相遇与追及和平均速度问题.docx

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相遇与追及和平均速度问题

学科培优数学

“相遇与追及和平均速度问题”

学生姓名

授课日期

教师姓名

授课时长

知识定位

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：

上述三个量之间存在这样的基本关系：

路程＝速度×时间.因此，在这一讲中，我们将在前面学习的基础上，研究两个运动物体作方向运动时，路程、速度、时间这三个基本量之间有什么样的关系。

当我们在某一固定的路线上研究2个物体的运动情况时，最常见也是最重要的2种情况便是追及问题与相遇问题。

在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：

（1）在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同

（2）在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。

【授课批注】

两个物体的相遇与追及问题是行程问题中的一个专题，其内容较为简单，但还是要求教师利用行程图仔细的描述两个物体的运动过程来分析问题，进而帮助学生养成用行程图来帮助分析解决行程问题的好习惯，所以请各位教师在本讲中做出表率帮助学生学好行程专题。

知识梳理

两个物体的追及与相遇问题：

1.相遇问题

假设甲乙分别从A,B两地出发相向而行，速度分别为

，A,B两地相距S,甲乙经过时间t后相遇，那么我们可以明显的看出，在时间t内，甲乙共同走了一个A,B全长，即甲乙的路程之和为S.

那么我们分别利用公式表示甲乙两人在时间t内所走的路程：

，

，

那么路程的和

所以我们得到了相遇问题中最重要的结论

速度和×相遇时间=路程和

2.追及问题

与相遇问题类似的一个问题便是追及问题

假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点（0米）处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为

，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米

由

，

，

由此我们可以得到追及问题的一个重要结论：

速度差×追及时间=路程差

三、平均速度

平均速度就是把总路程按时间均匀分配的行走或移动的距离；

平均速度的基本关系式为：

平均速度

总路程

总时间；

总时间

总路程

平均速度；

总路程

平均速度

总时间。

【重点难点解析】

1.通过本课的学习,使学生了解学习行程问题的重要性，及相遇追及问题及平均速度问题的常见类型。

2.使学生知道相遇与追及是行程问题中的基本问题，掌握相遇与追及问题的基本公式，学会从题中找隐含条件来解决问题。

3.掌握平均速度的定义和公式，参数法求解平均速度，最小公倍数法求解平均速度

4.使学生掌握解决较难行程问题的两个重要方法，画图和分析过程

【竞赛考点挖掘】

1.相遇追及的综合应用

2.平均速度知识点与其他知识点的结合

3.数型结合的思想

例题精讲

【试题来源】

【题目】小新和正南同时从各自的家相对出发，正南每分钟走20米，小新骑着自己的脚踏车每分钟比正南快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道小新和正南家的距离吗？

【答案】640

【解析】由题意知小新的速度是：

20+42=2（米/分），两家的距离=正南走过的路程+小新走过的路程=20×20+62×20=400+1240=640（米），请教师画图帮助学生理解分析.

注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：

.对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解进而应用公式.

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？

【答案】18

【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：

3000÷50=60（米／分钟），小头爸爸的速度：

（60+24）÷2=42（米／分钟），大头儿子的速度：

60—42=18（米／分钟）.

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米?

【答案】1100

【解析】根据题意，我们可以画线段图如下：

从图中可以看出（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？

），因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：

夏夏所行路程=全程一半-50米，冬冬所行路程=全程一半+50米；

所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了50×2=100（米），冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：

（60+50）×10=1100（米）.可以教给学生以后再看到相遇问题中关于在距中点＊＊米相遇时，可直接得出二者的路程差为这个距离数的2倍

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地相距多少千米？

【答案】27

【解析】两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距（5+4）×3=27千米

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时行50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车返飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？

【答案】300

【解析】由燕子和两车同时开始飞行和同时停止，故燕子飞行的时间和两车相遇的时间相等，480÷（35+45）=6小时。

燕子飞行的路程：

50×6=300千米

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？

（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.

【答案】10

【解析】若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？

解：

40×5÷（60-40）

　　=200÷20

　　=10（分钟）

答：

哥哥10分钟可以追上弟弟.

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙.问：

甲、乙二人的速度各是多少？

【答案】6、4

【解析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8（米），也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.综合列式计算如下：

乙的速度为：

10÷5×4÷2=4（米/秒）

　　甲的速度为：

10÷5+4=6（米/秒）

答：

甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒.【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

习题演练

【试题来源】

【题目】一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子能跑9步。

猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？

【答案】192

【解析】猎狗每步相当于

（兔步）

猎狗的速度比兔子快

（兔步）

（步）即猎狗至少要跑192步才能追上兔子。

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？

【答案】20

【解析】

“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.

解：

（1000×10-600）÷（1470-1000）

　　=（10000-600）÷470

　　=9400÷470

　　=20（分钟）

答：

经过20分钟可开炮射击“敌”舰.

