数学1班闻晶晶外文文献翻译.doc

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共33页河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译第33页

河南理工大学

本科毕业设计（论文）

外文文献资料翻译

院（系部）数学信息科学学院

专业名称数学与应用数学

年级班级2009级01班

学生姓名闻晶晶

学生学号310911010108

2013年6月3日

一类负相伴随机阵列部分和的精致大偏差

汪世界王伟王文胜

（安徽大学数学科学院，合肥，230039）（华东师范大学金融统计学院，上海，200241）

摘要

本文在一些适当的条件下得到了多风险模型中负相伴随机阵列的精致大偏差，推广了一些已知的结果，同时表明在多风险模型中负相伴结构对精致大偏差同样不具有敏感性.

关键词：

负相伴随机阵列，大偏差，一致变化尾

学科分类号：

O212.3.

§1.引言

近年来，很多学者都总结出重尾分布和的精致大偏差，因为用大偏差概率的损失过程来描述破产概率的估计，是一个非常重要的目标风险管理.为此，我们参阅了一些最新文献，如Ngetal.（2004），Tang（2006），Wangetal.（2006），Liu,（2007），ChenandZhang（2007），,Yangetal.（2009），Liu（2009）等.然而，他们只研究单一类型的风险，即他们总是假定保险公司只提供一种保险合同.在实际生活中，这种假设是不存在的，所以，研究多风险模型的大偏差问题是很有价值的.为此，WangandWang（2007）首次把精致大偏差的相关结论扩展到独立索赔多风险模型中.显然，WangandWang（2007）的独立性假设是极其不符合现实的.AlamandSaxena（1981）及Joag-DevandProschan（1983）中介绍到这种较弱的结构是负相关的.

定义1.1d是正整数，是有限的实值随机变量.我们称一维随机变量是负相伴的，如果对任意两个不相交的非空子集都成立

其中和是任意两个使得协方差存在且对任意变量都增加的函数.

在本文中，我们称是NA序列，其中，，表示关于i的同分布损失函数，满足，，.我们同样可以假定，对任意，，如果满足

或，

我们说分布函数F属于重尾子集C，其中分布函数F具有一致变化尾.Clineetal.（1994）也曾研究过重尾子集C，他称其为‘中间正规变量’.另一个著名的重尾子集被称为控制变量集（D族）.一个分布函数F支撑在上且属于D，当且仅当对任意（或某些），

成立.

对于像R，S，L等其他重尾子集的更多细节，参考文献Ngetal.（2004）或者WangandWang（2007）.集合

，

其中，.在Tang（2006）的专业用语中，被称为F的上Matuszewska指数.是k正整数序列.为方便起见，令，，.是一列关于索赔次数的独立非负整数计数过程，我们假定和是相互独立的，且当时，.令，Tang（2006）研究了带有一致变化尾的负相伴随机变量和的精致大偏差，Chenetal.（2007）和Liu（2007）把Tang（2006）的研究结果扩展到负相伴随机变量的随机和，它们各自具有一致变化尾.在本文中，我们研究多风险模型中的负相伴随机阵列部分和的精致大偏差.我们对一些已知的结论进行推广，发现在多风险模型中精致大偏差的渐近同样呈现负相伴结构.后面的章节安排如下：

在第二节中，我们介绍一些预备知识，主要的结果和证明将在第三章节给出，第四章将会给出一个应用程序的主要结果.

§2预备知识

在这一章节，我们按照惯例用符号，以及表示

.

显然，如果，那么，对任意，.这在TangandYan（2002）中同样也可以看到.下面我们给出一些证明定理的引理，引理2.1是对Joag-Dev和Proschan（1983）的轻微调整.

引理2.1设为一NA随机变量序列，为的任意一列两两不交子集.如果为对每个分量不降（或不增）函数，仍为NA序列，且对任意以及，有

以及

引理2.2设是一列同分布的NA随机变量，共同发布，期望为，且如果存在某，使得，.则对任意给定的常数，当时，对一致地有

对一致成立，即

.

证明：

由于为NA序列，根据定义，同样是NA序列.由Tang（2006）的引理2.3得，对任意，，必存在某正常数与C，使得对任意，有

.（2.1）

显而易见，对任意给定的，则当时，有；对于较大的x，.在（2.1）中，利用条件，我们得到

.

从而引理2.2证毕.

注1

（1）在引理2.2的证明中，对任意，用替换，当时，

（2.2）

对一致成立.

（2）设是负相伴序列，且满足定理2.2的条件.我们可以用数学归纳法证明，对任意，当时，

（2.3）

对所有一致成立.事实上，对和任意，由引理2.1,引理2.2和负相伴性质，有

（2.4）

因此，（2.3）可以直接由（2.4）用归纳假设证出.

§3主要结论及其证明

定理3.1设为NA随机阵列，对任意具有相同的分布，有限期望为，且满足.为任意给定的个正整数，如果对任意的，存在某使得.则对任意给定的，对所有的，当时，有

（3.1）

对所有一致成立.

