全等三角形难题集锦资料.docx

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全等三角形难题集锦资料

1、（2007年成都）已知：

如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

（!

）求证：

BF=AC；

（2）求证：

CE=

BF；

（3）CE与BC的大小关系如何？

试证明你的结论。

2.（2012•内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：

①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？

若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

3（08河北中考第24题）如图14-1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为

（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

4.如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，

（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？

请说明理由。

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？

为什么？

（3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？

还具有上问中的位置关系吗？

为什么？

考点：

旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：

（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答．

（2）证明△DOB≌△COA，根据全等三角形的对应边相等进行说明．解答：

解：

（1）相等．

在图1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，

∴OA=OB，OC=OD，

∴0A-0C=0B-OD，

∴AC=BD；

（2）相等．

在图2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，

∴△DOB≌△COA，

∴BD=AC．点评：

本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角．

5（2008河南）．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：

“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：

证明题；探究型．分析：

此题的两个小题思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而根据旋转的性质知：

AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，进而得出BQ=CP的结论．解答：

证明：

（1）∵∠QAP=∠BAC，

∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，

即∠QAB=∠CAP；

在△BQA和△CPA中，

AQ=AP∠QAB=∠CAPAB=AC，

∴△BQA≌△CPA（SAS）；

∴BQ=CP．

（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：

∵∠QAP=∠BAC，

∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，

即∠QAB=∠PAC；

在△QAB和△PAC中，

AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC，

∴△QAB≌△PAC（SAS），

∴BQ=CP．点评：

此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键．

5（2009山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片

和

．且

≌

。

将这两张三角形胶片的顶点

与顶点

重合，把

绕点

顺时针方向旋转，这时

与

相交于点

．

①当

旋转至如图②位置，点

，

在同一直线上时，

与

的数量关系是．

②当

继续旋转至如图③位置时，

（1）中的结论还成立吗？

AO与DO存在怎样的数量关系？

请说明理由．

考点：

旋转的性质；全等三角形的判定与性质．专题：

探究型．分析：

（1）根据外角的性质，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，从而得出∠AFD=∠DCA；

（2）成立．由△ABC≌△DEF，可证明∠ABF=∠DEC．则△ABF≌△DEC，从而证出∠AFD=∠DCA；

（3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可证得点B在AD的垂直平分线上，进而证得点O在AD的垂直平分线上，则直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD．解答：

解：

（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．

（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：

方法一：

由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF．∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF，

∴∠ABF=∠DEC．

在△ABF和△DEC中，AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC

∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC．

∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．

∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，

∴∠AFD=∠DCA．

方法二：

连接AD．同方法一△ABF≌△DEC，

∴AF=DC．

由△ABC≌△DEF，得FD=CA．

在△AFD≌△DCA，AF=DCFD=CAAD=DA

∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．

（3）如图，BO⊥AD．

方法一：

由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，

得∠BAC=∠BDF，BA=BD．

∴点B在AD的垂直平分线上，

且∠BAD=∠BDA．

∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，

∴∠OAD=∠ODA．

∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上．

∴直线BO是AD的垂直平分线，BO⊥AD．

方法二：

延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD．

在△ABO和△DBO中，AB=DBBO=BOOA=OD

∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．

在△ABG和△DBG中，AB=DB∠ABG=∠DBGBG=BG

∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°．

∴BO⊥AD．点评：

本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握．

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

考点：

旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：

延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：

解：

延长EB使得BG=DF，

在△ABG和△ADF中，

由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，

可得△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，

又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，

∴△AEG≌△AEF（SSS），

∴∠EAG=∠EAF，

∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°

∴∠EAG+∠EAF=90°，

∴∠EAF=45°．

答：

∠EAF的角度为45°．点评：

本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键．

例2D为等腰

斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）

当

绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

考点：

旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：

计算题．分析：

（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，则∠BCD=45°，∠CDA=90°，由∠DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到结论；

（2）由△DCE≌△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积．解答：

解：

（1）连CD，如图，

∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，

∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，

∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，

∵∠DM⊥DN，

∴∠EDF=90°，

∴∠CDE=∠ADF，

在△DCE和△ADF中，

∠DCE=∠DAFDC=DA∠CDE=∠ADF，

∴△DCE≌△ADF，

∴DE=DF；

（2）∵△DCE≌△ADF，

∴S△DCE=S△ADF，

∴四边形DECF的面积=S△ACD，

而AB=2，

∴CD=DA=1，

∴四边形DECF的面积=S△ACD=12CD•DA=12．点评：

本题考查了旋转的性质：

旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．

6、已知四边形

中，

，

，

，

，

，

绕

点旋转，它的两边分别交

（或它们的延长线）于

．

当

绕

点旋转到

时（如图1），易证

．

当

绕

点旋转到

时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段

，

又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

7（西城09年一模）已知:

PA=

PB=4,以AB为一边作

正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

（2）当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及

相应∠APB的大小.

