金融计量学第七章CARCH模型的分析与应用课件.ppt

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第七章GARCH模型的分析与应用,7.1金融时间序列异方差特征7.2ARCH模型7.3GARCH模型7.4GARCH类模型的扩展7.5GARCH类模型应用7.6向量GARCH模型7.7随机波动模型（SV）及向量模型,本章主要内容,金融时间序列异方差特征,1,波动集群现象从侧面反映时间序列具有较高的异方差性。

波动一般用模型的残差序列的方差来估计，波动又直接与资产的风险相联系。

所以，如何对时变波动进行建模是资产定价、风险管理等方面重点关注的问题。

方差度量了资产的风险，一些金融衍生物如期权的价值也取决于标的资产的方差，另外，由方差预测可得到资产收益的预测区间，便于投资者根据实际情况决定是否买卖资产。

一般使用方差来刻画波动率（Volatility）。

虽然波动率不可直接观测，但是它的一些特征在资产收益率序列中能看出。

表7-1：

上证指数和美元/人民币汇率日收益率序列的统计性描述注：

上证指数选取2005年8月1日到2015年7月31日的日收益率序列美元/人民币汇率选取2011年4月1日到2015年7月31日日收益率序列作分析数据来源：

通达信软件,图7-1：

上证指数日收益率时间序列图,图7-2：

美元/人民币汇率日收益率时间序列图,从图7-1日收益率的时间序列图，看出波动率存在：

波动集聚性（Clustering），波动在一个时间段比较剧烈，在另一个时间段比较平稳；尖峰厚尾性（leptokurtosisandfat-tail），实证研究表明，金融收益序列往往呈现出“高峰厚尾”的分布特性，真实分布比标准正态分布具有更高的概率分布密度函数值；杠杆效应（LeverageEffects），波动率对价格大幅度上升和价格大幅度下降对反应不同，这种现象首先被Black（1976）年发现；另外也有实证研究发现，波动率具有时变性，波动率以连续方式随时间变化，即波动率跳跃是很少见的。

表7-2：

上证指数收益率序列自相关及偏相关检验,自相关性检验,表7-3：

上证指数收益率残差平方序列自相关及偏相关检验验,自相关性检验,表7-4：

美元/人民币汇率收益率序列自相关及偏相关检验,自相关性检验,表7-5：

美元/人民币汇率收益率残差平方序列自相关及偏相关检验,自相关性检验,自相关性检验,从以上表格可以看出，上证指数收益率序列和美元/人民币汇率收益率序列，Q统计量对应的p值都是小于0.1，大部分都是小于0.05，收益率序列基本不存在相关性。

但是收益率序列的残差平方却有显著的相关性，从另一个方面证明了收益率序列的异方差性。

ARCH模型,2,时间序列数据存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于前期扰动项平方的大小可能原因：

金融市场的波动性易受谣言、政局变动政府货币政策与财政政策变化等的影响因此，误差项的条件方差不是某个自变量的函数，而是随时间变化并且与过去误差的大小有关ARCH（Autoregressiveconditionalheteroskedasticity）模型（Engle1982），用于刻画时变的波动。

7.2ARCH模型,ARCH模型的基本思想,ARCH

（1）模型:

