F-mgsinθ-μmgcosθ=0故F=mgsinθ+μmgcosθ，若μ=tanθ，则mgsinθ=μmgcosθ，即F=2mgsinθ故C项正确；若要使物块在平行于斜面向下的拉力F作用下沿斜面向下匀速滑动，由平衡条件有：
F+mgsinθ-μmgcosθ=0则F=μmgcosθ-mgsinθ若μ=tanθ，则mgsinθ=μmgcosθ，即F=0，故D项错误。
【答案】C
（二）力的合成和分解
一、合力与分力
如果一个力产生的效果和其他几个力产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。
二、力的合成：
求几个力的合力叫做力的合成。
（平行四边形定则、三角形定则）
1.共点的两个力合力的大小范围：
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
2.共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。
三、力的分解：
求一个力的分力叫力的分解。
1.力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。
2.两个力的合力惟一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解。
3.几种有条件的力的分解
（1）已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。
（2）已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解。
（3）已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。
（4）已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。
4.把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。
用正交分解法求合力的步骤：
（1）首先建立平面直角坐标系，并确定正方向
（2）把各个力向x轴、y轴上投影，但应注意的是：
与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向
（3）求在x轴上的各分力的代数和Fx合和在y轴上的各分力的代数和Fy合
（4）求合力的大小
合力的方向：
tanα=
（α为合力F与x轴的夹角）
例1.（平行四边形定则）无风时气球匀速竖直上升的速度是4m/s，现自西向东的风速大小为3m/s，则
（1）气球相对地面运动的速度大小为__________，方向__________。
（2）若风速增大，则气球在某一时间内上升的高度与风速增大前相比将______。
（填“增大”、“减小”、“保持不变”）
【解析】
（1）在地面上的人看来，气球的运动同时参与了两个运动，即竖直向上的运动和自西向东的水平运动。
如图2－8所示，根据平行四边形定则，其合速度大小为
v＝
m/s＝5m/s
设合速度方向与水平方向夹角为θ，则
tan θ＝
，θ＝arctan1.33＝53°
即合速度的方向为向东偏上53°。
（2）如果一个物体同时参与两个运动，这两个分运动是“相互独立、同时进行”的，各自遵守各自的规律。
由风引起的水平方向的分运动不会影响气球竖直方向的分运动，气球上升的高度与风速无关，在任一段时间内上升的高度不变。
例2：
（三角形定则）如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止P点。
设滑块所受支持力为FN。
OF与水平方向的夹角为0。
下列关系正确的是（）
A．
B．F＝mgtan0
C．
D．FN=mgtan0
【解析】对小滑块受力分析如图所示，根据三角形
定则可得
，
，所以A正确。
【答案】A
例3：
（三角形定则）如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图所示。
今缓慢拉绳使小球从A点滑向半球顶点（未到顶点），则此过程中，小球对半球的压力大小N及细绳的拉力T大小的变化情况是（）
A.N变大，T变大B.N变小，T变大
C.N不变，T变小D.N变大，T变小
【解析】对A进行受力分析，如图所示，力三角形AF′N
与几何三角形OBA相似，由相似三角形对应边成比例，解得N不变，T变小。
【答案】C
例4：
（正交分解法）质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为µ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个?