注2假定所有是同分布函数，那么（3.1）可以推出Tang（2006）的定理1.1.特别的，如果我们已知是非负随机变量序列，很容易可以验证定理3.1的条件一定成立.因此，（3.1）验证Liu（2007）的定理2.1.如果是独立随机阵列，由（3.1）推出WangandWang（2007）的引理3.1.

证明我们用数学归纳法证明（3.1）.当时，首先，显然有

.（3.2）

注意，对任意，任意，

.（3.3）

先估计,注意到，

.（3.4）

由Tang（2006）定理2.1得，对任意，当时，

.（3.5）

又，则更有成立，由引理2.2，对一致的有，.综合以上各式，对充分大的，，

（3.6）

对一致成立.同理亦有对充分大的，.

对一致成立.最后我们估计，由于为NA，则由WangandWang（2007）得，

（3.7）

注意到是NA，，也是NA.因此，由Tang（2006）的引理2.1和（3.11）得，

（3.8）

联合（3.3）-（3.8）得，当时，对一致地有，

此外，令，我们得到（3.2）.

下面，我们再证

.（3.9）

任意给定以及，由NA性质、引理2.1和Tang（2006）的定理2.1,有，

（3.10）

从而（3.9）成立.这样（3.1）对时成立.

假定（3.1）对时成立，下面往证结果对k时也成立.我们采用类似（3.3）的分解法，可得到

由NA性质，注1和归纳假设得，

.（3.12）

另一方面，利用归纳假设表明，

（3.13）

结合（3.12）（3.13），定理证明成立.

定理3.2设为一负相伴随机阵列，对，具有相同的分布，期望为，且满足，如果对任意的，存在某使得.再令为一列相互独立的非负正整数值计数过程，，且与相互独立.如果满足：

对任意，均存在，当时，使得

.（3.14）

则对任意固定的，当时，有

（3.15）

对一致成立.

注3如果假定所有的为同一分布，则由（3.15）可推出Chen和Zhang定理1.2.特别地，如果我们假定是非负随机变量序列，可以很轻易的看出满足定理3.2的条件.所以，（3.15）验证了Liu（2007）定理2.2.如果假定是一列相互独立的序列，可由（3.15）证出Wang和Wang（2007）的定理4.1.

证明我们仍然采用数学归纳法证明本定理的结论，其证明思路与定理3.1完全相同，为简洁起见，这里我们只证明情形.为此，我们首先证

.（3.16）

同理，对任意以及，

（3.17）

先估计，由于

.（3.18）

由Chen和Zhang（2007）的定理1.2易知

.（3.19）

现在对任意，令，

（3.20）

首先，运用引理2.2，我们得到

（3.21）

现在我们估计,为简单起见，我们声明在下文中属于.事实上，对任意，，用Tchebychef不等式，我们可得出

.（3.22）

由Tang（2006）引理2.1中的，最后一个等式成立.联合（3.18）-（3,22）得，对任意都有

.（3.23）

同理可得.最后我们估计，类比（3.7）我们易得

（3.24）

注意到相互独立以及为NA序列，由引理2.1，Chen和Zhang（2007）以及（3.24）可得，

.（3.25）

所以，用（3.23）-（3.25），令，对任意充分大的t，，由

证出（3.16）

另一方面，我们再证明

.（3.26）

注意到对任意以及并利用NA性质和（3.10）相同的方法，当时，有

（3.27）

这样我们得到（3.26）.

联合（3.16）（3.26）（3.15）定理对时成立.定理3.2证明完毕.

§4应用

本节我们给出一个例子对本章主要结果加以应用.假定某保险公司经营着两个不同险种，而与第一个险种对应的索赔额记为，为一列独立同分布的非负随机变量，共同分布为，有限期望为.若该索赔到来的时刻为一更新过程，

其中对任意，满足.再令为一列Bernoulli随机变量序列（即服从两点分布），且的期望为q，其中，q表示第j个索赔到来的概率.假定与公司第二个险种相应的索赔额为，为另外一列独立同分布的非负随机变量，共同分布为，有限期望为.再令为一Cox过程，其中为由一列独立同分布的非负随机变量序列生成的更新过程，且满足，令为另一个右连续的非降的随机过程，且满足.若与相互独立，对任意.假定上述随机变量序列以及相互独立，为NA序列，则可以看出到t时刻时公司的累计索赔额为

（4.1）

这里我们假定公司同时经营着两种不同的险种，因此该模型是Denuit等（2002）与Ng（2004）所研究的一维风险模型的推广.这里我们假设随机过程满足，对任意，，且当时，，对任意，存在使得，

记，则表示在时刻内发生索赔的真实次数.易见，以及.因此（4.1）式可以被重新改写为

.

用和Wang等（2007）中第五节相同的方法和定理3.2，我们得到，当时，有

对任意，及一致成立.

