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论光子晶体的性质、制备及应用

HARBININSTITUDEOFTECHNOLOGY

论光子晶体的性质、制备及应用

Features,Preparing,andApplicationsofthePhotonicCrystal

哈尔滨工业大学英才学院

班级：

1140005班

姓名：

魏亚东

学号：

7111100503

2012/11/4

摘要

人工制备光子晶体方兴未艾，这种晶体的存在依据于与晶体场类似的能带理论。

其周期型结构使得入射光发生色散现象。

其中某些波长的入射光将不可能在其中传播。

研究光子晶体理论的方法有多种，其中最早的是有效折射率法，最经典的是平面波法，但是核心都在于解释光子晶体的周期性结构以及光子禁带的形成。

按照空间结构光子晶体的制备分为一维光子晶体和二维、三维光子晶体的制备。

制备方法各有不同。

光子晶体的特性包括在能带内部的可能使物质达到的负折射率，能带边缘的超棱镜效应，以及能带间隙的禁带效应等等。

每一种特性对应着许多方面的应用，因此光子晶体很可能成为21世纪非常重要的研究课题。

Abstract

PhotonicCrystal,whoseexistenceisbasedonthetheorysimilartotheEnergybandtheory,hasbeenbecomingincreasinglyawell-developingissueforresearch.Itsperiodicalstructurecausesthedispersionamongdifferentlightwaves,someofwhichwillnotbepropagatedinthiskindofcrystal.Thereareseveraltheoriestoexplainthefeatureofthephotoniccrystal.ThemethodofEffectiveIndexofRefractionTheoryandtheplain-wavemethodarementionedindetailinthisreview,whicharethemostrepresentativetoclearouttheperiodicstructureofphotoniccrystal,andtheemergenceoftheOpticsBandGap.Therearealsoseveralconvenientmeanstopreparethemulti-dimensioncrystals.photoniccrystalwillbeusedcommonlyinthreedifferentways,thenegativeindexofrefractionwhichemergedfromtheenergybandinside,thesuperlensingeffortsinventedontheedgeoftheband,andthelightgateusingthebandgap.Hence,thephotoniccrystalhasthepotentialtobeexploredbytheresearchers.

