空间点直线平面之间的位置关系测试题含答案.docx
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空间点直线平面之间的位置关系测试题含答案
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题
、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）
4.经过平面外两点与这个平面平行的平面
A•只有一个B•至少有一个C•可能没有D•有无数个
5.
7.m,n是两条不同直线，，
A.若mil,nII,则miln
C.若mil,mI,则II
过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBiA平行的直线共
有（
）
A.3条
B.4条
C.
5条D.6
条
6.a,b是两条异面直线，
下列结论正确的是（
）
A.过不在
a,b上的任一
-占
八、、
P,可作一个平面与
a,b平行
B.过不在
a,b上的任一
-占
八、、
P,可作一条直线与
a,b相交
C.过不在
a,b上的任一
-占
八、、
P,可作一条直线与
a,b都平行
D.过a可以并且只可以作一平面与b平行
是三个不同平面，下列命题中正确的是（
B.若，，则I
D.若m,n,则miln
8.如图1,
正四面体
ABCD的棱长均为
a，且AD
平面于A,点B,C,D均在平面
且在平面
同一侧，
则点B到平面
的距离是（
）
Aa
B
a
、、2a_
3a
A.—
C.
D.
—
2
3
2
3
外,
F列结论正确的是
10•点P在正方形ABCD所在平面外，PD丄平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度
数为
（）
A.30°B
.45°
C.60°
D.90°
11.已知二面角丨
的大小为50°,
P为空间中任意一点，
则过点P且与平面和平面
所成的角都是250
的直线的条数为（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
12.在正四棱柱ABCDABiCiDi中，顶点B到对角线BD,和到平面ABCDi的距离分别
为h和d，则下列命题中正确的是（）
A.若侧棱的长小于底面的边长，则
B.若侧棱的长小于底面的边长，则
C.若侧棱的长大于底面的边长，则
D.若侧棱的长大于底面的边长，则
、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.如图3,AABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,
/CBA=/CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为.
14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点，贝UBD1与过点A,E,
C的平面的位置关系是.
15.若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为m，则在长方体ABCD
n
—A|B1C1D1中，四面体AABC的直度为.
16.,表示平面，I表示既不在内也不在内的直线，存在以下三个事实：
①I丄；②
I//;③丄.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数
为个.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.如图4,在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是棱
BC的中点.求证：
（1）ADGD；
⑵A1B//平面ADC1.
18.如图5,已知三棱柱ABCABG的侧棱与底面
垂直，BAC90°,M,N分别是AB1,BC的中点.
（1）证明：
ABAC1;
（2）判断直线MN和平面ACGA的位置关系，并加以证明.
19.如图6,在正方体ABCDABQQ!
中，E,F分别为棱
AD,AB的中点.
⑴求证：
平面CAAiCi丄平面CB1D1；
（2）如果AB1，一个动点从点F出发在正方体的表面上依次经
过棱BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA上的点，最终又回到点F,指
出整个路线长度的最小值并说明理由•
20.
如图7,四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且
21.
细钢管•考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：
①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面•
（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O
分细钢管上下两段之比为2:
3.确定三根细钢管的长度（精确到
0.1cm）
22.如图9所示，在边长为12的正方形AAA'A1中，点B，C在线段AA'上，且AB=3，BC
=4，作BB//AA1,分别交AA'、AA'于点B1，P，作CC//AA1，分别交A1A1'，AA'于点C，Q将该正方形沿BB，CG折叠，使得A'A1'与AA1重合，构成如图10所示的三棱柱ABC-A1BO.
（1）在三棱柱ABC-ABC中，求证：
AB丄平面BCCB1；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比.
图9
C1
Q
C
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题
一、选择题1~6DCBCDD7~12DAECBC
提示3对于①平行于同一直线的两个平面平行，反例为：
把一支笔放在打开的课本之间；
②是对的，③是错的；④是对的
5.取AC,BC,BiCi,ACi中点E,F,M,N，直线分别为EF,MN,EN,EM,FM,FN都与平面ABBiAi平行.
6.
如图所示，在直线a上任取一点P,过P作b'//b,则anb'=P.那么a与b'确定一个平面a.因为b/b',b'a,ba,所以b//a.所以过a可以作一个平面a与b平行.
假设还可作一平面B与b平行，则anp=a,b//a,b〃B,所以a//b.
这与a、b异面相矛盾，即假设不成立.所以只有一个平面a.
综上所述，过a有且只有一个平面与b平行.故选D.
7.m,n均为直线，其中m,n平行，m,n可以相交也可以异面，故A不正确；
m,n丄a则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D
&取AD的中点M易证AD平面BCM，故平面BCM//平面，平面BCM
a
到平面的距离为-，即为B到平面的距离.
2
9.因AD与AB不相互垂直，排除A;作AGPB于G,因平面PAB
平面ABCDEF而AG在平面ABCDE上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B;由BC//EF，而EF是平面PAE的斜线，故排除C,故选择D.
