护士排班问题.doc
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护士排班问题
§1问题叙述
护士是医院日常运营的基础,科学合理地安排护士工作时间不仅能够缓解其压力,提高护理质量,而且能够降低医院的人力资源运营成本,因此护士排班已成为医院管理工作的重要内容之一。
以下是某医院某科室每日至少需要护士的数量：
班次
该班时间段（24小时）
该班所需最少护士数
1
6:
00-10:
00
20
2
10:
00-14:
00
20
3
14:
00-18:
00
12
4
18:
00-22:
00
10
5
22:
00-02:
00
8
6
02:
00-06:
00
8
每班的护士在值班开始时向病房报道，排班需满足：
1、每个星期每位护士工作40小时。
2、每天至多工作8个小时，即上两个班次，两个班次不连上；
3、时间段02:
00-06:
00（大夜班）每个星期只排一次，且第二天必须休息；
4、第一天排班在时间段22:
00-02:
00（小夜班）的护士，第二天在时间段06:
00-10:
00不排班；
为满足该医院各班所需要的护士数，需建立合适的数学模型，为院方领导解决如下问题：
问题一：
依据上述数据和排班要求，求解出每天该科所需的最少护士数。
问题二：
以一个星期为周期，求出该科最少需签约的护士人数，并给出具体的排班方案，并判断该方案是否唯一。
问题三：
以问题二求解护士数的结果为前提，求解出满足院方对职称要求的最少护师职称以上（包括护师职称）的护士数。
附注：
（1）护士职称评定共分五级别，分别是：
护士、护师、主管护师、副主任护士、主任护师。
（2）根据医院要求，每班次上班的护士中护师以上（包括护师）职称的所占比例不低于30%。
§2问题分析
护士排班问题需根据不同护士的能力级别差异、一系列劳动法规的约束以及医院不同时间的需要等综合考虑，因此护士排班问题是较为复杂的组合优化问题。
经分析知，该问题需要从两个方面考虑：
第一，对于医院而言在每个班次护士数越多越好且签约的护士越少越好，这样能在最小的成本下维持运营医院，因此需确定最少护士的排班方案；第二，在最少人数及排班方案已确定的条件下，求解出满足院方对职称要求的最少护师职称以上（包括护师职称）的护士人数。
1.对问题一的具体分析
根据分析知该问题要求求出每天最少该科所需的最少护士人数，是一个典型的线性规划建模及求解的问题，该问题的求解步骤如下首先应确定该问题的决策变量，再确定目标函数，并表示出所有的约束条件，最后用Lingo编程求解即可。
2.对问题二的具体分析
问题要求在一个星期为周期求出最少签约的护士人数，并给出具体排班方案且判断是否唯一。
经过分析得到次问题也是建立与求解线性规划模型的过程，故确定恰当合适的决策变量、目标函数及约束条件求得正确结果的关键。
3.对问题三的具体分析
在问题二的结果基础上，求解出满足院方对职称要求的最少护师职称以上（包括护师职称）的护士数。
经过分析得到本文建立人与班次0-1矩阵，以第i号人为横坐标，对应每天每个班次为纵坐标，护士在对应的班次排了班矩阵值为1，没排班为0。
将护士排班规定一一转化为矩阵约束性条件，使用Lingo线性语句表示，将所有语句代入软件运行得到人与班次0-1矩阵中所有值，将数据调出，用Excel软件结合1为排了班，0为没排班的含义进行处理，可得到每个人的具体排班方案。
其中：
条件一，两个班次不连上即：
；
条件二，第一天排班在小夜班的护士，第二天在时间段06:
00-10:
00不排班即：
；
条件三，大夜班每个星期最多只排一次，且第二天必须休息即：
。
§3模型的假设
1.假设忽略护士对班次排班的不适应而更改班次；
2.假设忽略医院科所对突发事件而紧急抽调护士；
3.假设不考虑国家指定假期影响来进行排班；
4.假设不考虑安排的护士因请假等特殊缺席情况发生而换班；
5.假设计算人数不满1时，可以认为能忽略小数点向上取整
6.假设护师及以上（包括护师）职称的最多可以允许一个人一个星期工作时间不满40小时
§4符号说明
符号
意义说明
h
星期h（h=1,2,...,7）
c
第c班次（c=1,2,...,6）
r
最少签约护士数
Mc
第c班次签到的人数
Nc
第c班所需最少护师数
Qc
第c班所需最少护士数
第i护士对应j班次的矩阵值（i=1,2,...,n）
第i护师对应j班次的矩阵值（i=1,2,...,n）
§5模型建立与求解
一、问题一
在一天里每人固定排二个班次且是不连续的，本文建立数据规划模型，采用逐步累加法得出表达式：
在每个班次签到人数、上个班次剩余没有签到的人数及上面相隔一个班次的班次签到人数之和需大于（或等于）该班次所需最少护士数，则每天该科所需的最少护士数为每个班次签到人数之和的最小值。