A．µmgB．µ（mg+Fsinθ）
C．µ（mg－Fsinθ）D．Fcosθ
【解析】木块匀速运动时受到四个力的作用：
重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力Fµ．沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解如图（这样建立坐标系只需分解F），由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）．即Fcosθ＝Fµ①
FN＝mg+Fsinθ②
又由于Fµ＝µFN③
∴Fµ＝µ（mg+Fsinθ）
故Ｂ、Ｄ答案是正确的【答案】BD
（三）受力分析、共点力平衡
一、物体的受力分析
1.明确研究对象
2.按顺序找力
先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力；接触力中必须先弹力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）。
3.只画性质力，不画效果力
画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复。
4.需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形（或三角形）
二、共点力作用下物体的平衡
1.共点力：
几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点（该点不一定在物体上），这几个力叫共点力。
2.共点力的平衡条件
在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合＝0或Fx合＝0，Fy合＝0
三、求解共点力平衡的基本方法
1.用分解法和和合成法求解平衡问题
2.用正交分解法求解平衡问题
3.用相似三角形方法求解平衡问题
4.用几何极值法求解平衡问题
例1.（静平衡问题的分析）
如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。
一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为
。
则两小球的质量比
为（）
A．
B．
C．
D．
【解析】小球受重力m1g、绳拉力F2=m2g和支持力F1的作用而平衡。
如图所示，由平衡
条件得，F1=F2，
，得
。
故选项A正确
【答案】A
例2.（动态平衡）
（1）重为G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。
如图所示。
若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？
【解析】对小球受力分析，如图。
由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。
应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由图可知，挡板逆时针转动90°的过程中，F2矢量也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。
（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）
【答案】F1逐渐变小，F2先变小后变大。
例3.（平衡中的临界和极值问题）
如图所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：
β取何值时，夹板对球的弹力最小.
【解析】解法一：
图解法
对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N1进行平移，使它们构成一个三角形，如图的左图和中图所示.
由于G的大小和方向均不变，而N1的方向不可变，当β增大导致N2的方向改变时，N2的变化和N1的方向变化如图中的右图所示.
显然，随着β增大，N1单调减小，而N2的大小先减小后增大，当N2垂直N1时，N2取极小值，且N2min=Gsinα.
解法二：
解析法
看上图的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：
=
，
即：
N2=
，β在0到180°之间取值，N2的极值讨论是很容易的.
【答案】当β=90°时，甲板对球的弹力最小.
例4.（整体法和隔离法）
隔离法：
物体之间总是相互作用的，为了使研究的问题得到简化，常将研究对象从相互作用的物体中隔离出来，而其它物体对研究对象的影响一律以力来表示的研究方法叫隔离法。
整体法：
在研究连接体一类的问题时，常把几个相互作用的物体作为一个整体看成一个研究对象的方法叫整体法。
有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑.AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示.现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是（）
A．FN不变，f变大B．FN不变，f变小
C．FN变大，f变大D．FN变大，f变小
【解析】以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上
始终二力平衡，FN=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细
绳拉力F和OB压力N作用下平衡，如图，设细绳和竖直方向
的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将
减小.再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA
对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小.
【答案】B
课后练习
1．如右图所示，A、B两物体并排放在水平桌面上，C物体叠放在A、B上，D物体悬挂在竖直悬线下端，且与斜面接触，若接触面均光滑，下列说法正确的是
（ ）
A．C对桌面的压力大小等于C的重力
B．B对A的弹力方向水平向左
C．斜面对D的支持力方向垂直斜面向上
D．D对斜面没有压力作用
答案：
D解析：
C与桌面不接触，因此C对桌面无压力，A、B间无挤压，也就没有弹力；D与斜面仅接触而无挤压，故D与斜面间无弹力．
2．如下图所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上滑行，长木板与水平地面间动摩擦因数为μ1，木块与木板间的动摩擦因数为μ2.已知长木板处于静止状态，那么此时长木板受到地面的摩擦力大小为
（ ）
A．μ2mg B．μ1MgC．μ1（m＋M）gD．μ2mg＋μ2Mg
答案：
A解析：
如下图所示，由于长木板始终处于静止状态，木板与地面之间的摩擦力应当是静摩擦力，静摩擦力不能用μ1FN来求解，而是要通过受力分析根据物体所处的状态来求．木块对木板在水平方向的作用力是滑动摩擦力，其大小为F′f2＝μ2mg，对长木板来说，水平方向除了受到向右的滑动摩擦力Ff2＝μ2mg外，还受到水平地面对它向左的静摩擦力Ff1，这两个力平衡，因此长木板受到地面的摩擦力大小为μ2mg.
