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数量关系公式

数量关系常用公式总结：

（可可整理）

1.行程问题

基础公式：

路程二速度*时间

一、相遇追及型

追及问题：

追及距离二（大速度-小速度）X追及时间

相遇问题：

相遇距离二（大速度+小速度）X相遇时间

背离问题：

背离距离二（大速度+小速度）X背离时间

二、环形运动型

反向运动：

第N次相遇路程和为N个周长，

环形周长=（大速度+小速度）X相遇时间

同向运动：

第N次相遇路程差为N个周长，

环形周长=（大速度-小速度）X相遇时间

三、流水行船型

顺流路程=（船速+水速）X顺流时间

逆流路程=（船速-水速）X逆流时间

静水速度二（顺水速度+逆水速度）宁2

水流速度二（顺水速度-逆水速度）宁2

四、扶梯上下型

扶梯总长二人走的阶数X[1±（V梯—V人）]，顺行用加法，逆行用

减法

【例I】自动扶悌以匀速自下向上行驶.甲每秒钟向上邃楸乙每秒钟向I淀2级

賂is果甲30秒到达梯顶.乙20秒到达梯顶•谏执共有多少级?

40B.60C.KOD.1IM）

解析：

设扶梯为s级，速度为V,根据公式带入

「S=30x1X（1+v-1）解得『=1

jS=20X2X（1+v-2）s=6o，所以选择B。

五、队伍行进型

队头-队尾：

队伍长度=（人速+队伍速度）X时间

队尾-队头：

队伍长度=（人速-队伍速度）X时间

【例3】（安徽2012-64〕一支6WXK的恥伍行军，队耀的通讯员要与堪前面的连氏

缺系，他恥分钟甜步追上了连长I又在队伍怵息的时问以同样的迎厦艷回了队尾，用了2|分24»t如阳£和通讯员均匀速前进；则通讯员在行军时从最師面跑步回到収屋需要多安时剛＜）|

A一弼秒【良】井神CI4M秒D,2frt+|

解析：

假设通讯员和队伍的速度分别为V和U,所求时间为t,贝y：

eoo=（v-u）X3解得e=250

600二vX（2+24-60）u=50

所以选择D

<600=（v+u）Xtt=2,L

六、往返相遇型

左右点出发：

第N次迎面相遇，路程和二全程X（2N-1）

第N次追上相遇，路程差二全程X（2N-1）

同一点出发：

第N次迎面相遇，路程和二全程X2N

第N次追上相遇，路程差二全程X2N

|【例6】（浙江2013-53）甲，乙两她相距210舍里，酥b两辆汽车分別从甲、乙两地

1同时相向出发并连续往返于两地"从甲地出发的n汽车的速度为90公里/小吋，从乙地出发|的b汽车的遡度为120公里/水时°问出汽乍第2次从甲地岀发后与b『片相遇检b汽丁共存驶了务少公里1

扎

560公里

B,600公里

620公里

氏林和公里

解析：

a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇，实际上是两辆车第

3次迎面相遇，根据公式，路程和为5个全程，即5X210=1050（公

里），使用的时间为1050^（90+120）=5（小时）,所以b汽车共行

驶了120X5=600（公里），选择B

七、典型行程模型

等距离平均速度二（2速度1X速度2）^（速度1+速度2）（调和平

均数公式）（速度1和速度2分别代表往、返的速度）

【例L】（北京2014-76人开车从在前一半路程中.每小时60公

凰的建度时i!

b而在佔¥的路桎小，M环小时120金里时連度前进口则此人从A独到达R極的平期運度是毎小财#少公里？

|

化&O1L80:

90IX10Q

解析：

代入公式v=2X60X120-（60+120）=80

等发车前后过车：

发车间隔T=（2t1Xt2）宁（t1+12）;

V车/V人=（t2+t1）-（t2-t1）

例：

某人沿电车线路匀速行走，每分钟有一辆电车从后面追上，每4

分钟有一辆电车迎面开来，假设两个起点站的发车间隔相同，则这个发车间隔为多少？

解析：

依据公式，发车间隔T=（2t1Xt2）-（t1+12）=2X12X4宁

（12+4）=6（分钟）。

推导原型：

设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔t2

分钟就有辆公共汽车从后面超过该人，有方程组:

