平面解析几何知识点归纳.docx

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平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳

◆知识点归纳

直线与方程

1.直线的倾斜角

规定：

当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0

范围：

直线的倾斜角的取值范围为[0,）

2.斜率：

ktan（a），kR

2

斜率公式：

经过两点（,）

P1xy，P2（x2,y2）（x1x2）的直线的斜率公式为

11

yy

21

kPP

1xx

2

21

3.直线方程的几种形式

名称方程说明适用条件

斜截式ykxbk是斜率

b是纵截距与x轴不垂直的直线

点斜式（）

yy0kxx（x0,y0）是直线上的已知点

0

两点式

y

y

1

x

x

1

（x1,y1）,（x2,y2）是直线上

与两坐标轴均不垂直

y

2

y

1

x

2

x

1

的两个已知点

的直线

（x1x2,y1y2）

xya是直线的横截距

截距式1

ab

b是直线的纵截距

不过原点且与两坐标

轴均不垂直的直线

一般式AxByC0

当B0时，直线的横截距

（

2B2

A

0）

为

C

A

当B0时，

所有直线

A

B

CC

,分别为直线

AB

的斜率、横截距，纵截距

能力提升

斜率应用

细节决定成败，规范铸就辉煌。

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例1.已知函数f（x）log2（x1）且abc0，则

f（a）f（b）f（c）

,

abc

的大小关系

2xx

例2.已知实数x,y满足yx22（11），试求

y

x

3

2

的最大值和最小值

两直线位置关系

两条直线的位置关系

位置关系

l

l

1

2

:

:

y

y

kx

1

kx

2

b

1

b

2

l

l

1

2

:

:

Ax

1

Ax

2

By

1

By

2

C

1

C

2

0

0

平行k1k2，且b1b2

A

1

A

2

B

1

B

2

C

1

C

2

（A1B2-A2B1=0）

重合

k1k，且b1b2

2

A

1

A

2

B

1

B

2

C

1

C

2

相交k1k2

A

1

A

2

B

1

B

2

垂直k1k1A1A2B1B20

2

设两直线的方程分别为：

l

l

1

2

:

:

y

y

kx

1

kx

2

b

1

b

2

或

l

l

1

2

:

:

Ax

1

Ax

2

By

1

By

2

C

1

C

2

0

0

；当

k1k或A1B2A2B1时它们

2

相交，交点坐标为方程组

y

y

kx

1

kx

2

b

1

b

2

或

Ax

1

Ax

2

By

1

By

2

C

1

C

2

0

0

直线间的夹角：

①若为

l到l2的角，

1

tan

k

2

1

k

1

kk

21

或

tan

AB

12

A

1

A

2

A

B

2

1

BB

12

；

②若为

l和l2的夹角，则

1

tan

k

2

1

k

1

kk

21

或

tan

AB

12

A

1

A

2

AB

21

BB

12

；

③当10

k1k或A1A2B1B20时，

2

o

90；直线l1到l2的角与l1和l2的夹角：

）

（

2

细节决定成败，规范铸就辉煌。

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或（）；

2

距离问题

4.平面上两点间的距离公式P1（x,y）,P（x,y）则P1P2（x2x1）（y2y1）

11222

5.点到直线距离公式

点P（x0,y）到直线l:

AxByC0的距离为：

0

d

Ax

0

By

0

2

A

B

2

C

6.两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线

l和l2的一般式方程为l1：

AxByC10，

1

l：

AxByC20，则l1与l2的距离为

2

d

C

1

2

A

C

2

B

2

7.直线系方程:

若两条直线

l：

A1xB1yC10，l2：

A2xB2yC20有交点，则过l1与l2交点的

1

直线系方程为（A1xByC）＋（A2xB2yC2）0或

11

（A2xB2yC2+（A1xB1yC1）0（λ为常数）

）

对称问题

1.中点坐标公式：

已知点（x1,y）,B（x,y）

A，则A,B中点H（x,y）的坐标公式为

122

x

y

x

1

y

1

2

2

x

2

y

2

点P（x0,y）关于A（a,b）的对称点为Q（2ax0,2by0），直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问

0

题。

2.轴对称：

点P（a,b）关于直线AxByc0（B0）的对称点为P'（m,n），则有

n

m

-

-

b

a

（

A

B

）

1

，直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题。

ambnBC0

A

22

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

细节决定成败，规范铸就辉煌。

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该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A（a,b）关于C（c,d）的对称点（2ca,2db）

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出

直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用

l1//l由点斜式得出直线方程；

2

Ⅲ、利用点到直线的距离相等。

求出直线方程。

如：

求与已知直线l1:

2x3y60关于点P（1,1）对称的直线l2的方程。

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：

求点A（3,5）关于直线l:

3x4y40对称的坐标。

②直线关于直线对称：

（设a,b关于l对称）

Ⅰ、若a,b相交，则a到l的角等于b到l的角；若a//l，则b//l，且a,b与l的距离相等。

Ⅱ、求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设P（x,y）为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P'的坐标适合a的方程。