3．如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m间有一个处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态，下列说法正确的是
（ ）
A．M对m的摩擦力方向向右B．M对m的摩擦力方向向左
C．地面对M的摩擦力方向向右D．地面对M无摩擦力的作用
答案：
AD解析：
首先研究木板和木块组成的整体，不考虑其内部作用力，对整体而言，其静止于水平地面上，没有相对地面运动的趋势，所以和地面之间没有静摩擦力；再单独研究小木块，因为弹簧压缩有恢复原状的趋势，弹簧对小木块有一个向左的推力，根据受力平衡，得出M对m的摩擦力方向向右．故选项A、D正确．
4．质量为m的杆AB，处于静止状态，A端用细绳竖直悬挂，B端放在地板上，如下图所示，下列有关杆B端所受摩擦力的说法中，正确的是
（ ）
A．B端受到的静摩擦力方向向右
B．B端受到的静摩擦力方向向左
C．B端受到的静摩擦力沿细杆AB斜向下
D．B端不受静摩擦力作用
答案：
D解析：
假设B端和水平面是光滑的，则杆AB受到竖直向上的支持力，竖直向上的绳子拉力和竖直向下的重力，能够保持静止状态，则B端和地面无相对运动趋势，即不受摩擦力．
5．为了测定木块和竖直墙壁之间的动摩擦因数，某同学设计了一个实验如图所示，用一根弹簧将木块压在墙上，同时在木块下方有一个拉力F2作用，使木块恰好匀速向下运动，现分别测出了弹簧的弹力F1，拉力F2和木块的重力G，则动摩擦因数μ应等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A解析：
因为木块匀速向下运动，说明木块处于平衡状态，从竖直方向可以判断，墙壁对木块的滑动摩擦力大小等于F2＋G；在水平方向上可以判断，墙壁对木块的压力大小等于F1，根据滑动摩擦力表达式F＝μFN，得μ＝
，故正确答案为A.
6．如图所示，有黑白两条毛巾交替折叠地放在地面上，白毛巾的中部用线与墙壁连接着，黑毛巾的中部用线拉住，设线均呈水平．欲将黑白毛巾分离开来，设每条毛巾的质量均为m，毛巾之间及其跟地面间的动摩擦因数均为μ，则将黑毛巾匀速拉出需用的水平拉力为
（ ）
A．2μmgB．4μmg
C．5μmgD.
μmg
答案：
C解析：
本题考查滑动摩擦力的求法和平衡条件的应用，求解物体所受摩擦力时，要注意物体有几个面与其他物体接触，有几个接触面就可能受几个摩擦力．将黑毛巾匀速拉出时，黑毛巾的四个面都要受到滑动摩擦力的作用，根据滑动摩擦规律可以知道：
自上而下黑毛巾四个面受到的正压力为0.5mg、mg、1.5mg、2mg，由Ff＝μFN有拉力F为F＝μ（0.5mg＋mg＋1.5mg＋2mg）＝5μmg，即将黑毛巾匀速拉出需加的水平力为5μmg.故正确答案为C.
7．如图甲所示，在水平桌面上放一木块，用从零开始逐渐增大的水平拉力F拉着木块沿桌面运动，则木块所受到的摩擦力Ff随拉力F变化的图象（如图乙所示）正确的是
（ ）
答案：
D解析：
当木块不受拉力时（F＝0），桌面对木块没有摩擦力（Ff＝0）．
当木块受到的水平拉力F较小时．木块仍保持静止，但出现向右运动的趋势，桌面对木块产生静摩擦力，其大小与F相等，方向相反．
随着水平拉力F不断增大．木块向右运动的趋势增强，桌面对木块的静摩擦力也相应增大，直到水平拉力F足够大时，木块开始滑动，桌面对木块的静摩擦力达最大值Ffm.在滑动之前，由木块水平方向二力平衡条件知，桌面对木块的静摩擦力Ff始终与拉力F等值反向．即随着F的增大而增大．
木块滑动后，桌面对它的摩擦力是滑动摩擦力，它稍小于最大静摩擦力，并且在木块继续滑动的过程中保持不变．故正确答案为D.
