第十四章极限与导数高中数学竞赛标准教材.docx

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第十四章极限与导数高中数学竞赛标准教材

第十四章极限与导数（高中数学竞赛标准教材）

第十四极限与导数

一、基础知识

1．极限定义：

（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数，当n>且n∈N时，恒有|un-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f（x）极限为A，称右极限。

类似地表示x小于x0且趋向于x0时f（x）的左极限。

2．极限的四则运算：

如果f（x）=a,g（x）=b，那么[f（x）±g（x）]=a±b,[f（x）•g（x）]=ab,

3连续：

如果函数f（x）在x=x0处有定义，且f（x）存在，并且f（x）=f（x0），则称f（x）在x=x0处连续。

4．最大值最小值定理：

如果f（x）是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f（x）在[a,b]上有最大值和最小值。

．导数：

若函数f（x）在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量也随之取得增量Δ（Δ=f（x0+Δx）-f（x0））若存在，则称f（x）在x0处可导，此极限值称为f（x）在点x0处的导数（或变化率），记作（x0）或或，即。

由定义知f（x）在点x0连续是f（x）在x0可导的必要条。

若f（x）在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

导数的几何意义是：

f（x）在点x0处导数（x0）等于曲线=f（x）在点P（x0,f（x0））处切线的斜率。

6．几个常用函数的导数：

（1）=0（为常数）；

（2）（a为任意常数）；（3）（4）;（）;（6）;（7）；（8）

7．导数的运算法则：

若u（x）,v（x）在x处可导，且u（x）≠0,则

（1）；

（2）；（3）（为常数）；（4）；（）。

8．复合函数求导法：

设函数=f（u）,u=（x），已知（x）在x处可导，f（u）在对应的点u（u=（x））处可导，则复合函数=f[（x）]在点x处可导，且（f[（x）]=

9导数与函数的性质：

（1）若f（x）在区间I上可导，则f（x）在I上连续；

（2）若对一切x∈（a,b）有，则f（x）在（a,b）单调递增；（3）若对一切x∈（a,b）有，则f（x）在（a,b）单调递减。

10．极值的必要条：

若函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则

11极值的第一充分条：

设f（x）在x0处连续，在x0邻域（x0-δ,x0+δ）内可导，

（1）若当x∈（x-δ,x0）时，当x∈（x0,x0+δ）时，则f（x）在x0处取得极小值；

（2）若当x∈（x0-δ，x0）时，当x∈（x0,x0+δ）时，则f（x）在x0处取得极大值。

12．极值的第二充分条：

设f（x）在x0的某领域（x0-δ,x0+δ）内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。

（1）若，则f（x）在x0处取得极小值；

（2）若，则f（x）在x0处取得极大值。

13．罗尔中值定理：

若函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且f（a）=f（b），则存在ξ∈（a,b），使

[证明]若当x∈（a,b），f（x）≡f（a），则对任意x∈（a,b），若当x∈（a,b）时，f（x）≠f（a），因为f（x）在[a,b]上连续，所以f（x）在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f（a），不妨设最大值>f（a）且f（）=，则∈（a,b），且f（）为最大值，故，综上得证。

14．Lagrange中值定理：

若f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则存在ξ∈（a,b），使

[证明]令F（x）=f（x）-,则F（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且F（a）=F（b），所以由13知存在ξ∈（a,b）使=0，即

1．曲线凸性的充分条：

设函数f（x）在开区间I内具有二阶导数，

（1）如果对任意x∈I,,则曲线=f（x）在I内是下凸的；

（2）如果对任意x∈I,,则=f（x）在I内是上凸的。

通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

16．琴生不等式：

设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。

（1）若f（x）是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f（a1x1+a2x2+…+anxn）≤a1f（x1）+a2f（x2）+…+anf（xn）

二、方法与例题

1．极限的求法。

例1求下列极限：

（1）；

（2）；（3）；（4）

[解]

