初中数学九年级数学竞赛试题及答案.docx
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初中数学九年级数学竞赛试题及答案
九年级数学竞赛试卷
一、填空（每小题3分，共30分）
1
m是方程
x
x
10
的一个根，则代数式
m
m
、已知
2
2
2、一名同学在掷骰子，连续抛了
9次都没有点数为
6的面朝上，当他掷第
10次时，点数为
6的面朝上是
事件。
、已知a
b2
3
1,ab
3,则
（a
1）（b
1）
3
4、如图，⊙O是
ABC
的外接圆，
C
300
，AB
2cm，
则⊙O的半径为
cm。
5
x
1
是关于x
的方程
2x
2
ax
a
2
0
的一个根，则a
_______
．
、已知
6、如图，如果从半径为
9cm的圆形纸片剪去
1圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不
重叠），那么这个圆锥的高为_______cm。
3
A
B
A
C（C）
B
7、如图，将一块斜边长为12cm，B
60°的直角三角板
ABC，绕点C沿逆时针方向旋转
90°至△ABC
的位置，再沿CB向右平移，使点
B刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是
cm．
8、如图，A是第一象限里的点，点
B是点A关于原点的对称点，
点C是点A关于x轴的对称点，则以点A，B，C为顶点的三角
形是
三角形。
9、如图是44正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
10、已知：
关于x的一元二次方程x2
（Rr）x
1d2
0没有实数
4
根，其中R、r分别为⊙O1
和⊙O2
的半径，
d为此两圆的圆心距，则⊙
O1和⊙O2的位置关系
为
。
二、选择题（每小题
3分，共
18分）
11、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A
B
C
D
12、如图所示，电路图上有A、B、C三个开关和一个小灯泡，闭合开关
使小灯泡发光．现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（
C或者同时闭合开关
）．
A、B，都可
A、2
B、1
C、1
D、1
A
B
3
2
3
4
C
13
、已知：
m，n是两个连续自然数
（mn）
，且
q
mn
．设
pq
n
qm，则p（
）
Ａ．总是奇数
Ｂ．总是偶数
Ｃ．有时是奇数，有时是偶数
Ｄ．有时是有理数，有时是无理数
14、如图，⊙O内切于ABC，切点分别为
D，E，F，已知
B
500，
C
600，连接OE、OF、DE、
DF，那么
EDF等于（
）
A、550
B、400
C、650
D、700
15、为执行“一免一补”政策，我市
2006年投入教育经费
2500万元，预计
2008年投入3600万元．设这
两年投入教育经费的年平均增长百分率为
x，则下列方程正确的是（
）
Ａ．2500x2
3600
Ｂ．
Ｃ．2500（1
x%）2
3600
Ｄ．
2500（1x）23600
2500（1x）2500（1x）23600
16、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好
Ｏ
经过圆心O，则折痕AB的长为（
）
Ａ．2cm
Ｂ．
3cm
Ｃ．2
3cm
Ｄ．25cm
Ａ
Ｂ
三、解答题（第
17题6分，18、19
题7分共20分）
17、计算：
2
（2
1）
27
3
12
2
18、如图，ABC中，ACBRt，AB8,BC2，求斜边AB
上的高CD．
19、小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏．她们用四种字母做成10只棋子，其中A棋1只，B棋2只，C棋3只，D棋4只．
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；
②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；③相同棋子不分胜负．
（1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少?
（2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少
?
（3）已知小玲先摸一只棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大?
四、每小题8分，共16分。
20、如图，已知ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点。
（1）请你借助旋转知识说明AMBMCM；
（2）线段AM是否存在最大值？
若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由。
21、如图，已知：
AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，
ACD1200，BD=5。
（1）求证：
CA=CD；
（2）求⊙O的半径。
五、第22题8分，第23题9分共17分
22、某超市销售一批羽绒服，平均每天可售20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当
降价，如果每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，如果超市要保证平均每天要盈利1200元，同
时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？
23、已知x1，x2是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2的值；
（2）若x，x是某直角三角形的两直角边的长，问当实数
12
m，p满足什么条件时，此直角三角形的面
积最大？
并求出其最大值．
六、第24题9分，第24、已知：
如图①，∠
25题10分共19分
ACD=90°，AC=2，点
B为
CG边上的一个动点，连接
AB，将△
ACB沿
AB边所在的直
线翻折得到△
ADB，过点
D作DF⊥CG于点
F。
23
（1）当BC=3时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）如图②，点B在CG上向点C运动，直线FD与AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=
∠BAD=∠DAH时，求BC的长。
25、在图1—5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝
2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例