参考文献

[1]Alem,K.andSexena,K.M.L.,Positivedependenceinmultivariatedistribution,Comm.Statist.A

|TheoryMethods,10（1981）,1183-1196.

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[3]Chen,Y.andZhang,W.P.,Largedeviationsforrandomsumsofnegativelydependentrandom

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[4]Cline,D.B.H.andSamorodnitsky,G.,Subexponentialityoftheproductofindependentrandom

variables,Stoch.Proc.Appl.,49（1994）,75-98.

[5]Joag-Dev,K.andProschan,F.,Negativeassociationofrandomvariableswithapplications,Ann.Statist.,11（1983）,286-295.

[6]Liu,L.,Preciselargedeviationsfordependentrandomvariableswithheavytails,Stat.Prob.Lett.,79（2009）,1290-1298.

[7]Liu,Y.,Preciselargedeviationsfornegativelyassociatedrandomvariableswithconsistentlyvaryingtails,Statist.Prob.Lett.,77（2007）,181-189.

[8]Ng,K.W.,Tang,Q.H.,Yan,J.A.andYang,H.L.,Preciselargedeviationsforsumsofrandom

variableswithconsistentlyvaryingtails,J.Appl.Prob.,41（2004）,93-107.

[9]Tang,Q.H.,Insensitivitytonegativedependenceoftheasymptoticbehaviorofpreciselargedevia-tions,Electron.J.Pro.,11（2006）,107-120.

[10]Tang,Q.H.andYan,J.A.,Asharpinequalityforthetailprobabilitiesofsumsofi.i.d.r.v.'swithdominatedlyvaryingtails,Sci.ChinaSer.A.,45（2002）,1006-1011.

[11]Wang,S.J.andWang,W.S.,Preciselargedeviationsforrandomvariableswithconsistentlyvaryingtailsinmulti-riskmodels,J.Appl.Prob.,44（2007）,889-900.

[12]Wang,Y.B.,Wang,K.Y.andCheng,D.Y.,Preciselargedeviationsforsumsofnegativelyassociatedrandomvariableswithcommondominatedlyvaryingtails,ActaMath.Sin.（EnglishSer.）,22（2006）,1725-1734.

[13]Yang,Y.andWang,Y.B.,Largedeviationsforrandomvariableswithtwo-sideddistributions,ActaMath.Sin.（Chinese）,52（2009）,289-300.

-混合相依变量线性形式的强稳定性

杨延召刘妍岩

（青岛科技大学数学系，青岛，266061）（武汉大学数学与统计学院，武汉，430072）

线性形式的强稳定性在科学技术上存在着广泛应用.本文讨论了-混合随机变量列线性形式的强稳定性.通过对-混合随机变量列运用截尾术，借助于-混合随机变量的性质以及Borel-Cantelli引理，得到了-混合随机变量线性形式具有强稳健性的充分条件.同时也给出了一些其它形式的结果.

关键词：

强稳定性，-混合，线性形式.

学科分类号：

O211.4

§1序言

概率密度估计，非参数非线性回归可能是研究最为广泛的非参数估计问题.许多研究方法已经在独立的观察下独立发展起来.近年来，一些论文因为广泛存在的独立随机变量产生的如强稳定性的线性形式等大量概率问题，就把这些方法扩展到不独立的情况.强稳定的线性形式在生态学、分子生物学、生物化学等领域都有应用.研究线性的强稳定性被大量的定律推动，在线性模型的兼容的最小平方估计中很有用.因此，研究线性强稳定性的重要性是毋庸置疑的.

2004年，Gan（2004）研究了几乎收敛的混合随机变量.对于严平稳序列，很合序列首次在Blum等（1963）中首次被提出.混合序列包括一些被广泛应用的例子，比如可数状态空间马尔可夫过程，在Blum等（1963）中可以发现更多的混合序，列的例子.众所周知，极少的关于混合序列的研究可以被找出.

在本文中，我们首先通过使用终止来研究变量，然后通过Broel-Cantelli引理和-混合序列的性质找到通常情况下-混合序列的强稳定线性形式的充分条件，基于以上结果，我们给出在-混合序列中其他线性形式的一些结果.

接下来，我们证明-混合序列强稳定线性形式的一些结果.本文的其他部分组织如下：

在第二节中，我们陈述和证明主要的结论，然后在第三节中，我们证明-混合序列中强稳定性的其他线性形式.

§2.的强稳定性线性形式

在我们叙述主要结论之前，我们先复习几定义个下文即将用到的定义.

定义2.1设是定义在概率空间（Ω，F，P）的一列稳定变量.分别用表示代数生成的和.令

，

如果当时，，我们就说是-混合随机序列.是-混合相关系数.

定义2.2一随机变量序列是强稳定的，如果存在两列常数，则

（2.1）

定义2.3一随机变量序列被非负变量X所控制，如果存在整数，则有

，（2.2）

记为.

除特别说明外，全文假定是-混合随机变量序列，相应的混合系数满足

.（2.3）

下面的定理是对-混合序列线性强稳定性的