如：

求直线a:

2xy40关于l:

3x4y10对称的直线b的方程。

能力提升

例1.点P（2,1）到直线mxy30（mR）的最大距离为

例2.已知点A（3,1），在直线yx和y0上各找一点M和N，使AMN的周长最短，并求出周长。

线性规划问题：

（1）设点P（0,y）和直线l:

AxByC0，

x

0

①若点P在直线l上，则Ax0ByC0；②若点P在直线l的上方，则B（Ax0By0C）0；

0

③若点P在直线l的下方，则B（Ax0By0C）0；

（2）二元一次不等式表示平面区域：

细节决定成败，规范铸就辉煌。

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对于任意的二元一次不等式AxByC0（0），

①当B0时，则AxByC0表示直线l:

AxByC0上方的区域；

AxByC0表示直线l:

AxByC0下方的区域；

②当B0时，则AxByC0表示直线l:

AxByC0下方的区域；

AxByC0表示直线l:

AxByC0上方的区域；

注意：

通常情况下将原点（0,0）代入直线AxByC中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面

区域。

（3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

生产实际中有许多

问题都可以归结为线性规划问题。

注意：

①当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越大；

直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；

②当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越小；

直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越大；

如：

在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数

y

zxay取得最小值的最优解有无数个，则a为；

C（4,2）

（1）设点P（x,）和直线l:

AxByC0，

0y

0

OA（1,1）B（5,1）

x

①若点P在直线l上，则Ax0By0C0；②若点P在直线l的上方，

则（）0

BAx0ByC；

0

③若点P在直线l的下方，则B（Ax0ByC）0；

0

（2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式AxByC0（0），

①当B0时，则AxByC0表示直线l:

AxByC0上方的区域；

AxByC0表示直线l:

AxByC0下方的区域；

细节决定成败，规范铸就辉煌。

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②当B0时，则AxByC0表示直线l:

AxByC0下方的区域；

AxByC0表示直线l:

AxByC0上方的区域；

注意：

通常情况下将原点（0,0）代入直线AxByC中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面

区域。

（3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

生产实际中有许多

问题都可以归结为线性规划问题。

注意：

①当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越大；

直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；

②当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越小；

直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越大；

如：

在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数

y

zxay取得最小值的最优解有无数个，则a为；

C（4,2）

OA（1,1）B（5,1）x

圆与方程

8.圆的标准方程：

（xaybr圆心C（a,b），半径r

）2（）22

2（）22

特例：

圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：

2yr2

2

x.

9.点与圆的位置关系：

3.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

（1）点在圆上d=r；

（2）点在圆外d＞r；（3）点在圆内d＜r．

4.给定点M（x0,y0）及圆

222

C:

（xa）（yb）r.

①M在圆C内

222

（x0a）（yb）r②M在圆C上

0

（

x

22

0a）（yb）r

0

2

③M在圆C外

22

（x0a）（yb）r

0

2

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2yDxEyF

2

10.圆的一般方程：

x0.

2EF

2

当D40时，方程表示一个圆，其中圆心

DE

C,，半径

22

D42E2F

2E2F

r.

2

当D2E24F0时，方程表示一个点

D

2

E

2

.

2EF

2

当D40时，方程无图形（称虚圆）.

注：

（1）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：

B0且AC0且40

2E2AF

D.

圆的直径系方程：

已知AB是圆的直径

A（x1,y1）B（x2,y2）（xx1）（xx2）（yy1）（yy2）0

11.直线与圆的位置关系：

直线AxByC0与圆

2（）22

（xa）ybr的位置关系有三种，d是圆

心到直线的距离，（

d

Aa

Bb

2B2

A

C

（1）dr相离0；

（2）dr相切0；

（3）dr相交0

12.两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，OOd

1。

2

（1）1r外离4条公切线

dr；

（2）dr1r2外切3条公切线；

2

（3）r相交2条公切线；（4）内切1条公切线

1rdrrd1r；

2122

r

（5）内含无公切线0drr；12

外离外切相交内切内含

圆的切线方程：

5.直线与圆相切：

（1）圆心到直线距离等于半径r；

（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）

6.圆

2yr

222

2y2DxEyF

x的斜率为k的切线方程是ykx1kr过圆x0上一点P（x0,y0）的切线方

xxyy

00

程为：

x0yyDEF0.

x

0

22

2.一般方程若点（x0,y0）在圆上，则（x–a）（x0–a）+（y–b）（y0–b）=R

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特别地，过圆

2y2r2

x上一点P（x0,y0）的切线方程为

2

x0xyyr.

0

y

1

yk

0

（x

1

x

0

）

若点（x0,y0）不在圆上，圆心为（a,b）则

b

R

y

1

k（a

2

R

1

x）

1

，联立求出k切线方程.

13.圆的弦长问题：

1.半弦

L

2

、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：

L

2

2

2

R

d

2

2、弦长公式（设而不求）：

2222

AB（x1x）（yy）（1k）[（xx）4x1x2

21212

]

细节决定成败，规范铸就辉煌。

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