爱提分几何第02讲鸟头模型.docx
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几何第02讲_鸟头模型
知识图谱
几何第02讲_鸟头模型-一、鸟头模型三角形中的鸟头四边形中的鸟头
一：
鸟头模型
知识精讲
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．我们把这样的图形，称为鸟头模型．如图所示，△ADE的面积比△ABC的面积是：
．
三点剖析
重难点：
复杂图形如何构造鸟头模型，进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，进而解决它们．
题模精讲
题模一 三角形中的鸟头
例1.1.1、
如图，，，那么三角形ADE占三角形ABC面积的________．
答案：
解析：
根据鸟头模型，．
例1.1.2、
在三角形ABC中，已知，，，已知三角形ABC面积是24，那么三角形DEF的面积是_______．
答案：
7
解析：
根据鸟头模型，、、所占比例分别为、、．因此，．
例1.1.3、
如图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，，求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？
答案：
解析：
连结BG．，故；，故，即．同理，，，故阴影部分的面积占△ABC面积的．
题模二 四边形中的鸟头
例1.2.1、
如图，长方形ABCD的面积是48，，．三角形CEF的面积是__________．
答案：
10
解析：
连接BD，CE是BC的，CF是CD的．根据鸟头模型，△CEF面积是△BCD面积的．那么△CEF的面积是．
例1.2.2、
如图，长方形ABCD的面积是1，是AD边的中点，N在AB边上，且．那么，阴影部分的面积为．
答案：
解析：
连结．．
例1.2.3、
如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边DC上，，，则的面积与正方形ABCD的面积的比值是_____．
答案：
解析：
三块空白的面积分别占总面积的、和，因此的面积与正方形ABCD的面积的比值是．
例1.2.4、
如图所示，长方形ABCD的面积是60，E是CD边上的中点，，那么三角形AEF的面积是__________．
答案：
27
解析：
连接BD，△CEF的面积占长方形ABCD面积的，△ABF的面积占长方形ABCD面积的，△ADE的面积占长方形ABCD面积的．所以△AEF的面积占长方形ABCD面积的，面积是．
例1.2.5、
如图在长方形ABCD中，△ABE、△ADF、四边形AECF的面积相等．△AEF的面积是长方形ABCD面积的几分之几？
答案：
解析：
与△ABE等底等高的长方形面积占ABCD面积的，故，同理．因此，，△CEF面积占ABCD面积的，△AEF的面积是长方形ABCD面积的．
例1.2.6、
如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角直角三角形面积为7平方厘米．那么中间三角形（阴影部分）面积是__________平方厘米．
答案：
15.5
解析：
设，则，由两个直角三角形面积可得，所以．阴影面积．
例1.2.7、
如图，ABCDEF为正六边形．G，H，I，J，K，L分别为AB，BC，CD，DE，EF，FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL．请问：
小正六边形占大正六边形面积的几分之几？
答案：
解析：
设正六边形ABCDEF的面积为S，则；，，根据鸟头模型，，因此；小正六边形是大正六边形减去六个和一样的三角形得到的，面积为，小正六边形占大正六边形面积的．
随堂练习
随练1.1、
如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是__________．
答案：
20
解析：
AD是AB的，AE是AC的．根据鸟头模型，有△ADE面积是△ABC面积的．那么△ABC的面积是20．
随练1.2、
在右图的三角形ABC中，，，甲乙两个图形面积的比是_________．
答案：
解析：
根据鸟头模型，，所以甲、乙两个图形面积的比是．
随练1.3、
如图所示，，，．已知△DEF的面积是12，那么△ABC的面积是多少？
答案：
36
解析：
根据鸟头模型，△AEF的面积是△ABC面积的，同理可得△BDF和△CDE的面积都是△ABC面积的．所以△DEF的面积是△ABC面积的．所以△ABC的面积是．
随练1.4、
如图，已知长方形ADEF的面积是16，，．请问：
三角形BCE的面积是__________．
答案：
3
解析：
连接DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DEF面积的．那么△BCE的面积是．
随练1.5、
如图所示，在长方形ABCD中，，，如果阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是__________．
答案：
18
解析：
根据鸟头模型，可知△CEF面积是△BCD面积的．那么阴影部分的面积是△BCD面积的，是长方形ABCD面积的．阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是．
随练1.6、
如图，在长方形ABCD中，，长方形ABCD的面积是48，那么三角形AEF的面积是________．
答案：
12
解析：
根据一半模型和等高模型，△ABE的面积是长方形面积的，△ADF的面积是长方形面积的，△CEF的面积是长方形面积的，所以△AEF的面积是长方形面积的，面积是．
课后作业
作业1、
如图所示，已知，，而且△ABC的面积是60．那么△ADE的面积是__________．
答案：
12
解析：
根据鸟头模型，△ADE的面积是△ABC面积的，即△ADE的面积是．
作业2、
如图，在△ABC中，AB的长度是BD的4倍，AC的长度是EC的3倍．如果△ABC的面积为20平方厘米，那么△ADE的面积是多少平方厘米？
答案：
10
解析：
由题意知，，．由鸟头模型可知，平方厘米．
作业3、
如右图，在三角形中，为的中点， 为上的一点，且，已知四边形的面积是35，则三角形的面积为_____．
答案：
42
解析：
易知，，故，．
作业4、
如图，已知，，，试求的值？
答案：
解析：
根据鸟头模型，，同理，，因此．
作业5、
如图所示，D是AB边上靠近A点的三等分点，E是AC边上靠近A点的四等分点，F是BC边上靠近C点的五等分点．如果三角形ABC的面积是24，那么三角形DEF的面积是__________．
答案：
5.6
解析：
由鸟头模型可得，，，，所以．
作业6、
如图，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边靠近C的三等分点，F是BC边靠近B的四等分点，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？
答案：
解析：
根据鸟头模型，，同理，，所以三角形DEF的面积是：
．
作业7、
如图，在平行四边形ABCD中，AF的长度是FD的2倍，CE的长度等于ED．如果平行四边形ABCD的面积为120平方厘米，那么△FDE的面积是多少平方厘米？
答案：
10
解析：
连接AC，由题意知，，．由鸟头模型可知，平方厘米．
作业8、
如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是__________平方厘米．
答案：
40平方厘米
解析：
考虑空白△AEB，△BFC，△EDF，分别求出它们的面积．
首先求△AEB的面积．它的底为AE，是长方形的长AD的；它的高为AB，与长方形的宽相等．
所以△AEB的面积是长方形面积的，即平方厘米．
同样可求得△BFC的面积是长方形面积的，即平方厘米．
△EDF的面积是长方形面积的，即平方厘米．
所以空白部分的总面积为，阴影部分的面积为
作业9、
如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是2，三角形ACF的面积是4．请问：
三角形ABC的面积是多少？
答案：
7
解析：
；，；，；因此，；．
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