即t时刻的扰动项的条件方差只依赖于前一期t-1时刻的扰动项平方的大小。

收益率序列的随机误差项（扰动项）是不相关，但不是独立的；扰动项的不独立性表现在，扰动项的方差依赖于它前期扰动项的大小两个核心的模型回归过程：

一个是条件均值回归模型，一个是条件异方差回归模型,ARCH

（1）模型的形式,（7.1）（7.2）,（7.1）（7.2）,ARCH

（1）模型的形式,ARCH（p）模型,（7.3）（7.4）这里要求，注意：

在ARCH（p）模型中，我们仍然假设扰动项不存在序列相关性，还假设扰动项的无条件期望和条件期望都为0，下面证明ARCH模型的性质会用到。

ARCH模型的性质,1、的无条件方差分析（7.5）是平稳的过程，所以，所以：

（7.6）因为，所以模型必须满足，所以有：

（7.7）,ARCH模型的性质,2、的峰度分析（7.8）K值大于3，说明的分布比正态分布陡峭，比正态分布的尾部厚。

比标准标准正态分布更容易出现异常值，符合实验结果，体现波动率尖峰厚尾的特点。

ARCH模型的优缺点,很好的刻画了波动率尖峰厚尾和波动率群集性等性质，为波动率的研究开辟了新纪元ARCH模型也存在一些不足：

ARCH模型是对称的，不能体现波动率正负波动对波动率产生不同的影响（研究发现，坏消息会引起的波动率变大，好消息的波动率引起的波动率相对较小）；ARCH模型只提供一个回归的机械方法，不能从中得到影响波动率变化的因素；ARCH模型对参数的要求很高，参数之和小于1，而且随着滞后的阶数提高时，参数的限制条件更为复杂，很难检验是否符合条件；ARCH模型在实际应用中ARCH模型为得到较好的拟合效果常需要很高的阶数p，这不仅增大了计算量，也会带来诸如解释变量多重共线等其它问题。

GARCH模型,3,7.3GARCH模型,7.3.1GARCH模型的构造7.3.2GARCH模型的性质7.3.3GARCH模型的检验与估计,7.3.1GARCH模型的构造,GARCH（GeneralizedAutoregressiveconditionalheteroscedasticity）模型称为广义条件异方差模型，由Bollerslev于1986年提出。

该模型是ARCH无穷阶的，是一个长记忆过程，可用一个较简单的GARCH模型来代表一个高阶ARCH模型待估的参数个数大大减少，从而解决了ARCH模型中参数估计难的问题。

即使是低阶GARCH（1,1）的情形，仍然有较好的拟合效果，从而得到了广泛的应用。

GARCH模型的基本思想,在ARCH模型的基础上，为避免滞后项过多，可采用加入的滞后项的方法，以减少参数个数。

标准的GARCH（p,q）模型为：

（7.9）,7.3.2GARCH模型的性质,1、GARCH模型的ARMA性质令，则，把代入到GARCH条件方差方程，可得：

（7.10）对于，对，可以得到：

（7.11）公式（7.11）就是的ARMA（m，q）模型，这样得到的是一个鞅差序列（），但是这样得到的不是独立同分布序列。

因此GARCH模型是ARMA的思想对平方序列的一个应用。

1、GARCH模型的ARMA性质利用ARMA模型的无条件均值得到：

（7.12）所以要使得模型具有有限的方差，必须满足：

（7.13）,2、GARCH（1,1）的峰度通过对GARCH（1,1）模型峰度的分析，研究GARCH（p,q）的性质，GARCH（1,1）模型为：

（7.14）此时，大的或会引起大的，这样更能体现金融实践序列中的波动集聚的现象，另外它的峰度为：

（7.13）K值大于3，可以说明GARCH也能体现波动率尖峰厚尾的特点。

GARCH模型可以很好的刻画波动率尖峰厚尾和波动率集群性等性质，GARCH模型可以用较少的参数来反映方差波动的持续性这个特点。

但是GARCH（p，q）模型并没有考虑到波动率具有的非对称性。

7.3.3GARCH模型的检验与估计,1.ARCH-LM检验该检验是检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验。

具体步骤

（1）首先进行最小二乘回归，获得残差序列估计值：

（7.16）

（2）进行回归：

（其中满足标准正态分布）（7.17）（3）假设检验：

，（残差序列直到p阶都不存在ARCH效应）至少有一个构造的统计量为：

1.ARCH-LM检验其中，T表示样本的容量，表示回归方程（7.17）的可决系数，在给定的显著性水平下，接受原假设，拒绝原假设。

或者可以用p值来判断，则拒绝原假设，否则接受原假设。

统计量LM是渐近的卡方分布，当样本较大时，可以采用它来检验是否有ARCH效应，若样本较小时，选用F统计量来检验。

（7.19）,2.残差平方相关图残差平方相关图显示的是残差平方序列指定的滞后阶数的自相关系数（AC）和偏相关系数（PAC）（如本章第一节表7-3和表7-5所示）并且计算出了相应阶数的Ljung-BoxQ统计量：

