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数学建模
2010年度闽江学院数学建模暑期培训模拟题
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛的题目是：
运动员举重问题
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
闽江学院
参赛队员（打印并签名）：
1.李涛
2.黄庆斌
3.许珍娟
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2010年8月27日
运动员举重问题
摘要
本文通过分析题目的条件和表中的数据，根据表中数据和说给的条件建立了几个有关的举重总成绩和体重的几种模型，并对其进行误差分析，逐步改进。
本文从单纯的数据分析到考虑到运动员的生理条件因素等，找出比较合理的模型，运用数据拟合等方法对数据进行分析和建立模型。
同时还利用了MATLAB的强大图形处理功能，进行数据的可视化，使结果更清晰直观。
问题一中，用MATLAB画出体重和总成绩的散点图，让数据可视化，从而判断体重与总成绩大概成线性关系。
用一次函数进行拟合，得到线性模型C=2.6153*W+162.0959，并用此模型求出相应的理论值，与实际值进行比较。
求的最大误差为15.8221，误差较大，由于线性模型过于简单，考虑因素太少。
问题二中，根据问题一得结论，考虑到问题二中的条件，对模型进行改进，在原有的基础上建立融合了运动员生理特点的模型。
得到模型为
，然后进行误差分析，得到最大误差为25.5673，由于没有考虑到人体内非肌肉部分，所以误差较大。
问题三中，根据问题二中的结论，对模型进行改进，考虑到人体内非肌肉部分，通过查阅资料得到成人体内非肌肉部分体重大约为5kg，对模型二进行改进。
得到结果。
一、问题重述
运动员在高度和体重方面差别很大，为了在举重比赛中对此做出补偿，规定要从运动员举起的重量中减去其体重,以下是1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩：
级别
最大体重（千克）
抓举（千克）
挺举（千克）
总重量（千克）
1
54
132.5
155.0
287.5
2
59
137.5
170.0
307.5世界记录
3
64
147.5
187.5
335.0
4
70
162.5
195.0
357.5世界记录
5
76
167.5
200.0
367.5
6
83
180.0
212.5
392.5世界记录
7
91
187.5
213.0
402.5
8
99
185.0
235.0
420.0世界记录
9
108
195.0
235.0
430.0
10
超过108
197.5
260.0
457.5
1. 这个规定暗示了什么关系，结合上表说明这种关系。
2. 已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例，利用这个强度子模型，建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型，列出所有的假设,用所提供的数据来检验你的模型。
3. 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关的，提出一个把这种改进融合进去的模型，并讨论两个模型各自的优缺点，然后提出一种经验法则，对不同体重的举重运动员设定障碍，使得比赛受体重因素的影响较小，从而更加公平。
二、背景与问题分析
1.背景
体重分级
男子举重竞赛可按运动员体重分为下列十级：
（1）54公斤级体重不超过54公斤
（2）59公斤级54．01～59公斤（3）64公斤级59．o1～64公斤（4）70公斤级64．01～70公斤（5）76公斤级70．01～76公斤（6）83公斤级76．01～83公斤（7）91公斤级83．01～91公斤（8）99公斤级91．01～99公斤（9）108公斤级99.01～108公斤（10）108公斤以上级
女子举重竞赛可按运动员体重分为下列九级：
（1）46公斤级体重不超过46公斤
（2）50公斤级46．01～50公斤（3）54公斤级50．01～54公斤（4）59公斤级54．01～59公斤（5）64公斤级59．01～64公斤（6）70公斤级64．01～70公斤（7）76公斤级70．01～76公斤（8）83公斤级76．01～83公斤（9）83公斤以上级
