

（2）（－）3.

解：

（1）（）2＝.

（2）（－）3＝－.

2.计算：

（1）（－）2·；

（2）（3a2b）2÷（－）2.

解：

（1）原式＝·＝b.

（2）原式＝9a4b2÷＝9a4b2·＝36a6.

活动1　小组讨论

例1　计算：

（1）（）3；

（2）（）3.

解：

（1）（）3＝.

（2）（）3＝＝.

　分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.

例2　计算：

（1）m3n2÷（）3；

（2）（－）2÷（）3·（）3.

解：

（1）m3n2÷（）3＝m3n2÷＝m3n2·＝n5.

（2）（－）2÷（）3·（）3＝÷·＝··＝.

　分式混合运算，要注意：

（1）化除法为乘法；

（2）分式的乘方；（3）约分化简成最简分式.

活动2　跟踪训练

1.计算：

（1）·÷；

（2）÷·；

（3）（）2÷（a－1）·.

解：

（1）原式＝··＝.

（2）原式＝··＝－.

（3）原式＝··＝.

2.计算：

（1）（）3；

（2）（）2÷·（）3.

解：

（1）原式＝＝－.

（2）原式＝··＝－.

3.化简求值：

÷（）2·，其中a＝，b＝－3.

解：

化简结果是ab；求值结果为－.

　化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.

活动3　课堂小结

1.分式乘方的运算.

2.分式乘除法及乘方的运算方法.

1.3　整数指数幂

1.3.1　同底数幂的除法

1.理解同底数幂的除法法则.（重点）

2.熟练进行同底数幂的除法运算.（重难点）

自学指导：

阅读教材P14～15，完成下列问题.

（一）知识探究

同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a≠0，m，n是正整数，且m＞n，则＝＝am－n.

（二）自学反馈

1.计算a10÷a2（a≠0）的结果是（C）

A.a5　　　B.－a5　　　　　　C.a8　　　　　　D.－a8

2.计算：

x5÷（－x）2＝x3；（ab）5÷（ab）2＝a3b3.

活动1　小组讨论

例1　计算：

（1）；

（2）.

解：

（1）＝－x5－3＝－x2.

（2）＝＝－x3y3.

例2　计算：

（x－y）6÷（y－x）3÷（x－y）.

解：

原式＝（x－y）6÷[－（x－y）]3÷（x－y）＝－（x－y）6－3－1＝－（x－y）2.

活动2　跟踪训练

1.计算：

（1）；

（2）.

解：

（1）原式＝a3.

（2）原式＝1.

2.计算：

（p－q）4÷（q－p）3·（p－q）2.

解：

原式＝（p－q）4÷[－（p－q）3]·（p－q）2＝－（p－q）·（p－q）2＝－（p－q）3.

活动3　课堂小结

同底数幂的除法的运算.

1.3.2　零次幂和负整数指数幂

1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.（重难点）

2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.（重点）

3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.（重难点）

自学指导：

阅读教材P16～18，完成下列问题.

（一）知识探究

1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1（a≠0）.

2.a－n＝（n是正整数，a≠0）.

（二）自学反馈

1.计算：

30＝1；（－2）－3＝－.

2.用科学记数法表示数0.0002016为2.016×10－4.

3.计算：

23－（）0－（）－2.

解：

原式＝8－1－4＝3.

活动1　小组讨论

例1　计算：

（1）3－2；

（2）（10）－3；（3）（）－2.

解：

（1）3－2＝＝.

（2）10－3＝＝0.001.

（3）（）－2＝（）2＝.

例2　把下列各式写成分式的形式：

（1）3x－3；

（2）2x－23y－3.

解：

（1）3x－3＝.

（2）2x－23y－3＝.

例3　用科学记数法表示下列各数：

（1）0.0003267；

（2）－0.0011.

解：

（1）0.0003267＝3.267×10－4.

（2）－0.0011＝－1.10×10－3.

活动2　跟踪训练

1.计算：

（－2）0＝1；3－1＝.

2.把（－100）0，（－3）－2，（－）2按从小到大的顺序排列为（－100）0>（－）2＝（－3）－2.

3.计算：

（－1）2012×（3－π）0＋（）－1.

解：

原式＝1×1＋2＝3.

活动3　课堂小结

1.零次幂和整数指数幂的运算性质.

2.零指数幂和负整数指数幂的意义.

3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.

1.3.3　整数指数幂的运算法则

1.理解整数指数幂的运算法则.（重点）

2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.（重难点）

自学指导：

阅读教材P19～20，完成下列问题.

