二次函数的实际应用利润最值问题附答案.doc

二次函数的实际应用利润最值问题附答案.doc

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第3课时二次函数的实际应用——最大（小）值问题

[例1]：

求下列二次函数的最值：

（1）求函数的最值．

解：

当时，有最小值，无最大值．

（2）求函数的最值．

解：

∵，对称轴为

∴当．

[例2]：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解：

设涨价（或降价）为每件元，利润为元，

为涨价时的利润，为降价时的利润

则：

当，即：

定价为65元时，（元）

当，即：

定价为57.5元时，（元）

综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．

[练习]：

1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？

解：

设每件价格提高元，利润为元，

则：

当，（元）

答：

价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

解：

设旅行团有人，营业额为元，

则：

当，（元）

答：

当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．

x（元）

15

20

30

…

y（件）

25

20

10

…

[例3]：

某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表：

若日销售量是销售价的一次函数．

⑴求出日销售量（件）与销售价（元）的函数关系式；

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？

此时每日销售利润是多少元？

解：

⑴设一次函数表达式为．

则解得，

即一次函数表达式为．

⑵设每件产品的销售价应定为元，

所获销售利润为元

当，（元）

答：

产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

⑴在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）

（）存在如下图所示的一次函数关系式．

⑴试求出与的函数关系式；

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？

最大利润是多少？

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出答案）．

解：

⑴设y=kx+b由图象可知，

，

即一次函数表达式为．

⑵

∵∴P有最大值．

当时，（元）

（或通过配方，，也可求得最大值）

答：

当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

⑶∵

∴31≤x≤34或36≤x≤39．

作业布置：

1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．

解：

设每件价格降价元，利润为元，

则：

当，（元）

答：

价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

2．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

销售价x（元/千克）

…

25

24

23

22

…

销售量y（千克）

…

2000

2500

3000

3500

…

（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？

解：

（1）由图象可知，y是x的一次函数，

设y=kx+b，

∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，

∴，

∴y=-500x+14500．

（2）P=（x-13）·y=（x-13）·（-500x+14500）

=-500（x-21）2+32000

∴P与x的函数关系式为P=-500x2+21000x-188500，

当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．

3．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．

（1）设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；

（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=Q－收购总额）？

解：

（1）由题意知：

p=30+x,

（2）由题意知：

活蟹的销售额为（1000－10x）（30+x）元,

死蟹的销售额为200x元.

∴Q=（1000－10x）（30+x）+200x=－10x2+900x+30000.

（3）设总利润为W元

则：

W=Q－1000×30－400x=－10x2+500x

=－10（x2－50x）=－10（x－25）2+6250.

当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．

答：

这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．

4．（2008湖北恩施）为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ（千克）与销售价ｘ（元/千克）有如下关系：

ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ（元）．

（1）求ｙ与ｘ之间的函数关系式；

（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少?

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?

解：

当，（元）

（1）与之间的的函数关系式为；

（2）当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．

（3），

（不合题意，舍去）

答：

该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．

12．（2008河北）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：

第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：

年利润＝年销售额－全部费用）

（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；

（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；

（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据

（1），

（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？

解：

（1）甲地当年的年销售额为万元；

．

（2）在乙地区生产并销售时，

年利润．

由，解得或．

经检验，不合题意，舍去，．

（3）在乙地区生产并销售时，年利润，

将代入上式，得（万元）；将代入，

得（万元）．，应选乙地．

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