图1图2图3

（

）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时

；

（

）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM

DN时，猜想（

）问的两个结论还成立吗？

写出

例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？

并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在

（1）中得到的结论还成立吗？

简要说明理由.

考点：

菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：

（1）利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；

（2）根据已知可以得出∠BAE=∠CAF，进而求出△ABE≌△ACF即可；

（3）利用四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可．解答：

解：

（1）得出结论是：

BE=CF，

证明：

∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，

即：

∠BAE=∠CAF，

又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，

∴∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE=CF，

（2）还成立，

证明：

∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，

即∠BAE=∠CAF，

又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，

即∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE=CF，

（3）证明：

∵△ABE≌△ACF，

∴S△ABE=S△ACF，

∴四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC；

而S△ABC=12S菱形ABCD，

∴S=12S菱形ABCD．点评：

此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键．

解：

（1）BE=CF.

证明：

在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠CAF.

∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.

∴BE=CF.

（2）BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF

8、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：

DC⊥BE．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

专题：

证明题．

分析：

（1）此题根据△ABC与△AED均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明△ABE≌△ACD；

（2）根据

（1）的结论和已知条件可以证明DC⊥BE．

解答：

证明：

（1）∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．

∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．

即∠BAE=∠CAD，

在△ABE与△ACD中，

∵AB=AC

∠BAE=∠CAD

AE=AD

∴△ABE≌△ACD．

（2）∵△ABE≌△ACD，

∴∠ACD=∠ABE=45°．

又∵∠ACB=45°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°．

∴DC⊥BE．

点评：

此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得

9、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

考点：

旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：

延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：

解：

延长EB使得BG=DF，

在△ABG和△ADF中，

由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，

可得△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，

又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，

∴△AEG≌△AEF（SSS），

∴∠EAG=∠EAF，

∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°

∴∠EAG+∠EAF=90°，

∴∠EAF=45°．

答：

∠EAF的角度为45°．点评：

本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键．

7、D为等腰

斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

①当

绕点D转动时，求证DE=DF。

②若AB=2，求四边形DECF的面积。

10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积

考点：

全等三角形的判定与性质．专题：

应用题．分析：

可延长DE至F，使EF=BC，可得△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论．解答：

解：

延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，

∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，

∴CD=EF+DE=DF，

在Rt△ABC与Rt△AEF中，

∵AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF

∴Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS），

∴AC=AF，

在△ACD与△AFD中，

∵AC=AFCD=DFAD=AD

∴△ACD≌△AFD（SSS），

∴SABCDE=2S△ADF=2×12•DF•AE=2×12×2×2=4．点评：

本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握

五、旋转

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG

则GE=GB+BE=DF+BE=EF

又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG

所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF

又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90

所以∠EAF=45度

（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F．请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由．

（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由．

（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有

（2）中的数量关系？

如果有，请说明

理由．如果没有，那么点P在AC的什么位置时，PE、PF才具有

（2）中的数量关系．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：

几何综合题．分析：

（1）证明△ABE≌△ADF可推出AE=AF．

（2）本题要借助辅助线的帮助．过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，证明△PME≌△PNF可推出PE=PF．

（3）PE、PF不具有

（2）中的数量关系．当点P在AC的中点时，PE，PF才具有

（2）中的数量关系．解答：

解：

（1）如图1，AE=AF．理由：

证明△ABE≌△ADF（ASA）

（2）如图2，PE=PF．

理由：

过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，则PM=PN．由此可证得△PME≌

△PNF（ASA），从而证得PE=PF．

（3）PE、PF不具有

（2）中的数量关系．

当点P在AC的中点时，PE、PF才具有

（2）中的数量关系．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：

几何综合题．分析：

（1）证明△ABE≌△ADF可推出AE=AF．

（2）本题要借助辅助线的帮助．过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，证明△PME≌△PNF可推出PE=PF．

（3）PE、PF不具有

（2）中的数量关系．当点P在AC的中点时，PE，PF才具有

（2）中的数量关系．解答：

解：

（1）如图1，AE=AF．理由：

证明△ABE≌△ADF（ASA）

（2）如图2，PE=PF．

理由：

过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，则PM=PN．由此可证得△PME≌△PNF（ASA），从而证得PE=PF．

（3）PE、PF不具有

（2）中的数量关系．

当点P在AC的中点时，PE、PF才具有

（2）中的数量关系．点评：

本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定．

例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？

并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在

（1）中得到的结论还成立吗？

简要说明理由.

解：

（1）BE=CF.

证明：

在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠CAF.

∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.

∴BE=CF.

（2）BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF

10、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图所示），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？

并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在

（1）中得到的结论还成立吗？

说明理由。

11已知∠AOB=90°，∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E。

当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：

CD=CE

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。

3、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以C为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。

（1）说明：

△BCG≌△DCE；

（2）BG与CD有何关系？

为什么？

（3）将正方形GCEF绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，

（1）、

（2）中的结论还成立吗？

画出一个图形，直接回答，不必说明理由。

12如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：

如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：

（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；

（2）连接MN，由

（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）根据

（2）中费尔马点的定义，又△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△