（一）知识探究

1.am·an＝am＋n（a≠0，m，n都是整数）.

2.（am）n＝amn（a≠0，m，n都是整数）.

3.（ab）n＝anbn（a≠0，b≠0，m，n都是整数）.

（二）自学反馈

计算：

（1）a3·a－5＝a－2＝；

（2）a－3·a－5＝a－8＝；

（3）a0·a－5＝a－5＝；（4）am·an＝am＋n（m，n为任意整数）.

　am·an＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.

活动1　小组讨论

例1　计算：

（1）（a－1b2）3；

（2）a－2b2·（a2b－2）－3.

解：

（1）原式＝a－3b6＝.

（2）原式＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.

例2　下列等式是否正确？

为什么？

（1）am÷an＝am·a－n；

（2）（）n＝anb－n.

解：

（1）正确.理由：

am÷an＝am－n＝am＋（－n）＝am·a－n.

（2）正确.理由：

（）n＝＝an·＝anb－n.

活动2　跟踪训练

1.下列式子中，正确的有（D）

①a2÷a5＝a－3＝；②a2·a－3＝a－1＝；③（a·b）－3＝＝；④（a3）－2＝a－6＝.

A.1个　　　　　　B.2个　　　　　　C.3个　　　　D.4个

2.计算：

[x（x2－4）]－2·（x2－2x）2＝.

活动3　课堂小结

牢记整数指数幂的运算法则.

1.4　分式的加法和减法

第1课时　同分母分式的加减法

1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.（重点）

2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.（重难点）

自学指导：

阅读教材P23～24，完成下列问题.

（一）知识探究

1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，±＝.

2.＝＝－，＝.

（二）自学反馈

1.计算：

＋＝；－＝.

2.计算：

（1）－；

（2）－.

解：

（1）－＝＝＝1.

（2）－＝＋＝＝a－b.

活动1　小组讨论

例1　计算：

（1）＋；

（2）－.

解：

（1）原式＝＝＝1.

（2）原式＝＝＝＝.

例2　计算：

（1）－；

（2）－.

解：

（1）原式＝＋＝.

（2）原式＝－＝＋＝＝.

活动2　跟踪训练

1.化简＋的结果是（D）

A.x＋1　　　　　　　　　　　B.x－1

C.－x　　　　　　D.x

2.化简－的结果是（A）

A.a＋b　　　　　　B.a－b

C.a2－b2　　　　　　D.1

3.计算：

（1）－；

（2）＋－.

解：

（1）原式＝＝1.

（2）原式＝＝0.

　1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；

2.注意：

计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.

活动3　课堂小结

1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.

2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）.

第2课时　通分

1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.（重点）

2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.（重难点）

自学指导：

阅读教材P25～26，完成下列问题.

（一）知识探究

1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.

2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.

3.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.

（二）自学反馈

1.，的最简公分母是6xy.

2.对分式，，通分时，最简公分母是12xy2.

3.通分：

（1）与；

（2）与.

解：

（1）＝＝；－＝－＝－.

（2）＝，＝.

活动1　小组讨论

例1　通分：

（1）与；

（2）与.

解：

（1）最简公分母是2a2b2c.

＝＝，

＝＝.

（2）最简公分母是（x＋5）（x－5）.

＝＝，

＝＝.

例2　通分：

（1）与；

（2）与.

解：

（1）最简公分母是4b2d.

＝，＝.

（2）最简公分母是2（x＋2）（x－2）.

＝＝，

＝＝＝－.

活动2　跟踪训练

1.分式，的最简公分母为（B）

A.（x＋2）（x－2）　　　　　　　　　B.2（x＋2）（x－2）

C.2（x＋2）（x－2）2　　　　　　D.－（x＋2）（x－2）2

2.分式，，的最简公分母是x（x＋1）2（x－1）.

3.通分：

（1）与；

（2）与；（3）与.

解：

（1）＝，＝.

（2）＝，＝.

（3）＝，＝.

活动3　课堂小结

1.确定最简公分母.

2.将异分母分式通分.

第3课时　异分母分式的加减法

1.熟练掌握求最简公分母的方法.

2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.（重难点）

自学指导：

阅读教材P27～29，完成下列问题.

（一）知识探究

异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.

（二）自学反馈

1.化简分式＋的结果是（C）

A.x　　　　　　　　　　　　　　　B.