10.将图形补成一个正方体如图，则PA与BD所成角等于BC与BD
11.
所成角即/DBC.在等边三角形DBC中，/DBC=60°即PA与BD所成角为60°
设在正四棱柱中，由于BCAB,BCBB1,
因为AO=OD=wa,所以/ADO=45°.
14.连接AC,BD相交于一点O,连接OE,AE,EC.
因为四边形ABCD为正方形，所以DO=BO.而DE=DiE，所以EO为厶DDiB的中位线,所以EO//DiB,所以BDi//平面AEC.
15.本题主要考查空间的垂直关系，由图形得四面体AABC的每个面都是直角三角形,
m4所以1.
n4
16.
②是正确命题，由②③不能得到①
由①②③、①③三、解答题
平面ABC,
17.证明：
（1）因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以C1C
又AD平面ABC，所以C1CAD.
又点D是棱BC的中点，且ABC为正三角形，所以
因为BCIC1CC，所以AD平面BCC1B1,又因为DC1平面BCC1B1，所以ADC1D.
⑵连接A.C交AC1于点E，再连接DE.
因为四边形A1ACC1为矩形，所以E为A1C的中点，
ADBC.
又因为D为BC的中点，所以ED//AB.
由条件BAC90°，即ACAB，且AC?
CC1C，所以AB平面ACC1A1.又AG平面ACGA，所以ABAC1.
（2）MN//平面ACC1A，证明如下：
设AC的中点为D，连接DN,AQ.
因为D,
1
N分别是AC,BC的中点，所以DN//-AB.
2
又AM=
1
A1B1,A1B1〃AB，所以AM〃DN.
2
所以四边形ADNM是平行四边形•所以AD//MN.
因为AQ平面ACC1A1,MN平面ACGA，所以MN//平面ACGA.
19.
（1）证明：
因为在正方体AG中，AA丄平面AiBQD,而BD
丄BiD.
又因为在正方形AiBCiD中，AQ丄BiD,所以BiD丄平面CAAO.又因为BiD平面OBD，所以平面OAAO丄平面CBD.
⑵最小值为3■■一2•如图，将正方体六个面展开成平面图形，
从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB，BiO，
平面ABQD，所以AAi
OD，DD,DA上的中点，所求的最小值为32•20解：
（i）连结BD，AO，设BD与AO交于O.由底面是菱形，得BDAC.
QSBSD，O为BD中点，BDSQ
又AOSOQ，BD面SAO.
又AE面SAO，BDAE.
（2）取SO的中点F，连结QF，QE，SA//QF.
QF与平面EDB所成的角就是SA与平面EDB所成的角.
QSC
平面BED，
FE
面BED，
E为垂足，
EQF为所求角
在等腰
CSB中，SO
BO
2a,SB
、2a
得底边SB上的高为CH
设细钢管上下两段之比为.已知凳子高度为30.则OH上—.
1
因为节点Q与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.
所以QBH就是QB与平面ABC所成的角，亦即
QBH45°.因为BHQH,所以竺^3，解得"厂0.63.
3923
即节点Q分细钢管上下两段的比值约为0.63.
（2）设Bi20°,所以ABBO24，AO243.
设厶ABC的重心为H，则BH8,AH87,由节点0分细钢管上下两段之比为2:
3，可知0H12.
设过点A,B,C的细钢管分别为AA,BB,CC，
cc-_
则AACC-OA.0H2AH210.3760.8，
22
--22—
BB-OBOHBH10.1336.1，
22
所以对应于A,B,C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm,36.1cm和60.8cm.
22.
（1）证明：
在正方形AAA'A1中，
因为A'C=AA'-AB-BC=-，所以三棱柱ABOABC的底面三角形ABC的边AC=5.
因为AB=3,BC=4,所以AB+BC=AC.所以AB1BC
因为四边形AA'A1'A1为正方形，BB//AA1,所以AB丄BB1.
而BCHBB1=B,BC平面BCCB,BB平面BCCB，所以AB丄平面BCC&.
⑵解：
因为AB丄平面BCCB，所以AB为四棱锥A-BCQP勺高.
因为四边形BCQP为直角梯形，且BNAB=3,CQ=AB+BC=7,
1
所以梯形BCQP勺面积为Sbcq^2（BP+CQ）XBC=20.
1
所以四棱锥A-BCQP勺体积Va-BCQ7-Sbcq就AB=20.
3
平面ABC
由
（1），知BB丄ABBB丄BC且ABABC=B,AB平面ABCBC
所以BB丄平面ABC所以三棱柱ABC-ABC为直棱柱.
72—2013
20="5.
所以三棱柱ABC-ABQ的体积为VAbc-aB1c=S^abcXBB=72.
故平面APQ将三棱柱ABC-ABC分成上、下两部分的体积之比为
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