举重是一项简单的运动，每位选手在抓举和挺举上分别有三次试举机会，每一项中的最好成绩计入总成绩。
比如说，一位选手在抓举中举起85公斤，在挺举中举起115公斤，则其总成绩是200公斤。
如果一位选手在抓举中三次试举失败，则他（她）可以继续参加挺举比赛，但无法参加最后排名。
如果两位选手举起的重量相同，则体重较轻者名次列前。
万一出现两人成绩相同，体重也相同的情况，则先举起这一重量者名次列前。
2、问题分析
1、从表中的数据可以得到：
级别越高，体重也越重，举起的重量也越重。
那么可以设想一下，在同一级别的运动员中体重越重的，举起的重量也越重。
换句话说，运动员的体重与总成绩有很重要的关系。
2、专项形态是专项运动能力的基础，举重竞技中，肌肉质量无疑是专项形态的重要组成部分，与运动员的竞技能力密切相关。
生物学已经提出肌肉强度近似正比于力量的大小。
而通过有关资料显示肌肉的强度和其横截面积成比例关系。
从这个角度可以建立举重能力和体重的关系。
3、举重竞技中，肌肉质量与竞技成绩密切相关，而在肌肉质量各指标中，体重是一个分类变量，对体重的控制也就成了举重运动员赛前训练的一项重要事宜。
因此关于肌肉质量的研究在举重竞技中显得尤为重要，而影响肌肉质量的因素较多，对其逐一进行分析研究，势必使分析变得繁琐、杂乱，而太少的指标又不足以揭示出举重运动员肌肉质量特征，其研究势必是片面的。
故本文以肌肉质量的相关指标为研究对象，在构建指标体系基础上，通过权重的确定，建立我国优秀举重运动员肌肉质量模型。
本文在查阅大量文献的基础上，确定反映举重运动员肌肉质量的指标体系为：
体重、体脂百分比、以及派生指标1）BMI指数（体重/身高2）、瘦体重和体脂重量）。
从而构建反映我国优秀举重运动员肌肉质量的指标体系。
肌肉质量的专项特征源自专项训练，不同专项训练对肌肉质量将产生不同影响，因此，不同指标，反映专项肌肉质量的重要性程度也各不相同，应用因子分析的方法，以确定各指标在反映肌肉质量上的权重。
通过这些指标体系，对上述模型进行优化。
三、模型假设和变量说明
1、举重运动员的成绩受多种因素的影响，在此模型中只考虑体重因素，假设其它条件相差不大。
2、符号说明：
运动员体重W
运动员身高H
肌肉的横截面积S
肌肉的强度T
举重成绩C
非肌肉重量W0
四、模型的建立和求解
问题1
1、在题目中，运动员在高度和体重方面差别很大，为了在举重比赛中对此做出补偿，从运动员举起的重量中减去其体重，这暗示了运动员的举重能力可能和体重成线性关系。
2、从表中的数据观察可已看出，级别越高体重越大，抓举和挺举以及总重量也越大。
3、通过以上分析，使用数学软件Matlab作出体重（W）和总成绩（C）的散点图，如图1所示，
图
（1）
观察可知，体重（W）与总成绩（C）近似成线性关系。
用MATLAB进行一次拟合，得出C=2.6153*W+162.0959,做出图像，如图2
图
（2）
对以上模型说求解与实际值比较如图3所示：
图3
误差分析如下表
最大体重（千克）（W）
54
59
64
70
76
83
91
99
108
总重量（千克）
287.5
307.5
335
357.5
367.5
392.5
402.5
420
430
y=2.6153*x+162.0959
303.322
316.399
329.475
345.167
360.859
379.166
400.088
421.011
444.548
与实际值之差
15.8221
8.8986
-5.5249
-12.333
-6.6413
-13.334
-2.4118
1.0106
14.5483
相对误差
5.50%
2.89%
1.65%
3.45%
1.81%
3.40%
0.60%
0.24%
3.38%
通过以上分析，可知误差相对较大。
说明线性拟合过于简单，考虑因素较少。
问题2
1、建立模型
运动员的举重能力是用举起的重量来衡量的，而举重能力和运动员的肌肉强度近似成正比的关系，从生理学角度得知，肌肉的强度和运动员肌肉的横截面积近似成正比关系，由世界卫生组织（WTO）推荐的国际统一的体重指数（BMI）的计算公式BMI=体重（千克）/身高的平方（平方米）知体重正比于身高的平方，假设肌肉的横截面积与身高成正比关系
从而可得举重总成绩与其体重的关系是：
利用最小二乘法求出K，K=20.0880
