考研数学教你如何复习高数.docx

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考研数学教你如何复习高数

考研数学：

教你如何轻松求解数列极限

极限平均每年在考研数学中所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。

极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。

熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。

　　一、极限无外乎出这三个题型：

求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。

熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键,极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。

以下我们就极限的内容简单总结下。

　　二、极限的计算常用方法：

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

　　四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

　　三、与极限计算相关知识点包括：

　　1、连续、间断点以及间断点的分类：

判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限;

　　2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在;

　　3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）;

　　4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。

　　下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。

　　求数列极限可以归纳为以下三种形式。

　　抽象数列求极限

　　这类题一般以选择题的形式出现,因此可以通过举反例来排除。

此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。

　　求具体数列的极限,可以参考以下几种方法：

　　1、利用单调有界必收敛准则求数列极限。

首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。

　　2、利用函数极限求数列极限。

如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。

　　求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法：

　　1、利用特殊级数求和法。

如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。

　　2、利用幂级数求和法。

若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。

　　3、利用定积分定义求极限。

若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示,则可以考虑用定积分定义求解数列极限。

　　4、利用夹逼定理求极限。

若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解。

　　5、求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。

2016考研高等数学最后百天复习计划

考研不是数学竞赛，不会出现这类题目，因此完全没必要浪费时间。

每年许多考生容易在看似不起眼的选择题和填空题上失很多分。

其实选择与填空题在数学考卷中所占的比重很大，这些题目的解答往往会"一失足成千古恨"，稍不留神，一步做错就全军覆没。

　　在现阶段一定要有针对性地进行复习，所做题目的难度不能太小，当然也不能过于偏，而且复习要形成系统的知识体系结构。

将做过的题目进行总结。

目前阶段不要过于钻研偏题怪题。

　　复习中，遇到比较难的题目，自己独立解决确实能显着提高能力。

但复习时间毕竟有限，在确定思考不出结果时，要及时寻求帮助。

一定要避免一时性起，盯住一个题目做一个晚上的冲动。

要充分借助老师、同学的帮助，将题目弄通搞懂、下次自己会做即可，不要耽误太多时间。

另外无论是大题还是小题，都要细心。

不能说只要考场上认真，仔细地做题就不会有"会做但做错"的情况出现，应该平时做题就态度认真。

　　如何才能真正吸收消化这些知识以成为自己的知识呢?

根据自己的总结，考生可以知道常规的题型和解题方法与技巧，考生要进行相当量的综合题型的练习。

因为在复习过程中，不少考生会渐渐地有能力解答一些考研的基本题目，但如果给他一道较为综合的大题，就无从下手了。

所以要做一定量的综合题。

　　不要现看到没做过的题就犯怵，一些大题目都是可以分解为若干个小题目去分别解答的。

考生要掌握的东西就显然被分为了两个大方向。

一是小题目，实质上也就是基础知识点的掌握与常规题型的熟练掌握;二是要能够将大题目拆分为小题目，也就是说能够逆出题专家的思维方式来推测此大题目是想考我们什么知识点

考研高数：

不定积分与定积分定理定义汇总

　第四章不定积分

　　1、原函数存在定理定理如果函数f（x）在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F（x），使对任一x∈I都有F’（x）=f（x）;简单的说连续函数一定有原函数。

　　分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u.

　　2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

　　第五章定积分

　　1、定积分解决的典型问题

（1）曲边梯形的面积

（2）变速直线运动的路程

　　2、函数可积的充分条件定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。

　　定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积。

　　3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0.推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg（x）dx.推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx.性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf（x）dx≤M（b-a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

　　性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：

∫abf（x）dx=f（ξ）（b-a）。

2016考研高数二重积分定义定理汇总

　1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积（A=∫∫√[1+f2x（x，y）+f2y（x，y）]dσ）

　　平面薄片的质量平面薄片的重心坐标（x=1/A∫∫xdσ，y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。

　　平面薄片的转动惯量（Ix=∫∫y2ρ（x，y）dσ，Iy=∫∫x2ρ（x，y）dσ;其中ρ（x，y）为在点（x，y）处的密度。

　　平面薄片对质点的引力（FxFyFz）

　　2、二重积分存在的条件当f（x，y）在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f（x，y）在D上的二重积分必定存在。

　　3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上，f（x，y）≤ψ（x，y），则有不等式∫∫f（x，y）dxdy≤∫∫ψ（x，y）dxdy，特殊地由于-|f（x，y）|≤f（x，y）≤|f（x，y）|又有不等式|∫∫f（x，y）dxdy|≤∫∫|f（x，y）|dxdy.性质设M，m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有mσ≤∫∫f（x，y）dσ≤Mσ。

　　性质（二重积分的中值定理）设函数f（x，y）在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η）使得下式成立：

∫∫f（x，y）dσ=f（ξ，η）*σ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函数中的x，y分别换成ycosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxd。

高数多元函数微分法定义定理汇总

　定积分的应用

　　求平面图形的面积（曲线围成的面积）

　　直角坐标系下（含参数与不含参数）

　　极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）

　　旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）

　　平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）

　　功、水压力、引力

　　函数的平均值（平均值y=1/（b-a）*∫abf（x）dx）

　　多元函数微分法及其应用

　　1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，函数都无限接近于A，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。