关键词：

能带理论光子晶体有效折射率光学特性制备

7

目录

摘要

1. 从能带理论到光子晶体 1

2. 光子晶体的原理表示 1

2.1有效折射率理论 1

2.2平面波法 3

2.3时域有限差分法 3

2.4多极法 4

3. 光子晶体的特性描述 4

3.1光子晶体能带带内特性——色散效应导致负折射率 4

3.2光子晶体能带带边特性 5

4. 光子晶体的制备方法 5

4.1微加工方法 6

4.2全息光刻方法 6

4.3胶体晶体自组装方法 6

4.4双光子聚合方法 6

5. 光子晶体的潜在应用 7

应用1 7

应用2 7

应用3 8

应用4 8

6. 总结 8

7. 参考文献 7

1.从能带理论到光子晶体

光子晶体，根据全国科学技术名词审定委员会的定义，是在介电常数（折射率）随光波长大小周期性巨大变化的人工晶体。

光子晶体是相对于电子晶体而言，它们具有共同的理论基础：

晶体的能带理论。

能带理论把一切晶体看成一个大“分子”，分子由许许多多个原子组成。

由于原子之间的成键作用，多个原子，同一原子能级的电子轨道发生重叠、杂化，产成许多能量相差极小能级。

几乎连续的能级形成能带，电子按泡利不相容原理和能量最低原理依次填入能带之中。

最终形成了晶体的稳定结构。

我们按照能量大小顺序排列能带，可以形成一张能带排布图（如下所示）。

我们不关心电子在上面如何排布，但是我们知道电子一定不可能存在于两条能带之间的A区域，这个处在两能带之间的区域是电子的禁区，于是被称为电子的禁带。

能带理论最成功之处在于解释晶体的导电性。

根据禁带宽度的不同以及电子排布，可以把晶体分为导体、半导体及绝缘体。

如果电子未充满某一能带，晶体将表现为晶格原子被“电子海洋”所笼罩，这就是典型的导体——金属晶体的导电性来源。

如果能带表现为全满或全空，但是禁带非常宽，晶体电子便非常不容易被激发，表现为绝缘体的性质。

显然，如果禁带不是很宽，晶体电子便可能在被赋予能量的前提下穿越禁带，达到上一个能带，使上一个能带成为不完全充满的能带。

这种现象在宏观世界中的表现，就是绝缘材料在某些条件之下（高温、压力、光照）具备了良好的导电性，而这种材料通常被称为半导体。

由上述理论可以说明，电子也受到晶格的影响而改变其行进方式，表现为电子轨道的改变。

相应地，光子会受到光子晶体“晶格”的影响，引起许多令人振奋的现象。

2.光子晶体的原理表示

和电子晶体相似，光子晶体的第一个作用是引起入射光的能量发生重新分配，激发散射现象。

分析这种散射现象的方法很多，包括有效折射率法、有限元法、矢量边界元素法、时域有限差分法、平面波展开法、全矢量法、超格子法、多重散射法、边界元法等等。

2.1 有效折射率法[1]

限于作者的数学物理水平，这里仅对有效折射率法进行讨论。

但是其他方法也不是一笔带过，我们要进行一些比较。

这里以一维晶体为突破口。

一般说来，色散特性是指介质的折射率随频率变化的关系．为了描述光子晶体这种特殊结构材料的色散关系，这里引入“有效折射率”的概念．对于有限长度、一维光子晶体的色散特性，先从复透射系数开始，设复透射系数为

tω=χω+iyω=Te-i∅①

式中，

∅t=arctanyχ±mπ②

∅t是光透过介质传播时，总的相位移动。

复透射率t（ω）可以用传输矩阵的方法计算。

∅t这个参量包含了分层介质结构的所有的信息，如各层介质的折射率、各层的厚度、总的层数等等．整数m的选取应使∅t（ω）是单调递增函数，并且当ω→0时，m=0．

仿照光在均匀介质中的传播，可以把透射场中总的相位积累表示为

∅t=KωD=ωcneffωD③

式中，D是一维光子晶体总的几何长度，c是真空中的光速，Kω是有效波矢，而neff（ω）是与晶体结构有关的有效折射率。

根据能带理论的原理表述，在某些频率范围内的光子不能在光子晶体中传播．因此，光子晶体的有效折射率应该是复数，并且在光子禁带有很大的虚部分量，以至于在光子禁带有接近100%的散射衰减，或者光被全部反射，形成消散场模式。

根据复透射系数的表达式①，t=elnTei∅1=ei∅=x+iy，因此i∅=i∅t+lnT。

我们假定单位振幅的入射光场衰减了e-γD，其中γ=ωcni

因此，

T=t=e-γD=e-ωcniD

lnT=-ωcniD=i（∅-∅t）

令

i∅=i（ωc-1neffD）

neff被称为复有效折射率，其表达式根据上述推导可知为

neff=cωD∅t-12lnx2+y2i ⑤

在光子透射带，x2+y2=1，负折射率虚部为0

在光子禁带，T≪1，此时复有效折射率neff就能很好的描述光在光子晶体中的传播行为。

可以把复有效折射率定义为真空中的光速，与光在介质中的有效相位速度ωK（ω）的比值。

其中Kω=ωcneff，称为复有效波矢。

所以，式⑤很好地表达了光子晶体一般的色散关系。

以上思路是从光的复透射系数入手，根据禁带现象，经过合理的光衰减假设得到“有效波矢”和“有效折射率”的表达式。

等效折射率模型，主要用于解释全反射型光子晶体光纤的单模特性，是把光子晶体等效为传统的阶跃折射率光纤。

因此应用具有一定的局限性。

2.2 平面波法[2]

平面波法是光子晶体能带计算中用得比较早也是用得最多的一种方法。

它应用Bloch定理在固体物理学中，布洛赫波（Blochwave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数，又名布洛赫态（Blochstate），由一个平面波和一个周期函数（布洛赫波包）相乘得到。

其中与势场具有相同周期性。

布洛赫波的具体形式为：

ψr=e-ik∙ru（r）

式中k为波矢。

上式表达的波函数称为布洛赫函数。

当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：

ψr+Rn=eik∙Rnψr

这一结论称为布洛赫定理（Bloch'stheorem），其中为晶格周期矢量。

可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。

，将电磁波在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开；将Maxwell方程组化成本征方程，然后求解得到本征频率，本征频率的集合即为光子能带。