即
求出理论值
最大体重（千克）（W）
54
59
64
70
76
83
91
99
108
总重量（千克）
287.5
307.5
335
357.5
367.5
392.5
402.5
420
430
理论值
286.989
304.442
321.408
341.195
360.423
382.228
406.41
429.893
455.567
与实际值差
-0.5106
-3.0579
-13.592
-16.305
-7.0771
-10.272
3.90991
9.89279
25.5673
相对误差
0.18%
0.99%
4.06%
4.56%
1.93%
2.62%
0.97%
2.36%
5.95%
体重、总成绩、理论值做成散点图，如图4所示
图（4）
模型检验：
发现模型相对误差仍然较大，考虑到人体并非完全均匀的，通过查看资料得知，人的体重中肌肉只占一部分。
问题3
人体体重有一部分与成年人的尺寸无关的，我们将人体体重分为肌肉重量与非肌肉重量，对成年人而言，非肌肉质量可近似看成相同的。
从生理学得知肌肉包括快肌和慢肌，其中快肌是决定肌肉爆发力的主要因素，也就是影响力量主要因素，对于居住运动员来说，他们能举起的重量跟与肌肉爆发力密切相关，故考虑肌肉重量作为决定居住运动员成绩的主要因素，同时还考虑非肌肉因素。
从而假设，人的体重看成肌肉重量和非肌肉重量，其中非肌肉重量与成年人的体重无关，成年人的非肌肉重量可近似为0.5*级别，并且假设运动员体重中除了肌肉重量为
.
综上得
模型求解
级别
1
2
3
4
5
6
7
8
9
最大体重（千克）（W）
54
59
64
70
76
83
91
99
108
除去非肌肉部分
49
54
59
65
71
78
86
94
103
总重量（千克）
287.5
307.5
335
357.5
367.5
392.5
402.5
420
430
理论值
287
304.4
321.4
341.2
360.4
382.2
406.4
429.9
455.6
与实际值差
-0.51
-3.06
-13.6
-16.3
-7.08
-10.3
3.91
9.893
25.57
相对误差
0.18%
0.99%
4.06%
4.56%
1.93%
2.62%
0.97%
2.36%
5.95%
通过以上模型分析，进一步减小了误差。
五、模型的评价
模型的优缺点
优点：
两个模型的比较，模型2的精度更好，更接近真实成绩，用该模型可以对不同体重的举重运动员进行设置障碍，使得比赛受到体重因素的影响较小，从而更加公平。
缺点：
举重时受到的影响因素不止体重因素，而且每个运动员的肌肉重量与非肌肉重量的比例不都是那么理想，影响着比赛成绩。
模型的误差
上述中的体重中的肌肉比例都是比喻统计分析的理论值，实际上由于每个人的肌肉比例不同，所以对不同的人，都以理论值代替，就会有相对误差。
设置障碍
将各个举重运动员的体重带入公式求得理论值，如果总成绩大于理论值，就有可能获得冠军，反之就不能获得冠军。
模型的改进方向
以上模型只考虑到体重因素，所以未来的改进方向就是多加考虑影响举重成绩的实际因素，如心理因素，运动员的身高，手臂长度等等。
六、模型的改进
肌肉质量的专项特征源自专项训练，不同专项训练对肌肉质量将产生不同影响，因此，不同指标，反映专项肌肉质量的重要性程度也各不相同，在明确举重运动员肌肉质量指标体系模型基础上，应用因子分析的方法，以确定各指标在反映肌肉质量上的权重。
因子分析是在探讨存在有相关关系的变量之间，是否存在不能直接观察到，但对可观测变量的变化起支配作用的潜在因子的分析方法。
它的一个重要目的在于对原始变量进行分门别类的综合评价，分析采用方差最大正交旋转，在保证共性因子之间的正交性和共性方差总和不变的基础上，使共性因子上的相对载荷平方和方差之和达到最大，这样使因子结构更加简单且易于解释。
考虑到运动员的肌肉质量主要受到训练和营养的影响，可以进一步优化模型。
七、参考文献
[1]邢文华.体育测量与评价[M].北京：
北京体育学院出版社，1986.
[2]田麦久.运动训练学[M].北京：
人民体育出版社，2000.
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134-138.
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