反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

例如函数：

f（x，y）={0（xy）/（x^2+y^2）x^2+y^2≠0

　　2、多元函数的连续性定义设函数f（x，y）在开区域（或闭区域）D内有定义，P0（x0，y0）是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim（x→x0，y→y0）f（x，y）=f（x0，y0）则称f（x，y）在点P0（x0，y0）连续。

　　性质（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

　　性质（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

　　3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。

这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f（P）趋于f（P0），但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都趋于f（P0）。

　　4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

　　5、多元函数可微的充分条件定理（充分条件）如果函数z=f（x，y）的偏导数存在且在点（x，y）连续，则函数在该点可微分。

　　6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理（必要条件）设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y0）处有极值，则它在该点的偏导数必为零。

　　定理（充分条件）设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx（x0，y0）=0=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，则f（x，y）在点（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：

（1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当a>0时有极小值;

（2）AC-B2<0时没有极值;（3）AC-B2=0时可能有也可能没有。

　　7、多元函数极值存在的解法

（1）解方程组fx（x，y）=0，fy（x，y）=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。

（2）对于每一个驻点（x0，y0），求出二阶偏导数的值A、B、C.（3）定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f（x0，y0）是否是极大值、极小值。

　　注意：

在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。

2016考研数学高数重点考点预测

　总体分析

　　首先，根据近几年来的真题，现在的数学考试内容有越来越规范的趋势，更加注重对于三基即对于基本概念，基本理论和基本方法的考核，不会出现超纲或者特别重视技巧的现象，要求大家重视基础，在加强题量练习的基础上，重视对知识点的理解和掌握，对于一些偏题、怪题应该有选择地放弃。

　　其次虽然说考研数学的总体难度在下降，但是根据以往的经验来看，难题一般都在高数上，所以要想得到高分，高数就显得特别重要。

　　试卷结构

　　整套试卷满分150分，考试时间180分钟，数学一和数学三试卷中高等数学占56%，分数值为82分，数学二试卷中高等数学占78%，分数值为116分。

试卷结构为单选题8道，填空题6道，解答题9道。

数学一和数学三试卷的择题1至4题、填空题9至12题、解答题15至19题考的是高等数学内容，数学二试卷的选择题1至6题、填空题9至13题、解答题15至21题考的是高等数学内容。

　　选择题和填空题：

属于中等偏下难度的题目，重点考察大家对于三基的掌握。

　　解答题：

主要考察中等难度和较高难度的题目，以四种题型为主：

计算题、证明题、应用题（几何应用、物理应用、经济应用）、综合题。

解答题一般涉及多个知识点，比较综合。

　　高数重点知识点

　　具体的重点知识点如下：

　　1、极限计算（数列和函数极限，等价无穷小代换、泰勒公式、洛必达法则等）;

　　2、导数及其应用（方程根的问题、极值最值、拐点、凹凸性、渐近线、不等式的证明等）;

　　3、中值定理相关的证明;

　　4、不定积分、定积分的计算（换元法、分部积分法、有理函数积分的计算，变限积分函数求导公式、牛顿-莱布尼兹公式的应用等）;

　　5、定积分的几何应用（微元法，平面图形的面积、旋转体的表面、弧长、旋转体的体积等）;

　　6、多元函数的微分法（偏导数的计算、条件极值为重点）;

　　7、二重积分的计算（数二、数三的必考题）;

　　8、微分方程（特定类型的方程求解，应用题等）;

　　9、级数（敛散性判断、级数求和、函数的幂级数展开，傅立叶级数（数一））;

　　10、曲线曲面积分（数一必考，格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的运用）。

　　只要大家平时注重基础知识的理解和掌握，并配合一定数量题目的练习，就一定能够在数学上拿到高分。

线代正确的复习方法

基础要抓牢

　　线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。

　　对于线性代数中的基本运算，行列式的计算（数值型、抽象型），求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。

一定要注意总结这些基本运算的运算方法。

例如，复习行列式的计算时，就要将各种类型的行列式计算方法掌握清楚，如，行（列）和相等型、爪型、三对角线型，范德蒙行列式等等。

　　真题要重视

　　考研真题是最具有代表性的，考研真题题型的重复率可以达到90%，因此要加强对历年真题的重视，尤其是近十年的真题。

　　总体来讲，做真题可以分三步。

第一步，做套题，这样一是可以检验复习的水平，发现概念和内容上不熟悉的地方，另外为真正的考试积累经验。

第二步，按照章节分类解析，在第一步基础上，有些题目有可能会做错，把它们记下来，在进行各个章节专题训练时，强化知识点和解题方法。

最后，把近十年的真题再研究一下，弄清楚常考的是哪些内容，把考试题型彻底熟悉，并且要会正确解答。

一定不要过多的花时间去理解其它无关或者非重点内容。

　　动手加总结那才是完美的选择

　　从近几年的研究生入学考试试题看，加强了对考生分析问题和解决问题能力的考核。

所以大家在做题过程中，一定要注意以下两点：

一是多动笔，数学复习最忌讳光看不练，很多同学考试时因为计算性的错误丢分是很常见的，所以多做练习对于巩固知识点、提高计算能力都有很大帮助。

　　二是多总结，平时在做题的过程中需要注意总结一些解题思路，哪种类型的题要用什么思路，解题过程中容易出错的地方在哪里，这样经过一段时间训练后，在正式考试中看到相似题型后可以迅速确定用哪种解法，大大提高了解题的速度和效率。