8．如右图所示，重400N的大木箱放在大磅秤上，箱内的小磅秤上站着一个重600N的人，当人用力向上推木箱的顶板时，两磅秤的示数将
（ ）
A．小磅秤示数增大，大磅秤示数减小
B．小磅秤示数不变，大磅秤示数增大
C．小磅秤示数增大，大磅秤示数不变
D．小磅秤和大磅秤示数都增大
答案：
C解析：
磅秤的示数是由于人给磅秤的压力（弹力）产生的，压力不变，磅秤的示数就不变；压力小示数小；压力大示数就大．人向上用力推木箱顶板时，人对小磅秤的压力增大，小磅秤的示数增加．由于小磅秤放在大磅秤上，虽然人给木箱力，但并没给大磅秤增加压力，所以大磅秤的示数应不变．
本题创新之处是对多个物体间产生弹力的问题，应找好施、受力物体，逐一分析，不能混淆．
9．如图所示，物体A、B的质量均为6kg，接触面间的动摩擦因数均为μ＝0.3，水平力F＝30N.那么，A、B间摩擦力大小为__________N，水平面对B的摩擦力的大小为__________N．（滑轮和绳的质量均不计，g取10m/s2）
答案：
15 30解析：
首先讨论A、B是否滑动．认为A、B间最大静摩擦力可用滑动摩擦力表示为μmg＝18N.同理，B与水平面间最大静摩擦力为36N，把A、B看为整体，F<36N，B相对水平面静止．把A隔离出来，
<18N，故A相对B静止．由于A、B都静止，所以摩擦力都是静摩擦力．隔离A，分析水平方向受力有T和f1，f1＝T，T＝
，f1＝15N；把A、B看做一个整体，分析水平方向外力有F和f2，f2＝F＝30N，则A、B间摩擦力大小为15N，水平面对B的摩擦力大小为30N.
10．如图所示，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的．已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都是μ，两物块的质量都是m，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计，若用一水平向右的力F拉P使它做匀速运动，则F的大小为
（ ）
A．4μmgB．3μmg
C．2μmgD．μmg
答案：
A解析：
由题意，P相对桌面向右匀速运动，相对于Q向右匀速运动．以P为研究对象，P受到Q对它的滑动摩擦力F1＝μmg，方向向左；Q通过绳对P的拉力F2＝μmg，方向向左；桌面对P的滑动摩擦力F3＝2μmg，方向向左．所以F＝F1＋F2＋F3＝4μmg.
11．如图所示，主动轮A通过皮带带动从动轮B按图示方向匀速转动，物体m随水平皮带匀速运动，则（ ）
A．物体m受到向右的摩擦力
B．物体m不受摩擦力
C．主动轮上的P点所受摩擦力方向向上
D．从动轮上的Q点所受摩擦力方向向上
答案：
BCD解析：
物体m做匀速运动，处于平衡状态．在水平方向不受力，故A错误，B正确；在主动轮上是轮子带动皮带一起转动，皮带阻碍轮子转动，主动轮上的P点所受摩擦力方向向上，施力物体是皮带，C正确；在从动轮上是皮带带动轮子一起转动，故从动轮上的Q点所受摩擦力方向向上，施力物体是皮带，D正确．
12．如下图所示，甲、乙两个物体叠放在水平地面上，现给甲、乙两物体分别施加水平向右、向左的拉力F1和F2，且已知F1＝5N，F2＝3N.
（1）如果甲、乙均保持静止状态，求乙对甲的
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