高中数学第一章三角函数143正切函数的性质与图象学案新人教A版必修408223184.docx

高中数学第一章三角函数143正切函数的性质与图象学案新人教A版必修408223184.docx

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高中数学第一章三角函数143正切函数的性质与图象学案新人教A版必修408223184

1.4.3　正切函数的性质与图象

学习目标　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质（重点）.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题（重点、难点）．

知识点　函数y＝tanx的图象和性质

解析式

y＝tanx

图象

定义域

{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}　

值域

R　

周期

π　

奇偶性

奇函数　

单调性

在区间（kπ－，kπ＋）（k∈Z）都是增函数

【预习评价】　（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数y＝tanx在其定义域上是增函数．（　　）

（2）函数y＝tanx的图象的对称中心是（kπ，0）（k∈Z）．（　　）

（3）函数y＝tan2x的周期为π.（　　）

提示　

（1）×，y＝tanx在区间（kπ－，kπ＋）（k∈Z）上是增函数，但在其定义域上不是增函数．

（2）×，y＝tanx图象的对称中心是（kπ，0）（k∈Z）．

（3）×，y＝tan2x的周期为．

题型一　正切函数的定义域、值域问题

【例1】　

（1）函数y＝3tan（－）的定义域为________；

解析　由－≠＋kπ，得x≠－－4kπ，k∈Z，

即函数的定义域为{x|x≠－－4kπ，k∈Z}．

答案　{x|x≠－－4kπ，k∈Z}

（2）函数y＝tan（2x－），x∈（－，）的值域是________．

解析　∵－

∴tan（2x－）<1，即函数的值域为（－∞，1）．

答案　（－∞，1）

规律方法　求正切函数定义域的方法

（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠＋kπ，k∈Z．

（2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω>0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．

【训练1】　函数y＝tan（sinx）的定义域为______________，值域为______________．

解析　因为－1≤sinx≤1，

所以tan（－1）≤tan（sinx）≤tan1，

所以y＝tan（sinx）的定义域为R，

值域为[－tan1，tan1]．

答案　R　[－tan1，tan1]

考查

方向

　题型二　正切函数的单调性及应用

方向1　求正切函数的单调区间

【例2-1】　求函数y＝tan（－x＋）的单调区间．

解　y＝tan（－x＋）＝－tan（x－），

由－＋kπ

方向2　比较大小

【例2-2】　比较大小：

tan（－）和tan（－）．

解　∵tan（－）＝－tan（2π－）＝tan，

tan（－）＝－tan（2π－）＝tan．

又0<<<，y＝tanx在（0，）内单调递增，

∴tantan（－）．

规律方法　1.运用正切函数单调性比较大小的方法

（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

（2）运用单调性比较大小关系．

2．求函数y＝Atan（ωx＋φ）（A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法

（1）若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ

（2）若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan（ωx＋φ）转化为y＝Atan[－（－ωx－φ）]＝

－Atan（－ωx－φ），即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

【训练2】　比较tan1，tan2，tan3的大小．

解　∵1<<2<3<π，根据y＝tanx的性质可得：

y＝tanx在（0，）上单调递增且大于0，在（，π）上单调递增且小于0，∴tan20，

∴tan2

题型三　正切函数图象性质的应用

【例3】　

（1）函数y＝tan（2x＋）的最小正周期是（　　）

A．πB．2π

C．D．

解析　最小正周期为T＝＝．

答案　C

（2）画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．

解　由y＝|tanx|得，

y＝

其图象如图：

由图象可知，函数y＝|tanx|是偶函数．

函数y＝|tanx|的周期T＝π，

函数y＝|tanx|的单调递增区间[kπ，kπ＋）（k∈Z），

单调递减区间为（kπ－，kπ）（k∈Z）．

规律方法　1.作出函数y＝|f（x）|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：

（1）保留函数y＝f（x）图象在x轴上方的部分；

（2）将函数y＝f（x）图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．

2．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．

【训练3】　

（1）下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是（0，）上的增函数的是（　　）

A．y＝tanxB．y＝cosx

C．y＝tanD．y＝|sinx|

解析　由于y＝tanx与y＝tan是奇函数，但是只有y＝tanx的周期为π，y＝cosx与y＝|sinx|是偶函数．

答案　A

（2）画出f（x）＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．

解　f（x）＝tan|x|化为

f（x）＝

根据y＝tanx的图象，作出f（x）＝tan|x|的图象，如图所示，

由图象知，f（x）不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，），（kπ＋，kπ＋π）（k∈N）；单调减区间为（－，0]，（kπ－π，kπ－）（k＝0，－1，－2，…）．