在Lingo软件编写对应程序即可求解。
目标函数为z=，每个班次的不等式如下：
第一个班次签到人数大于（或等于）20：
；
第二个班次第一次剩余与第二次签到人数大于（或等于）20：
；
第三个班次第一次签到、第二次剩余及第三次签到人数大于（或等于）12：
；
第四个班次第二次签到、第三次剩余及第四次签到人数大于（或等于）10:
；
第五个班次第三次签到、第四次剩余及第五次签到人数大于（或等于）8:
；
第六个班次第四次签到、第五次剩余及第六次签到人数大于（或等于）8:
。
将上述语句转化为Lingo语句代入编程得：
min=40
二、问题二
本文以一星期为周期，根据每个星期每位护士工作40小时条件得到最少人数为：
（20+20+12+10+8+8）*4/40=54.6人，据大夜班每个星期最多只排一次，且第二天必须休息条件可得最少人数为：
8*7=56，由此可见56较54.6更符合题意，又56人数符合其它条件，故以一个星期为周期，该科最少需签约护士数为56。
然后将此结果代入问题三中的模型中进行检验，若当人数值为55，输出结果有误，即排班不能排满；当人数值为56，输出每人排班结果时，则说明结果属实。
根据条件（3）可得：
；
根据条件（4）可得：
。
每个排班人数应大于（或等于）该班所需最少护士数：
；
由条件
（1）可得：
；
若时，；
由条件
（2）可得：
若时，；
由条件（3）可得：
；
若时，；
由条件（4）可得：
。
通过求解比较可得：
以一个星期为周期，该科最少需签约护士数为56。
将所有约束条件使用Lingo线性语句表示，将所有语句代入软件运行得到结果见附表一。
三、问题三
经分析知：
目标函数为
；
每个排班人数应大于（或等于）该班所需最少护士数：
；
在问题二约束条件的基础上，加上上述条件与目标函数代入软件运行得到结果见附表一。
§6模型评价与推广
一、模型的优点：
（1）本模型建立过程中使用的数学方法既实用又易理解。
（2）本文建立了人与班次0-1矩阵，将问题简易化使得模型能够快速求解。
（3）在Lingo编程过程中，本文将条件用线性语句表示，从而加快运行速度，得到合理结果。
二、模型的缺点：
在求解第一问时，运用的方法不适应数据量较多的情况，有局限性。
三、模型的推广：
（1）本模型准确性较高，可以应用到学校、工厂等其他员工排班问题上。
（2）根据实际情况，进一步加强约束条件的严谨性，使得模型更加紧密，结果会得到进一步优化。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，数学建模案例选集，北京：
高等教育出版社，2006。
[2]袁新生等，《Lingo和Excel在数学建模中的应用》，北京：
科学出版社，2007。
[3]任小英，赵光红等，护士对排班方式评价的调查与分析[J]，《护理学杂志》,2006年第10期：
20。
[4]肖华勇,基于MATLAB和LINGO的数学实验[J],西北工业大学出版社,2009（3）；
[5]沈吟东,苏光辉,带约束的护士排班模型和基于变换规则的优化算[J],计算机工程与科学，2010（7）:
32.
附录
第一问：
min=m1+m2+m3+m4+m5+m6;
m1>20;
m1-20+m2>20;
m1+m2+m1-20-20+m3>12;
m2+m1+m2+m1-20-20+m3-12+m4>10;
m3+m2+m1+m2+m1-20-20+m3-12+m4-10+m5>8;
m4+m3+m2+m1+m2+m1-20-20+m3-12+m4-10+m5-8+m6>8;
运行结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
9
Objectivevalue:
40.00000
VariableValueReducedCost
M140.000000.000000
M20.0000000.000000
M30.0000001.000000
M40.0000001.000000
M50.0000001.000000
M60.0000001.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
140.00000-1.000000
220.000000.000000
30.000000-1.000000
428.000000.000000
518.000000.000000
610.000000.000000
72.0000000.000000
第二问：
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