（7.20）其中,是残差系类的j阶自相关系数，T为样本容量，p是设定的滞后阶数。

原假设：

序列不存在p阶自相关；备择假设：

序列存在p阶自相关。

如果各阶Q统计量都没有超过设定的显著水平的临界值，则接受原假设。

超过临界值，就说明序列存在自相关。

以GARCH（1,1）模型为例：

（7.21）当服从正态分布时，GARCH（1,1）模型的对数似然函数为：

（7.22）当服从自由度为的分布，GARCH（1,1）模型的对数似然函数为：

（7.23）,3.GARCH模型的估计极大似然估计,GARCH类模型的扩展,4,7.4GARCH类模型的扩展,7.4.1IGARCH模型（求和GARCH/单整GARCH）7.4.2GARCH-M模型7.4.3TGARCH模型7.4.4EGARCH模型7.4.5CGARCH模型7.4.6PGARCH模型7.4.7FIGARCH模型,7.4.1IGARCH模型（求和GARCH/单整GARCH）,限定GARCH模型异方差方程中除了外，其他的参数和等于1。

即：

（7.25）（7.26）在研究IGARCH（1,1）模型时，并且时，正是风险度量系统RiskMetricss所用的波动模型，这个系统用于计算风险价值（ValueatRisk）。

7.4.2GARCH-M模型,金融CAMP模型表明资产收益率依赖于资产的风险，一般风险越高的资产对应更高的平均收益。

但是GARCH（p，q）模型并没有考虑到波动率具有的非对称性。

GARCH-M（GARCHinthemean）模型（Engle（1987），表达式为：

（7.27）其中，参数表示风险溢价参数，表示可观测到的预测风险波动对的影响，若为正值，意味着收益率与它的波动率成正相关。

也有一些文献出现一些具体风险溢价的形式，如：

GARCH-M模型可以解释风险溢价，常用于资产的预期收益率与风险密切相关的金融领域，如预测一写股票或债券、指数等金融资产的收益率。

预测收益率的模型常常写成（7.28）其中，是常数，表示预测的股票或债券收益率均值。

7.4.3TGARCH模型,负的冲击比正的冲击更容易增加波动，即好消息和坏消息表现出的非对称效应。

非对称冲击的模型主要有：

TARCH模型、EGARCH模型、PGARCH模型。

TARCH模型（门限ARCH模型），由Zakaran（1990）和Glosten等（1994）提出。

（7.29）是一个虚拟变量。

好消息（）和坏消息（）对条件方差有不同的影响。

好消息有一个倍的冲击，而坏消息则有一个倍的冲击。

如果，坏消息对条件波动率的冲击大，好消息对条件波动率的冲击小；如果，好消息对条件波动率比坏消息的冲击大。

高阶TARCH模型可表示为：

（7.30）其中K代表门限的个数，也是一个虚拟变量。

7.4.4EGARCH模型,EGARCH（exponentialGARCH）模型是由Nelson（1991）提出的，又称为指数EGARCH模型.通过一个参数来刻画波动率的非对称性，而且EGARCH模型可以保证方差为正.EGARCH（1,1）模型中的条件方差的方程为（7.31）等式左边是条件方差的对数，条件方差的预测值一定是非负的。

杠杆效应是通过和来体现的。

这两项实际上是标准化了的随机扰动项，如果，那么。

式（7.29）可以看出EGARCH模型的非对称性表现为：

（7.32）,将EGARCH（1,1）模型扩展到EGARCH（p,q）模型为：

（7.33）,7.4.5CGARCH模型,CGARCH模型是成分GARCH（componentGARCH）模型，传统的GARCH模型都是假设条件方差的长期均值是常数，如果这个条件不满足，就用成分GARCH模型来预测波动率（DingandGhanda（1996）和EngleandLee（1999））。