（1）=；

（2）当a>1时，

当0<a<1时，

当a=1时，

（3）因为

而

所以

（4）

例2求下列极限：

（1）（1+x）（1+x2）（1+）…（1+）（|x|<1）；

（2）；（3）。

[解]

（1）（1+x）（1+x2）（1+）…（1+）

=

（2）

=

（3）

=2．连续性的讨论。

例3设f（x）在（-∞,+∞）内有定义，且恒满足f（x+1）=2f（x），又当x∈[0,1）时，f（x）=x（1-x）2，试讨论f（x）在x=2处的连续性。

[解]当x∈[0,1）时，有f（x）=x（1-x）2，在f（x+1）=2f（x）中令x+1=t，则x=t-1，当x∈[1,2）时，利用f（x+1）=2f（x）有f（t）=2f（t-1），因为t-1∈[0,1）,再由f（x）=x（1-x）2得f（t-1）=（t-1）（2-t）2,从而t∈[1,2）时,有f（t）=2（t-1）•（2-t）2；同理，当x∈[1,2）时，令x+1=t，则当t∈[2,3）时，有f（t）=2f（t-1）=4（t-2）（3-t）2从而f（x）=所以

，所以f（x）=f（x）=f

（2）=0，所以f（x）在x=2处连续。

3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

[解]因为点（2,0）不在曲线上，设切点坐标为（x0,0），则，切线的斜率为，所以切线方程为-0=，即。

又因为此切线过点（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切线方程为=-（x-2），即x+-2=0

4．导数的计算。

例求下列函数的导数：

（1）=sin（3x+1）；

（2）；（3）=es2x；（4）；（）=（1-2x）x（x>0且）。

[解]

（1）3s（3x+1）

（2）

（3）

（4）（）．用导数讨论函数的单调性。

例6设a>0，求函数f（x）=-ln（x+a）（x∈（0,+∞））的单调区间。

[解]，因为x>0,a>0，所以x2+（2a-4）x+a2>0；x2+（2a-4）x+a+<0

（1）当a>1时，对所有x>0，有x2+（2a-4）x+a2>0，即（x）>0,f（x）在（0,+∞）上单调递增；

（2）当a=1时，对x≠1,有x2+（2a-4）x+a2>0，即，所以f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f（x）在x=1处连续，因此f（x）在（0,+∞）内递增；（3）当0<a<1时，令，即x2+（2a-4）x+a2>0，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f（x）在（0,2-a-）内单调递增，在（2-a+,+∞）内也单调递增，而当2-a-<x<2-a+时，x2+（2a-4）x+a2<0，即，所以f（x）在（2-a-,2-a+）内单调递减。

6．利用导数证明不等式。

例7设，求证：

sinx+tanx>2x

[证明]设f（x）=sinx+tanx-2x，则=sx+se2x-2，当时，（因为0<sx<1），所以=sx+se2x-2=sx+又f（x）在上连续，所以f（x）在上单调递增，所以当x∈时，f（x）>f（0）=0，即sinx+tanx>2x

7利用导数讨论极值。

例8设f（x）=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f（x）在x1与x2处是取得极大值还是极小值。