这种方法的优点：

思路清晰，易于编程；缺点是计算精度和计算量决定于平面波的数量，尤其是当结构复杂且有缺陷时使用的平面波数量太多，计算量太大而无法完成。

当介电常数非恒定时，没有一个明确的本征方程，展开时可能发散，根本无解。

2.3 时域有限差分法

时域有限差分法主要用于电磁场计算，亦可用来解决光子晶体中的电磁场问题并且取得了成功。

用时域有限差分法来求解Maxwell方程的主要步骤是:

1）将Maxwell方程分解成6个分量的标量方程;

2）将空间沿轴向分割为Δx，Δy，Δz表示的小单元—Yee格点，Δt为时间变元，则时空点用（iΔx，jΔy，kΔz，nΔt）表示，简单地用（i，j，k，n）表示;

3）用中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，精确到二阶。

如此就可以得到Maxwell方程的FDTD形式，然后再附加稳定性条件和Mur边界条件，使求解的有限空间与无限空间等效，向边界行进的波在边界处保持外向行进特征，无明显反射，不会引起内部空间场的畸变。

这样处理后就可求解Maxwell方程了。

对于二维光子晶体的理论研究，FDTD方法有以下优点:

（1）它可以处理任意几何形状和复杂媒质的光子晶体。

（2）它能够实时再现场的空间分布，精确模拟出光在光子晶体中的传输行为。

（3）它可以通过一次时域分析计算，借助傅立叶变换可以计算出很大频率范围的结果。

（4）操作时间短。

它的缺点是计算量大，对计算机的性能要求比较高。

2.4　多极法

多极法是一种较新的数值计算方法,最早由White和Kuhlmey等人提出,适合于快速计算由圆柱形空气孔构成的微结构光纤。

其主要思想是把每个空气孔周围的场分量用傅里叶-贝塞尔函数展开,然后把这些函数联立,加入边界条件,组成一个方程组。

通过寻找系统矩阵行列式的零点来确定传播常数,利用其实部就可以计算色散。

3.光子晶体的特性描述

3.1 光子晶体能带带内特性——色散效应导致负折射率

光子晶体能带复杂的带内色散特性，使得光子晶体具有许多奇异的现象，比如光子晶体可以和左手材料一样，有负的折射率。

Veselagoo于1968年首次提出了负折射概念，直到1996年英国皇家学院的Pendry等从理论证明利用一种共振环和金属丝组成的周期结构可以实现负折射效应，才引起广泛关注，这种新型人工电磁介质材料成为前沿和热点研究领域，2003年被《Science》杂志列为十大科技突破之一。

负折射率的出现，是通过光子晶体结构的变化实现群速度的调制，某些光子晶体中的衍射可以激发相速度和群速度方向相反的波，光子晶体的等效折射率小于零，类似于左手材料，即可以出现负折射现象。

[3]

由于光子晶体结构设计多种多样，利用光子晶体实现负折射可以有多种选择，比如2002年Luo等证明在二维正方晶格光子晶体的最低阶能带可以实现全角负折射。

[4]2004年，X.Wang等发现二维三角晶格光子晶体也可实现负折射效应。

[5]

除了类似左手材料等效折射率小于零的负折射现象[6]，光子晶体还有一种特有的负折射现象，尽管群速和介质有效折射率都大于零，但是受到入射波和折射波沿界面切向的波矢分量守恒条件的限制，使得电磁波群速度向负方向偏折。

[4]利用光子晶体的负折射效应制作超透镜，相比于普通的透镜，它突破了衍射极限的限制，实现“完美成像”。

同样是在2004年，X.Wang等的研究发现二维三角晶格光子晶体可获得作近场的超透镜成像。

3.2光子晶体能带带边特性

光子晶体能带的带边也有两个重要的特性，其一是本征模式的群速度变的很小，其二是光子晶体在带边可以有很大的色散，即相速度色散，可以导致超常折射。

另外，光子晶体的带边也可以通过合适的设计，使得光子晶体的群速度色散很大，导致很小的入射角改变就可以引起很大的折射角改变，Kosaka首次把这种特性定义为超棱镜。

普通光学棱镜具有色散特性，利用不同的波长折射率不同，实现分光，但是一般情况下，制作棱镜的材料折射率对光波长变化不很明显，典型的波长分辨本领是0.38nm-0.8nm。