CGARCH（1,1）模型的三个回归模型：

（7.34）,7.4.6PGARCH模型,Taylor（1986），Schwert（1989）和Ding,Granger,andEngle（1993）。

该模型可以刻画波动率的非对称性，也有称PGARCH模型为非对称的PGARCH模型（asymmetricPGARCH），这是一个标准差的GARCH模型PGARCH（p,q）模型的表达式为：

（7.35）其中，当时，；当时，。

在PGARCH模型中标准差的幂参数是估计得到的，用来评价冲击对条件方差的影响幅度，是捕捉直到r阶的非对称效应参数。

当时，坏消息对波动率的冲击会比好消息对波动率的冲击大，当时，则相反。

APARCH模型涵盖了一下七个模型，是对多个模型的综合展示。

7.4.7FIGARCH模型,FIGARCH模型（Fractionallyintegratedgeneralizedautoregressiveconditionalheteroscedasticity）是由Baillie（1996）提出的。

以一个缓慢的双曲线衰减速率来刻画条件方差的滞后性质，进而表现波动率的长记忆性，也可以区分长期记忆和短期记忆。

FIGARCH（1,d,1）模型的基本形式为：

（7.36）,7.4.7FIGARCH模型,GARCH类模型的应用,5,7.5GARCH类模型应用,7.5.1案例

（1）：

美元对人民币汇率建模研究7.5.2案例

（2）：

上证综指波动建模,7.5.1案例

（1）：

美元对人民币汇率建模研究数据来源：

通达信软件数据区间：

2011.4.1-2015.7.31，1175个观测值计算对数收益率：

单位根检验（ADF检验）,表7-6：

美元对人民币汇率日收益率单位根检验,t统计量的值-34.19050远远小于显著性水平1%的临界值，故收益率时间序列平稳。

2.自相关检验,表7-4：

美元/人民币汇率收益率序列自相关及偏相关检验,从表中可以看出，序列的自相关和偏自相关系数均落入两倍的估计标准差内，且Q统计量的相伴概率均大于置信度0.05，故序列在5的显著性水平上不存在显著的相关性。

从左图中可以观察到在滞后5阶处，AC和PAC都比较显著不为零。

在其余时滞处，PAC和AC都显著为零。

3.定阶从第5阶开始，偏自相关系数就很小。

这里我们取阶数为5。

我们考虑ARMA（5，5）模型。

建立多个ARMA模型，如ARMA（5,5）-AR（5）,MA（5），对模型进行比较。

4.估计均值方程,图7-4：

均值方程参数估计结果,图中各行含义从多个模型估计的结果看，AR（5）时AIC值最小，所得得到的均值方程为：

（7.37）,5.模型残差检验Q统计量如果残差已经没有相关性，且残差已经没有ARCH效应（异方差性），则说明线性模型已足够刻画对数收益率序列。

否则我们考虑建立GARCH类模型。

图7-5：

建立AR（5）模型残差自相关和偏自相关检验,我们所建立的AR（5）模型残差的PAC和AC均落入随机区间，说明残差不显著相关。

5.模型残差检验残差平方检验,残差平方序列在滞后阶数为1、2、3、4、5、8、11、12处AC和PAC均明显较大，说明最可能出现ARCH效应的滞后阶数为1、2、3、4、5、8、11、12，因此我们对这几个滞后阶数进行残差ARCH-LM检验。

图7-6：

建立AR（5）模型残差平方自相关和偏自相关检验,5.模型残差检验ARCH-LM检验,这里只给出滞后12阶的ARCH效应检验图7-7，另外的7个的F统计量和Obs*R-squared统计量的相伴概率均小于0.05，LM统计量显著。

因此残差序列存在ARCH效应。

图7-7：

滞后12阶的F统计量和LM统计量检验,6.建立ARCH模型残差序列具有滞后很多阶的自相关，先建立ARCH（8）模型,图7-9：

ARCH模型输出的结果,6.建立ARCH模型从建立的ARCH（8）模型结果来看，只有滞后6阶的回归系数不显著，其他的滞后阶数吸收都显著，可以输出结果方程为：

（7.38）,7.对ARCH（8）模型的残差平方做ARCH效应检验,图7-10：

ARCH模型残差平方的ARCH效应检验,7.对ARCH（8）模型的残差平方做ARCH效应检验,由图7-10可以看出，滞后阶数为12时，F统计量和Obs*R-squared统计量的相伴概率均大于0.05，LM统计量不显著。