课堂达标

1．函数f（x）＝tan（x＋）的单调增区间是（　　）

A．（kπ－，kπ＋），k∈Z

B．（kπ，kπ＋π），k∈Z

C．（kπ－，kπ＋），k∈Z

D．（kπ－，kπ＋），k∈Z

解析　由－＋kπ

答案　C

2．函数y＝2tan（－3x＋）的最小正周期是（　　）

A．B．

C．D．π

解析　T＝＝．

答案　B

3．比较大小：

tan________tan．

解析　因为tan>0，tan<0，所以tan>tan．

答案　>

4．函数y＝tanx（≤x≤，且x≠）的值域是________．

解析　函数y＝tanx在[，）上单调递增，在（，]上也是单调递增，所以函数的值域是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

答案　（－∞，－1]∪[1，＋∞）

5．求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．

解　由2x≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋kπ，k∈Z，

即函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，

值域为（－∞，＋∞），周期为T＝，对应图象如图所示：

课堂小结

1．正切函数的图象

正切函数y=tanx有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．

2．正切函数的性质

（1）正切函数y＝tanx的定义域是，

值域是R．

（2）正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan（ωx＋φ）（Aω≠0）的周期为T＝．

（3）正切函数在（k∈Z）上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．

基础过关

1．函数y＝2tan（2x＋）的定义域为（　　）

A．{x|x≠}B．{x|x≠－}

C．{x|x≠＋kπ，k∈Z}D．{x|x≠＋kπ，k∈Z}

解析　由2x＋≠＋kπ，k∈Z,得x≠＋kπ，k∈Z,故函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．

答案　D

2．函数y＝tanx＋是（　　）

A．奇函数B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数

解析　函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}，且tan（－x）＋＝－tanx－＝－（tanx＋），所以函数y＝tanx＋是奇函数．

答案　A

3．函数y＝lgtanx的增区间是（　　）

A．（k∈Z）B．（k∈Z）

C．（k∈Z）D．（kπ，kπ＋π）（k∈Z）

解析　由tanx>0，得kπ

答案　B

4．函数y＝3tan的对称中心的坐标是________．

解析　由x＋＝（k∈Z），得x＝－（k∈Z）．

∴对称中心坐标为（k∈Z）．

答案　（k∈Z）

5．比较大小：

tan（－）________tan（－）．

解析　tan（－）＝tan，tan（－）＝tan，

又y＝tanx在（，π）内单增，

所以tan

即tan（－）

答案　<

6．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的值域．

解　∵－≤x≤，

∴－1≤tanx≤1．

令tanx＝t，则t∈[－1,1]．

∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5．

∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，

当t＝1，即x＝时，ymax＝4．

故所求函数的值域为[－4,4]．

7．设函数f（x）＝tan，

（1）求函数f（x）的周期、对称中心；

（2）作出函数f（x）在一个周期内的简图．

解　

（1）∵ω＝，

∴周期T＝＝＝2π．

令－＝（k∈Z），得x＝kπ＋（k∈Z），

∴f（x）的对称中心是（k∈Z）．

（2）令－＝0，则x＝．

令－＝，则x＝．

令－＝－，则x＝－．

∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得函数y＝f（x）在一个周期内的简图（如图）．

能力提升

8．已知函数y＝tanωx在（－，）内是减函数，则（　　）

A．0<ω≤1B．－1≤ω<0

C．ω≥1D．ω≤－1

解析　∵y＝tanωx在（－，）内是减函数，

∴ω<0且T＝≥π．

∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0．

答案　B

9．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是（　　）

解析　当

当x＝π时，y＝0；当πsinx，y＝2sinx．故选D．

答案　D

10．函数y＝tan（＋），x∈[0，）∪（，π]的值域为________．

解析　∵x∈[0，）∪（，π]，

∴＋∈[，）∪（，]，

令t＝＋，

由y＝tant，t∈[，）∪（，]的图象（如图所示）．

可得，所求函数的值域为（－∞，－]∪[，＋∞）．

答案　（－∞，－]∪[，＋∞）

11．若tan（2x－）≤1，则x的取值范围是________．

解析　由题意可得－＋kπ<2x－≤＋kπ，k∈Z，解之得－＋kπ

答案　{x|－＋kπ

12．有两个函数f（x）＝asin，g（x）＝btan（k>0），它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1.求这两个函数，并求g（x）的单调递增区间．

解　根据题意，可得：

解得

故f（x）＝sin，g（x）＝tan．

当kπ－<2x－

即－

所以g（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

13．（选做题）函数y＝sinx与y＝tanx的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？

解　因为当x∈时，tanx>x>sinx，

所以当x∈时，y＝sinx与y＝tanx没有公共点，因此函数y＝sinx与y＝tanx在区间[0,2π]内的图象如图所示：

观察图象可知，函数y＝tanx与y＝sinx在区间[0,2π]上有3个交点．

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

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幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。