而利用光子晶体结构带边强烈的非线性色散特性，一般在布里渊区边界附近，该区的折射率变化也就会非常大。

文献[9]中利用二维三角排列的光子晶体实现了高分辨率的分光，他们选取各个主要对称点处的色散各向同性的三角晶格光子晶体来实现分光能力的实验研究，因为该结构中的色散各向同性就保证了有效折射率不会由于传播方向的改变而发生大的改变，这样所测的折射率的变化仅仅由波长的改变而引起，使数据分析简单化。

他们的结果显示了在微波段85~112GHz，晶体的有效折射率变化最大可达到20%。

他们根据归一化频率预测，如果将该光子晶体设计成波长为700nm的可见光频段时，相应的光子晶体尺寸只需15-20μm，而性能不会改变。

4.光子晶体的制备方法[10]

根据文献记载，制备光子晶体通常分为对一维线状的光子晶体的制备，二维平面的光子晶体的制备，以及三维光子晶体的制备。

所谓“一维”“二维”“三维”，指的是它在空间分布的周期性的维度，三种晶体的维度图形分别如下：

很明显，一维光子晶体的制备是最为简单的一种，但也需要制备微米级厚度的层状结构。

一般所谓的光学多层膜即是一维结构的光子晶体,已被广泛地应用在光学镜片上。

目前为止，二维和三维晶体的制备方法是光学研究的热门方向。

4.1微加工方法

微加工方法是最早报道的人工制备光子晶体的方法,具体是通过在基体材料上机械钻孔、刻蚀等方法,利用空气与基体材料的折射率差获得光子晶体。

微加工方法通常采用半导体离子刻蚀技术如电子束刻蚀、激光刻蚀和化学刻蚀等制备光子晶体。

这种方法由于工艺复杂,目前主要在有成熟工艺的硅（Si）和砷化镓（GaAs）基底上加工,成本昂贵,而且所制得结构层数少,质脆、性能易受环境影响,极大限制其应用。

4.2全息光刻方法

全息光刻技术是利用激光束干涉产生三维全息图案照射在感光树脂上,感光树脂因此产生聚合,随后通过显影除去未聚合感光树脂,留下由聚合物和空气构成的三维周期结构。

对于全息结构还有一些需要解决的问题,如通过全息技术得到的三维光子晶体的光学特性还不够理想,可以用于这些结构制备的光学反应还不多。

但是最近的研究进展用高折光指数材料复型制备反相结构可以提高光学特性[11]，表明全息光刻技术有可能成为三维光子晶体制备的有效方法。

4.3胶体晶体自组装方法

单分散胶体粒子的稀溶液在弱的离子强度情况下,颗粒在静电作用及范德华力作用下可以自发排列形成面心立方和体心立方等有序结构,称之为胶体晶体。

人们已经发展了很多方法来组装高质量的胶体晶体,目前主要有重力场沉积法、物理强制沉降法、竖直沉积法、电场作用下的自组装等方法。

4.4双光子聚合方法

多光子聚合（multiphotonpolymerization,MPP）是制备三维光子晶体有效的方法。

简单来说,MPP利用多光子激发过程的非线性本质,只激发在焦点周围很小的体积范围里的分子,此体积为光学可分辨尺度。

这些被激发的分子诱导局域聚合反应,从而形成三维聚合物结构。

通俗地来说，就是三维光子晶体的“魔方”结构通过“砖块聚合”的方法结合。

目前经常使用的是双光子技术,所以MPP通常指双光子聚合（TPP）。

TPP不仅可以制备光子晶体,也可以将任意复杂形状的缺陷引入到光子晶体中,是很有希望用于三维光子晶体制备的技术。

目前,TPP已经可以制备光子禁带在红外区域,具有层层结构及斜孔[12]结构的光子晶体。

5.光子晶体的潜在应用

光子晶体的主要应用方面包括以下几处

应用1：

光子晶体存在带隙

光子晶体最本质的特性是存在光子带隙[13]。

仿照电子晶体的带隙定义，即光子晶体中不可能存在这种能量的光子，也就是带隙频率内光子不能通过光子晶体。

利用光子禁带特性可以设计完美反射镜，滤波器，偏振分束器等。

因此无源光子线路可以在光子晶体上实现.当在光子晶体中引入有源材料和非线性材料时,就可以构成光子晶体微腔激光器和光子晶体开关,光子晶体的这些应用使它成为下一代集成光子光路的主要载体.