C.　　　　　　D.

2.下列计算正确的是（D）

A.＋＝　　　　　　B.－＝

C.＋1＝　　　　　　D.－＝

活动1　小组讨论

例1　计算：

（1）＋；

（2）－.

解：

（1）原式＝＋＝.

（2）原式＝－＝.

例2　计算：

（1）（1－）÷；

（2）＋.

解：

（1）原式＝·＝·＝a－b.

（2）原式＝＋＝＝.

活动2　跟踪训练

1.计算（＋）÷的结果为（A）

A.a　　　　　　B.－a

C.（a＋3）2　　　　　　D.1

2.化简（1＋）÷的结果是（A）

A.　　　　　　B.

C.　　　　　　D.

3.化简·＋的结果是.

4.化简（1－）（m＋1）的结果是m.

　1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；

2.注意：

化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.

活动3　课堂小结

1.分式加减运算的方法思路：

2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.

3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）.

1.5　可化为一元一次方程的分式方程

第1课时　可化为一元一次方程的分式方程

1.理解分式方程的意义.

2.了解分式方程的基本思路和解法.（重点）

3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.（重点）

自学指导：

阅读教材P32～34，完成下列问题.

（一）知识探究

1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.

2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.

3.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.

（二）自学反馈

1.下列方程中，哪些是分式方程？

哪些是整式方程？

①＝；②＋＝7；③＝；④＝－1；⑤＝；⑥2x＋＝10；⑦x－＝2；⑧＋3x＝1.

解：

①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.

　判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.

2.解分式方程的一般步骤是：

（1）去分母；

（2）解整式方程；（3）验根；（4）小结.

活动1　小组讨论

例1　解方程：

＝.

解：

方程两边同乘x（x－3），得2x＝3（x－3）.

解得x＝9.

检验：

当x＝9时，x（x－3）≠0.

所以，原分式方程的解为x＝9.

例2　解方程：

－1＝.

解：

方程两边同乘（x－1）（x＋2），得x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3.

解得x＝1.

检验：

当x＝1时，（x－1）（x＋2）＝0.

所以x＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.

活动2　跟踪训练

解方程：

（1）＝；

（2）＝＋1；（3）＝；（4）－＝0.

解：

（1）方程两边同乘2x（x＋3），得x＋3＝4x.化简得3x＝3.解得x＝1.

检验：

当x＝1时，2x（x＋3）≠0.所以x＝1是方程的解.

（2）方程两边同乘3（x＋1），得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－.

检验：

当x＝－时，3x＋3≠0.

所以x＝－是方程的解.

（3）方程两边同乘x2－1，得2（x＋1）＝4.解得x＝1.

检验：

当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解.所以原方程无解.

（4）方程两边同乘x（x＋1）（x－1），得5（x－1）－（x＋1）＝0.解得x＝.

检验：

当x＝时，x（x＋1）（x－1）≠0.

所以x＝是原方程的解.

　方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.

活动3　课堂小结

解分式方程的思路是：

第2课时　分式方程的应用

能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.（重难点）

自学指导：

阅读教材P35～36，完成下列问题.

（一）知识探究

列分式方程解应用题的一般步骤是：

（1）审题设未知数；

（2）找等量关系列方程；

（3）去分母，化分式方程为整式方程；

（4）解整式方程.

（5）验根是否符合实际意义；

（6）答题.

（二）自学反馈

重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？

甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖÷4＝，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖；两台挖土机一天共挖＋；两台一天完成另一半.所以列方程为＋＝；解得x＝，即乙单独挖需天.

　认真分析题意.根据等量关系列方程.

活动1　小组讨论

例　甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？

分析：

路程

速度

时间

甲

18＋1×2

x＋0.5

乙

18

x

等量关系：

t甲＝t乙.

解：

设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为（x＋0.5）千米/小时.

根据题意，列方程得

＝.

解得x＝4.5.

检验：

当x＝4.5时，x（x＋0.5）≠0.

所以x＝4.5是原方程的解.则x＋0.5＝5.

答：

甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.

　等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米.

活动2　跟踪训练

1.A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度.

解：

设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时.

根据题意，列方程得＝.

解得x＝9.

检验：

当x＝9时，10x≠0.

所以，x＝9是原方程的解.

则2x＝18，5x＝45.

答：

大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.

　等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.

2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？

解：

设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需（x＋3）天，根据题意，列方程得

＋＝1.解得x＝6.

检验：

当x＝6时，x（x＋3）≠0.所以，x＝