当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉
△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
思考发现
F
AEDH
G
BC
（2b＜a）
图1
小明在操作后发现：
该剪拼方法就是先将
△FAG绕点F逆时针旋转
90°到△FEH的位置，易知EH与
AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺
时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形
FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M
（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判
定方法，可以判断出四边形
FGCH是正方形．
实践探究
（1）正方形FGCH的面积是
；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图
1的剪拼方法，请你就图
2、图3、图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意
图．
F
F
F
A
A
E
（E）D
D
A
E
D
B
C
B
C
B
C
（2b＝a）
（a＜2b＜2a）
F
（b＝a）
图2
图3
图4
联想拓展
小明通过探究后发现：
当b≤a时，此类图形都能
方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增移．
剪拼成正
A
D
E
大不断上
BC
（b＞a）
图5
当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？
若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
附参考答案：
一、1、1；2、随机；3、
3；4、2；
5、1或－2；6、35；7、623
8、等腰直角三角形；9、如图所示：
10、外离（注：
写“相离”者不给分）
二、11、D;12、C;13、D;14、A;15、B;16、C;
三、17：
解：
原式＝2＋1－（94）⋯⋯⋯⋯3分
＝3－1⋯⋯⋯⋯5分
＝2⋯⋯⋯⋯6分
18、解：
AC＝AB2BC2826⋯⋯⋯⋯2分
11
∵S△ABC＝AC·BC=CD·AB⋯⋯⋯⋯3分
22
∴CD=ACBC
62
6⋯⋯⋯⋯7分
AB
8
2
19、（2007苏州中考题）解：
（1）小玲摸到C棋的概率等于
3
；⋯⋯⋯⋯1分
10
（2）小玲在这一轮中胜小军的概率是
4．⋯⋯⋯⋯3分
9
（3）①若小玲摸到A棋，小玲胜小军的概率是
5；②若小玲摸到
B棋，小玲胜小军的概率是
7；③若小玲
9
9
摸到C棋，小玲胜小军的概率是
4；④若小玲摸到D棋，小玲胜小军的概率是
1．由此可见，小玲希望
9
9
摸到B棋，小玲胜小军的概率最大．⋯⋯⋯⋯7分。
20、（数学理报2007下期末专号）
（1）将△BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BM′A。
⋯⋯⋯⋯1分∵∠MBM′=600、BM=BM′、AM′＝MC；∴△BMM′为正三角形；∴MM′=BM。
⋯⋯2分
①若M′在AM上，则AM=AM′+MM′=BM+MC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
②若M′不在AM上，连结AM′、MM′，在△AMM′中，根据三角形三边关系可知：
AM＜AM′+MM′，∴AM＜BM+MC。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（2）线段AM有最大值。
⋯⋯⋯⋯
6分
当且仅当M′在AM上时，AM＝BM+MC；存在的条件是：
∠
ABM=600。
⋯⋯⋯⋯8分
21、
（1）连结OC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=900
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
∴∠OCA=∠ACD-∠OCD=1200-900=300
;
∴∠OAC=∠OCA=300⋯⋯3分
0
0
0
-30
0
0
又∠ADC=180-∠ACD-
∠OAC=180-120
=30
=∠OAC⋯⋯⋯⋯4分
∴CA=CD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（2）∵∠ADC=300
1
∴OC=OD=OB⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
2
∴B是OD的中点，
∴OB＝5，即⊙O的半径为5。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
22、解：
设每件羽绒服应降价
x元，依题意得：
（40－x）（20+2x）=1200⋯⋯⋯⋯3分
整理得：
x2-30x+200=0⋯⋯⋯⋯5分
解得：
x1=10;x2=20;⋯⋯⋯⋯7分
为了使顾客多得实惠，所以要尽量多降价，故
x取20元。
答：
每件羽绒服应降价
20元。
⋯⋯⋯⋯8分
23（2007年四川绵阳中考题）、
解
（1）原方程变为：
x2－（m+2）x+2m=p2－（m+2）p+2m，
∴x2－p2－（m+2）x+（m+2）p=0，⋯⋯⋯⋯2分
（x－p）（x+p）－（m+2）（x－p）=0，⋯⋯⋯⋯3分即（x－p）（x+p－m－2）=0，
∴x1=p，x2=m+2－p．⋯⋯⋯⋯4分
（2）∵直角三角形的面积为
1x1x2
1p（m2p）=
1p2
1（m2）p⋯⋯⋯5分
2
2
2
2
=
1[p2
（m2）p（m2）2
（（m2）2）]
2
2
4
=
1（p
m2）2
（m
2）2
，⋯⋯⋯⋯7分
2
2
8
∴当p
m
2
且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，
最大面积为（m
2）2
或
2
8
1p2．⋯⋯⋯⋯9分。
2
24、证明：
如图①，作以AB为直径的⊙O
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，∴∠ADB=∠ACB=90°.
∵O为AB的中点，连接DO,
∴OD=OB=AB,∴点D在⊙O上.
在Rt△ACB中，BC=，AC=2,
∴AB==,
∴∠CAB=∠BAD=30°,∴∠ABC=∠ABD=60°,
∴△BOD是等边三角形,∴∠BOD=60°,
∴∠ABC=∠BOD,∴FC∥DO.
∴DF⊥CG,∴∠ODF=∠BFD=90°.
∴OD⊥FD,∴FD为⊙O的切线.
（2）如图②,延长AD交CG于点E.
同
（1）中的方法,可证点C在⊙O上.