因此残差序列不存在ARCH效应。

即ARCH（8）模型消除了原模型的残差方差的条件异方差性。

可见上述的ARCH滞后阶数过高，接下来尝试用GARCH模型来建模常用的GARCH模型包括GARCH（1,1），GARCH（1,2），GARCH（2,1）我们分别用多个模型建模，通过比较AIC可以确定最优模型，为了简便，这里只做GARCH（1,1）M模型的具体操作。

8.建立GARCH模型,图7-12：

GARCH（1,1）模型估计结果,8.建立GARCH模型结果如下：

（7.39）下面通过建立TGARCH模型和EGARCH模型来研究美元对人民币汇率收益率是否存在非对称性。

9.建立TGARCH模型结果如下：

（7.40）估计的方程项系数显著，所以GARCH模型中存在新息冲击的非对称性，因为系数为-0.05195，是负数，所以好消息对波动的冲击比坏消息对波动的冲击大。

10.建立EGARCH模型结果如下：

（7.41）估计的方程项系数显著，而且为正，同样验证了GARCH模型中存在新息冲击的非对称性，好消息对波动的冲击比坏消息对波动的冲击大。

11.建立PGARCH模型结果如下：

图7-18：

PGARCH（1,1）模型估计结果,综上做出的ARCH（8），GARCH（1，1），TGARCH（1，1），EGARCH（1，1），PGARCH（1，1）模型看出，美元对人民币外汇收益率波动率存在信息冲击的非对称性，好消息的冲击比坏消息的冲击大，因为GARCH（1,1）模型是ARCH（8）模型的无限阶，所以相比GARCH（1,1）模型模拟的效果更好。

比较这五个模型的AIC值，看出PGARCH（1，1）模型最小，它可以体现波动率的聚集性、非对称性等，估计的效果较好。

7.5.2案例

（2）：

上证综指波动建模数据：

2015.8.1-2015.7.31上证综指收盘价，2432个观察值来源：

通达信软件1.平稳性检验经检验上证综指的收益率序列没有单位根，是平稳序列。

2.自相关检验,表7-2：

上证指数收益率序列自相关及偏相关检验,上证指数的收益率序列在滞后阶数为4和6处，AC和PAC都比较显著不为零，在其余时滞处，PAC和AC都显著为零。

所以均值方程尝试建立为滞后6阶的收益率自回归模型,3.模型估计,图7-19：

上证综指收益率均值方程估计结果,3.模型估计均值方程：

（7.42）,4、经检验，上证综指的收益率序列残差平方存在相关性，具有ARCH效应，如图7-20所示：

5、用常用的GARCH（1，1），GARCH（1，2）,GARCH（2，1）模型估计，发现GARCH（1，1）的AIC值最小，所以选用GARCH（1，1）模型，估计的结果如图7-21,图7-20：

上证综指数均值方程残差ARCH效应检验,图7-21：

上证综指数GARCH（1，1）模型结果,6、选择EGARCH（1，1）模型估计波动率，但是结果表示非对称性项的系数不显著，得出上证指数波动率不存在非对称性，如图7-22所示,图7-22：

上证综指数EGARCH（1，1）模型结果,7、建立了GARCH-M（1,1）模型，也显示项前面的系数不显著，如图7-23所示,图7-23：

上证综指数GARCH-M（1，1）模型结果,8、综上可以建立GARCH（1,1）模型估计上证指数收益率的波动率。

结果如下：

（7.43）,向量GARCH模型,6,7.6向量GARCH模型,7.6.1向量ARCH模型7.6.2向量GARCH模型7.6.3对角向量GARCH模型7.6.4BEKK模型7.6.5常相关向量GARCH模型7.6.6因子向量ARCH模型7.6.7向量FIGRCH模型7.6.8几种向量GRCH模型的比较7.6.9二元BEKK-GARCH模型实证分析,在金融市场中，不同的市场如汇率市场、股票市场、期货市场等，不同的资产之间可能存在相互影响，它们的波动也可能存在相关性。