应用2：

通过引入点缺陷和线缺陷，形成微腔和波导

光子带隙特性的另一个重要应用是可以在光子晶体中引入缺陷，例如线缺陷、点缺陷，从而在带隙内产生缺陷模式，在整个带隙频率范围内，只有频率范围极窄的缺陷模式能够通过光子晶体，实现导光，称为带隙导光。

[14][15]

比如在平板二维光子晶体中引入线缺陷，那么处在缺陷模式的光子被线缺陷引导，线缺陷二维光子晶体平面波导具有波导尺寸小，可集成，利用带隙导光支持大角度拐弯等特性，为光子晶体在光子集成的应用上迈出了重要的一步。

[16]

另一类缺陷导光型波导，光子晶体光纤圆柱波导[17]以其丰富的用途目前已经形成了一门单独的学科。

当引入点缺陷时，将形成微腔，使得谐振腔可一以具有高品质因子Q值[18]、利用该性质设计光子晶体发光二极管，光子晶体激光器，可以提高发光强度。

应用3：

降低光的群速度实现慢光

利用光子晶体的能带边缘很平坦的特性，可以降低光的群速度实现慢光。

光子晶体慢光波导最大的优点就是可在室温下产生慢光，并且使器件的体积可以做的很紧凑，在光学延迟线、全光缓存、相位调制等领域具有巨大的应用前景。

[19]

应用4：

利用光子晶体奇特的色散曲线实现负折射

利用光子晶体的负折射效应制作超透镜，相比于普通的透镜，它突破了衍射极限的限制，实现“完美成像”。

此外，利用光子晶体带边的超常折射现象，对波长和角度的极为敏感的特性，这类光子晶体能在空间上分开波长非常接近的光，提高了分光本领，可以充分利用有限的频带资源，在密集波分复用/解复用器等光子器件具有潜在的应用价值。

6.总结

光子晶体自1991年诞生以来,已变成光子学的一个非常前沿热门的研究领域,并引起了学术界的广泛重视.目前,光子晶体的工作波长在实验室已从微波波段推进到可见光波段.虽然可见光波长范围的光子晶体的实际制造仍然是难题,但光子晶体的应用前景仍然非常广阔.在不久的将来,就像半导体材料的发展推动了电子学和电子产业的发展一样,光子晶体材料也将大大推动光子学和光子产业的发展。

7.参考文献

[1]陈慰宗、卜涛、付灵利、郑新亮、李绍雄、周景会：

《一维光子晶体的有效折射率及色散特性》.光子学报.第31卷.第9期.2002年9月

[2]易明芳:

《光子晶体的理论与实验研究》.安庆师范学院学报（自然科学版）.Vol.14.No.3.Aug.2008

[3]何赛灵，敖献煌，阮智超.光子晶体负折射及其应用.激光与光电子学进展，2005,42（12）:

15

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201104-201107

[5]XWang,ZFRen,KKempa.Unrestrictedsuperlensinginatriangulartwo-dimensionalphotoniccrystal.Opt.Exp.,2004,12（3）:

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195110-195118

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PrincetonUniversityPress,1995

[8]侯金，都定山，周治平.光子晶体器件进展.光学技术，2009,35

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93-101

[9]LinSY,HietalaVM,WangL,etal.Highlydispersivephotonicband-gapprism.Opt.Lett.,1996,21:

1771一1773

[10]李会玲、王京霞、宋延林：

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[12]TOADERO,BERCIUM,JOHNS.Photonicbandgapsbasedontetragonallatticesofslantedpores[J].PhysRev.Lett,2003,90:

233901.

[13]KazuakiSakoda,OpticalPropertiesofPhotonicCrystals