虫口模型.doc

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姓名：

郭锴学号：

140211020002专业：

大地测量学与测量工程

虫口模型

1.背景知识

虫口模型的物理背景首先是为研究在一定的生存条件下假定昆虫在不发生世代更替，其繁衍的数量状况。

考虑到其种群数量受到生存环境及其内部竞争的制约不会无限制的增长，因此综合考虑虫口数量增长和消减作用，通过数学抽象和变换，1976年数学生态学家R.May在英国的《自然》杂志上发表的一篇后来影响甚广的综述中所提出提出一下虫口模型：

其中，设在该环境下虫口的最大容量（限额）为，实际中第代虫口数量为，以上公式中的为：

虫口数量最多时，因此，为控制参数，当时模型会发散，即的值超过1，这显然是不合理的，因此。

虫口模型是最早的一个由倍周期分岔通向混沌的一个例子，当控制参数在一定范围时，模型具有稳定的周期和不动点，但随着数值的增大模型将出现倍周期分岔，直至表现出一种近似随机的特性，经过Feigenbaum研究得出:

一个系统一旦发生倍周期分岔，必然导致混沌。

他还发现并确定了该系统由信周期分岔通向混沌的两个普适常数（也称为Feigenbaum常数）。

2.Matlab实验：

针对虫口模型倍周期分岔并通向混沌的特点，这里分别采用两种实验，一种是虫口模型初值其中后者可以看作是前者的纵向剖析。

（1）初值选0.5，迭代次数为250次，除去前段50：

图1.虫口模型的倍周期分岔图

从图中看出虫口模型在[0,1]时稳定在0值处，即只有一个不动点0，而随着的增大仍然保持只有一个稳定点的状态，稳定点的数值逐渐增大。

到时图像开始出现分形，之后系统表现为拥有两个不动点的情况，到时分为4个，时表现为8个：

图2.时x的取值频率

图3.时x的取值频率，模型开始分岔出现2个不动点

图4.时x的取值频率，模型分为4个不动点

图5.时x的取值频率，模型开始分为8个不动点

之后的图像继续分形直至逐渐表现出混沌状态，到控制参数接近4时模型出现为接近于随机状态的情形：

图6.，迭代250次时x的取值频率

如果增大迭代次数，这种随机性将表现的更为明显，表明模型已经出现混沌：

图7.，迭代10000次时x的取值频率

（2）不同初值模型表现（特别提出控制参量为4时的情况）：

虫口模型选取不同的初值，效果比较接近，基本的倍周期分岔几乎没有变化，一下分别是初值选取0.1和0.9时的周期分岔图：

图8.时虫口模型倍周期分岔图

3.两个问题

（1），处的现象

另外，发现模型在处，迭代结果出现几个固定的不动点，且该现象与所赋初值无关：

图9.处的现象

图10.处出现不动点

（2）x（0）=0.5，时的现象

这里需要提出的问题是，当初值选取x（0）=0.5，时，模型继续稳定到了零点：

图11..x（0）=0.5，时现象

图12.x（0）=0.5，时取值频率

而同样的情况在除x（0）=0.5的情况下则不存在，如下图初值为0.1时：

图13.x（0）=0.1，时现象

图14.x（0）=0.1，时取值频率

以上两个问题需要继续探讨。

4.总结

（1）混沌过程是一个动态的过程，既在变化中演化为混沌。

虫口模型虽然是简单的非线性系统但是从模型随控制参数变化的演化过程看出，系统在开始阶段表现为较为稳定的状态，之后开始出现倍周期分岔，进而不断的分岔直至表现出混沌状态，通过实验看出只有在远离稳态的情况下，混沌才可能发生；

（2）混沌是系统内部的混沌。

虫口模型中并没有外加的随机影响因素，其最终所表现出的“随机性”是其内部特性的结果，从而可以推断自然界中类似此种“随机性”的现象一定大量存在，虽然表现为随机状态，但究其本质可能来自其系统内部的特性；

（3）混沌过程一般为非线性系统，线性系统不存在混沌。