因此，需要把单变量ARCH、GARCH类模型扩展到多变量的情况多个变量波动性建模可以有效地估计均值方程中误差项的方差和协方差，以及不同变量之间的方差和协方差，有效地应用在波动溢出、风险转移、投资组合等主题。

7.6.1向量ARCH模型,向量ARCH模型的均值方程用矩阵形式表示为：

（7.44）,：

N*1维向量时间序列；：

表示时间序列均值向量；：

N*1维向量随机序列，且，表示在时刻的信息集。

是N*N维条件方差和协方差矩阵，关于可测。

定义，这里的为向量半算子，表示把矩阵的下三角阵按列依次堆积而成的维列向量。

向量ARCH类模型主要是研究的不同动态特性。

向量ARCH模型最早是由Kraft,Engle（1983）提出的，只是一个多变量线性ARCH（q）模型，在模型中被表示为残差同期交叉乘积的线性函数，即（7.45）,7.6.2向量GARCH模型,Bollerslev、Engle、Wooldridge（1988）提出了多元GARCH模型，向量GARCH（p,q）的均值方程与向量ARCH的均值方程一样都是式（7.44），方差方程表达式如下：

（7.46）,向量GARCH模型可以研究多个市场之间的波动溢出效应，模型中的参数矩阵和中的对角线元素反映了方差、协方差序列自身的相关关系，而非对角线元素则反映不同不变量的方差、协方差序列之间的相互影响。

虽然模型具有很好的经济意义，但是由于模型中设置的参数较多，而且不能保证总有一个半正定的协方差矩阵。

也有为了简化参数的估计，将向量GARCH模型扩展为对角向量GARCH模型、BEKK模型等，约束模型中的参数，达到简化的目的。

7.6.3对角向量GARCH模型,为了减少参数的个数，Bollerslev、Engle、Wooldridge（1988）发展一种受约束的向量GARCH模型，假定是对角矩阵，模型被称为对角向量GARCH模型，当，是对角矩阵，它保证在任意时刻都是正定的。

这时可以表示为（7.47）,由于对角向量GARCH模型简化了多个变量之间的相关关系，因而对波动的刻画不完全，无法通过对角向量GARCH模型来研究多个市场之间的相关关系和溢出效应。

7.6.4BEKK模型,BEKK模型即BEKK-GARCH模型，它是由Engle，Kroner（1995）综合整理向量GARCH模型，以确保矩阵总是正定的这一难题提出的。

当时，BEKK模型的表达式为当时，BEKK模型的表达式为：

（7.48）其中，W、A和B均是N*N维的参数矩阵，由于等式右边项是二次型的性质，它能确保矩阵总是正定的。

而且相对向量GARCH模型，有较少的模型参数但是，模型中参数的经济含义不如向量GARCH模型中那么明确。

通过证明向量随机过程具有BEKK表达式时，它与一般的向量GARCH表达式是等价的，其参数就具有明确的经济意义。

7.6.5常相关向量GARCH模型,向量GARCH模型的另一类简化形式。

令向量具有时变条件协方差矩阵，而是的第个元素。

，分别为和的第个分量，则和间在t时刻的相关系数为：

（7.49）其中，是矩阵的第个元素，表示和是基于时刻信息集的条件协方差，而和分别为矩阵对角线的第i个和第j个元素，分别表示和之间在时刻的条件方差。

在一般的向量GARCH模型中，是时变的。

Bollerslev在文献中提出了常相关系数的假设，即假定为常数。

令每一个可以表示为这里的是一个正的时不变标量。

则条件协方差矩阵可以表示为：

其中为维对角矩阵，并且是一个维时不变矩阵，其中第个元素为。

当且仅当都有定义，并且是正定矩阵时，是正定。

此时，向量GARCH过程的第i，j个分量相关系数的MLE为：

常相关多元GARCH模型具有参数估计上的优点但该模型应用时的一个