[解]因为f（x）在（0,+∞）上连续，可导，又f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得

所以

所以当x∈（0,1）时，，所以f（x）在（0,1]上递减；

当x∈（1,2）时，，所以f（x）在[1，2]上递增；

当x∈（2,+∞）时，，所以f（x）在[2，+∞）上递减。

综上可知f（x）在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。

例9设x∈[0,π],∈[0,1]，试求函数f（x,）=（2-1）sinx+（1-）sin（1-）x的最小值。

[解]首先，当x∈[0,π],∈[0,1]时，

f（x,）=（2-1）sinx+（1-）sin（1-）x=（1-）2x=（1-）2x，令g（x）=,当时，因为sx>0,tanx>x，所以；

当时，因为sx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；

又因为g（x）在（0,π）上连续，所以g（x）在（0,π）上单调递减。

又因为0<（1-）x<x<π，所以g[（1-）x]>g（x），即，

又因为，所以当x∈（0,π）,∈（0,1）时，f（x,）>0

其次，当x=0时，f（x,）=0；当x=π时，f（x,）=（1-）sin（1-）π≥0

当=1时，f（x,）=-sinx+sinx=0；当=1时，f（x,）=sinx≥0

综上，当且仅当x=0或=0或x=π且=1时，f（x,）取最小值0。

三、基础训练题

1．=_________

2．已知，则a-b=_________

3．_________

4．_________

．计算_________

6．若f（x）是定义在（-∞,+∞）上的偶函数，且存在，则_________

7．函数f（x）在（-∞,+∞）上可导，且，则_________

8．若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-=0，则点P坐标为_________

9．函数f（x）=x-2sinx的单调递增区间是_________

10．函数的导数为_________

11．若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a

12求sin290的近似值。

13．设0<b<a<,求证：

四、高考水平练习题

1．计算=_________

2．计算_________

3．函数f（x）=2x3-6x2+7的单调递增区间是_________。

4．函数的导数是_________

．函数f（x）在x0邻域内可导，a,b为实常数，若，则_________

6．函数f（x）=ex（sinx+sx）,x的值域为_________

7．过抛物线x2=2p上一点（x0,0）的切线方程为_________

8．当x>0时，比较大小：

ln（x+1）_________x

9函数f（x）=x-x4+x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________，最小值为_________

10．曲线=e-x（x≥0）在点（t,e-t）处的切线l与x轴、轴所围成的三角形面积为S（t），则S（t）的最大值为_________

11．若x>0，求证：

（x2-1）lnx≥（x-1）2

12．函数=f（x）在区间（0,+∞）内可导。

导函数是减函数，且>0，x0∈（0,+∞）=x+是曲线=f（x）在点（x0,f（x0））处的切线方程，另设g（x）=x+，

（1）用x0,f（x0）,表示；

（2）证明：

当x∈（0,+∞）时，g（x）≥f（x）；（3）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥在（0,+∞）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。

13设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn+,证明：

xn≤1（n∈N+）

五、联赛一试水平训练题

1．设n={（十进制）n位纯小数0•只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是n中元素的个数，Sn是n中所有元素的和，则_________

2．若（1-2x）9展开式的第3项为288，则_________

3．设f（x）,g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，

，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集为_________

4．曲线与的交点处的切线夹角是_________

．已知a∈R+，函数f（x）=x2eax的单调递增区间为_________

6．已知在（a,3-a2）上有最大值，则a的取值范围是_________

7．当x∈（1,2]时，f（x）=恒成立，则=lg（a2-a+3）的最小值为_________

8．已知f（x）=ln（ex+a）（a>0），若对任意x∈[ln（3a）,ln（4a）]，不等式|-f-1（x）|+ln[]<0恒成立，则实数取值范围是_________

9已知函数f（x）=ln（1+x）-x,g（x）=xlnx,

（1）求函数f（x）的最大值；

（2）设0<a<b，证明：

0<g（a）+g（b）-<（b-a）ln2

10

（1）设函数f（x）=xlg2x+（1-x）lg2（1-x）（0<x<1），求f（x）的最小值；

（2）设正数p1,p2,…,满足p1+p2+p3+…+=1，求证：

p1lg2p1+p2lg2p2+…+lg2≥-n

11若函数gA（x）的定义域A=[a,b），且gA（x）=,其中a,b为任意的正实数，且a<b，

（1）求gA（x）的最小值；

（2）讨论gA（x）的单调性；

（3）若x1∈I=[2,（+1）2],x2∈I+1=[（+1）2,（+2）2]，证明：

六、联赛二试水平训练题

1．证明下列不等式：

（1）；

（2）。

2．当0<a≤b≤≤d时，求f（a,b,,d）=的最小值。

3．已知x,∈（0,1）求证：

x+x>1