∴四边形ADBC是圆内接四边形,
∴∠FBD=∠1+∠2,
同理∠FBD=∠2+∠3.
∵∠1=∠2=∠3,∴∠FBD=∠FDB.
又∠DFB=90°,∴∠FBD=∠CAD=45°.
∵∠ACE=90°,∴EC=BC=x,
又∠EDB=90°,∴EB=x,
∵EB+BC=EC,∴x+x=2.
解得x=2-2,∴BC=2-2.
25、（2007年河北省中考题）
实践探究
（1）a2+b2；
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
（2）剪拼方法如图
3—图5．（每图2分）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
F
F
F
F
A
（E）D
H
A
D
EHA
D
G
E
D
H
E
G
G
A
B
C
B
C
B
C
B
C
图3
图4
图5
图6
联想拓展
能；
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
剪拼方法如图
6（图中BG=DH=b）．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
（注：
图6用其它剪拼方法能拼接成面积为
a2+b2的正方形均给分
）
做人最好状态是懂得尊重，不管他人闲事，不晒自己优越，也不秀恩爱。
你越成长越懂得内敛自持，这世界并非你一人存在。
做人静默，不说人坏话，做好自己即可。
不求深刻，只求简单。
你活着不是只为讨他人喜欢，也不是为了炫耀你拥有的，没人在乎，更多人在看笑话。
你变得优秀，你身边的环境也会优化。
3.从今天开始，帮自己一个忙，不再承受身外的目光，不必在意他人的评价，为自己活着。
从今天开始，帮自己一个忙，做喜欢的事情，爱最亲近的人，想笑就大笑，想哭就痛哭，不再束缚情感的空间，让自己活得轻松些。
4.很多你觉得天大的事情，当你急切地向别人倾诉时，在别人眼中也是个小事，他最多不痛不痒呵呵地应和着。
因为他不是你，他无法感知你那种激烈的情绪。
直到有一天，你觉得无需再向别人提起，你就已经挽救了你自己。
这世界上除了你自己，没谁可以真正帮到你。
5,我们总是带着面具走进爱情的，总想展示自己最优越的一面，你要接受一个人，不只是接受他的优越，而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。
事实经常是：
我们走着走着，就感觉对方变了，其实我们并没有变，我们只是走进对方最真实的地方，然后迷失了自己。
6.我捧你，你就是杯子，我放手，你就是玻璃渣子。
无论是恋人还是朋友，珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴在你身边的人。
珍惜经常和你开玩笑的人，说明你在这个人的心中肯定有一定的分量。
珍惜在你心情不好时第一个发现的人。
7.今天再大的事，到了明天就是小事；今年再大的事，到了明年就是故事；今生再大的事，到了来世就是传说。
人生如行路，一路艰辛，一路风景。
你目光所及，就是你的人生境界。
总是看到比自己优秀的人，说明你正在走上坡路；总是看到不如自己的人，说明你正在走下坡路。
与其埋怨，不如思变。
8.归零是一种积极的心态。
所有的成败相对于前一秒都是一种过去。
过去能支撑未来，却代替不了明天。
学会归零，是一种积极面向未来的意识。
把每一天的醒来都看作是一种新生，以婴儿学步的态度，认真用好睡眠以前的时刻。
归零，让坏的不影响未来，让好的不迷惑现在。
9.总有一天，你会与那个对的人不期而遇：
所谓的幸福，从来都是水到渠成的。
它无法预估，更没有办法计算，唯一能做得是：
在遇见之前保持相信，在相遇之后寂静享用。
宁可怀着有所期待的心等待下去，也不愿去对岁月妥协，因为相信幸福也许会迟到，但不会缺席。
做人最好状态是懂得尊重，不管他人闲事，不晒自己优越，也不秀恩爱。
你越成长越懂得内敛自持，这世界并非你一人存在。
做人静默，不说人坏话，做好自己即可。
不求深刻，只求简单。
你活着不是只为讨他人喜欢，也不是为了炫耀你拥有的，没人在乎，更多人在看笑话。
你变得优秀，你身边的环境也会优化。
3.从今天开始，帮自己一个忙，不再承受身外的目光，不必在意他人的评价，为自己活着。
从今天开始，帮自己一个忙，做喜欢的事情，爱最亲近的人，想笑就大笑，想哭就痛哭，不再束缚情感的空间，让自己活得轻松些。
4.很多你觉得天大的事情，当你急切地向别人倾诉时，在别人眼中也是个小事，他最多不痛不痒呵呵地应和着。
因为他不是你，他无法感知你那种激烈的情绪。
直到有一天，你觉得无需再向别人提起，你就已经挽救了你自己。
这世界上除了你自己，没谁可以真正帮到你。
5,我们总是带着面具走进爱情的，总想展示自己最优越的一面，你要接受一个人，不只是接受他的优越，而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。
事实经常是：
我们走着走着，就感觉对方变了，其实我们并没有变，我们只是走进对方最真实的地方，然后迷失了自己。
6.我捧你，你就是杯子，我放手，你就是玻璃渣子。
无论是恋人还是朋友，珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴在你身边的人。
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