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。

已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？

【答案】950

【解析】甲与丙行驶7分钟的距离差为：

（1000－800）×7＝1400（米），

也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了

14-7=7（分）

钟追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：

1400÷（14－7）＝200（米／分），

骑摩托车人的速度为：

800－200＝600（米／分），

三辆车与骑摩托车人的初始距离为：

（1000－600）×7＝2800（米），

乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：

2800÷8＋600＝950（米／分）。

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离．

【答案】16500

【解析】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：

（60＋40）×15＝1500（米），

而乙丙之间拉开这么大的距离一共要

1500÷（50-40）=150（分），

即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，

所以A、B之间的距离为：

（60+50）×150＝16500（米）．

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度.

【答案】36

【解析】要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.摩托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：

90×2=180（千米），摩托车“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：

90÷30=3（小时），摩托车“返”的速度是每小时45千米，所用时间是：

90÷45=2（小时），往返共用时间是：

3+2=5（小时），由此可求出往返的平均速度，

列式为：

90×2÷（90÷30+90÷45）=180÷5=36（千米/小时）

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】如图，从A到B是6千米下坡路，从B到C是4千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问从A到D的平均速度是多少？

【答案】3.5

【解析】

从A到B的时间为：

6÷6=1（小时），从B到C的时间为：

4÷4=1（小时），从C到D的时间为：

4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：

1+1+2=4（小时），总路程为：

6+4+4=14（千米），那么从A到D的平均速度为：

14÷4=3.5（千米/时）

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】一个人从甲地去乙地，骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了，又无法修理，只好推车步行到乙地.骑车时每小时行12千米，步行时每小时4千米，这个人走完全程的平均速度是多少？

【答案】6

【解析】

①参数法：

设全程的的一半为S千米，前一半时间为S÷12，后一半时间为S÷4，根据公式平均速度=总路程÷总时间，可得2S÷（S÷12+S÷4）=6千米.

②题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，前一段路程与后一段路程相等，总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了，路程的一半既是12的倍数又是4的倍数，所以可以假设路程的一半为〔12，4〕=12千米.

来回两段路，每段路程12千米，那么总路程是：

12×2=24（千米）,总时间是：

12÷12+12÷4=4（小时），所以平均速度是：

24÷4=6（千米/小时）

注意：

在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以把总路程设为“单位1”，这样做无非是设了“单位24”，也就是把所有路程扩大了24倍变成整数，没有任何问题，不论总路程设成多少，结论都是一样的，大家可以验证一下.

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】汽车往返于A、B两地，去时时速为40千米.要想来回的平均速度为48千米，回来时的时速应为多少？

【答案】60

【解析】

①参数法：

设A、B两地相距S千米，列式为S÷（2S÷48-S÷40）=60千米.

②最小公倍法：

路程2倍既是48的倍数又是40的倍数，所以可以假设路程为〔48，40〕=240千米.根据公式变形可得240÷2÷（240÷48-240÷2÷40）=60千米.

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，前120千米的平均速度为40千米／时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米／时，剩下的路程应以什么速度行驶？

【答案】60

【解析】

求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：

300-120=180（千米），计划总时间为：

300÷50=6（小时），前120千米已用去120÷40=3（小时），所以剩下路程的速度为:

（300-120）÷（6-3）=60（千米/时）.

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】小明去爬山，上山时每时行2.5千米，下山时每时行4千米，往返共用3.9时。

小明往返一趟共行了多少千米？

【答案】12

【解析】

路程=总时间×平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为10千米，10×2÷（10÷2.5+10÷4）=20÷6.5=40/13（千米/时）所以总路程：

40/13×3.9=12（千米）

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？

【答案】54

【解析】

1由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．

应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走（80+60）÷2=70米．这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米．而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米．

这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷70=96分钟．由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720÷2=3360米．则前一个3360米用了3360÷80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟．

2设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720，解方程得：

x=48分钟，因为80×48=3840（米），大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3360÷80=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟）.

评注：

首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别．在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的．

其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算是简单的．因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的．

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他过桥的平均速度.

【答案】5.54

【解析】

上坡、平路及下坡的路程相等很重要，平均速度还是要由总路程除以总时间求得，假设上坡、平路及下坡的路程均为24米，那么总时间=24÷4+24÷6+24÷8=6+4+3=13（秒），过桥的平均速度=24×3÷13≈5.54（米/秒）.

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

1.【题目】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米?

【答案】4

【解析】

4

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

2.【题目】两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？

【答案】138

【解析】138

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.

【答案】125

【解析】

125

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】飞机以720千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以480千米／时的速度返回甲地.求该车的平均速度.

【答案】576

【解析】

576

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位老和尚，汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶后以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.

【答案】4

【解析】

4

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】张师傅开汽车从A到B为平地（见右图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，车速是28千米／时；从C到D为下山路，车速是42千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？

【答案】2

【解析】

2

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

【答案】360

【解析】

360

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3