S=（V车+V人）xt1fV

车=（S/t1+S/t2）

-2

「T二S/V车=2t1t2/（t1+t2）

N=V车/V人二（t2+t1）/（t2-t1）

（S表示发车间距，T为发车间隔时间，V车为车速，V人为人速，N

为车速与人速的比）

不间歇多次相遇：

单岸型：

S=（3S1+S2/2（S表示两岸的距离）

推导原型：

设第一次相遇地点距离A地S1,第二次相遇地点距离A

地S2,则V甲/V乙=S1/（S-S1）=（2S-S2）/（S+S2f

S=（3S1+S2/2（注：

单岸指的是S1、S2都是距离同一出发地的距

离）

【例町乙两书同时从九R两地相向而疗，在距丸地加千栄处相遇，相遇麻两车維续前进，屮乐到达B匡芋到达A地后均立即按SWR廳回，範二減在沖A地60T米处相遇.求A、B两地间的路程•|

于来BJ50T米C.180F*I■•米

解析：

假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了80、（S-80）,

根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=80/（S-80）,第二

次相遇时，甲、乙各走了（2S-60）、（S+60）,同理可得，V甲/V乙=（2S-60）

/（S+60），综上80/（S-80）=（2S-60）/（S+60），解得S=150选择B

注：

直接代入单岸型公式S=（3X80+60）/2=150。

两岸型:

S=3S1-S2推导原型：

设第一次相遇地点距离A地S1,第二次相遇地点距离B

地S2,则V甲/V乙二S1/（S-S1）=（S+S2）/（2S-S2）—

S=3S1-S2

【例31（it.R2010-49）甲从A地、乙从日地同时以均匀的遽度相向而杼；第一次相_遇离A地6继续前SL到达对方赧点后立即返回，在寓B地JT侏处第二tk相遇.

fillAB两地相距鼻少千米？

（）

扎1012C18D.15

解析：

假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了6、（S-6）,根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=6/（S-6）,第二次

相遇时，甲、乙各走了（S+3）、（2S-3）,同理可得，V甲/V乙=（S+3）/（2S-3），综上6/（S-6）=（S+3）/（2S-3），解得S=15选择D注：

直接代入两岸型公式S=3X6-3=15。

无动力顺水漂流：

漂流所需时间=2T逆T顺+（T逆-T顺）（其中T

逆T顺分别代表船逆流和顺流所需的时间）

[M6]（±SW2012A-60>从A地存駛到B地需壑5天，而该册从B地行驶到A

地则需要7天.假没細速.水流速度不变•井具备漂流幫件，那么船从AM®流钊B地需|耍（）天j

|A,40B.35C12D.2

解析：

根据公式：

漂流所需时间=2T逆T顺宁（T逆-T顺）=2X7X

5+（7-5）=35（天），选择B

2.排列组合问题

排列：

与顺序有关，用A

组合：

与顺序无关，用C

排列公式：

Anm二n!

/（n-m）!

=nx（n-1）x（n-2）x…x（n-m+1）（简

单记忆就是从n开始，连续乘以m个数）

组合公式：

Cnm=n!

/（n-m）!

m!

=nx（n-1）x（n-2）x…x

（n-m+1）/mx（m-1）x（m-2）x（m-3）x…x1

一、相邻问题-捆绑法

6人排成一队，ab要排在一起：

A22*A55（先排ab，再捆在一起与

剩下的4人一起排队）

二、不相邻-插空法

6人排队，ab不排在一起：

A44*A52（先排除了ab之外的4人，4

人排好后有5个空位，再选择其中2个排ab两人）

三、围成一圈

6人围成一圈：

A55（选定6人中其中一人标定位置，其余5人按顺序排队）

四、几对夫妻排队

4对夫妻排队：

A88（相当于8人排队）

五、夫妻要排一起

4对夫妻排队，并且夫妻要排在一起：

（A22*A22*A22*A22）*A44（先

把每对夫妻排好，再将每队夫妻捆绑在一起排队）

六、夫妻坐在一起圆桌吃饭

4对夫妻坐在圆桌上吃饭，并且每队夫妻要坐在一起：

（（A22*A22*A22*A22）*A33）

七、错位排列型

N个封信和N个信封，每一封信都不装在自己的信封里，可能的种

数为Dn,贝yD仁0D2=1,D3=2,D4=9,D5=44

八、分配插板

O将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少一个，共有多少种分法？

答：

C72。

（8个苹果排成一排，除两头外共有7个空档，选择2个空档插入）

O将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少2个，共有多少种分法？

答：

C42。

（8个苹果先给每个小朋友分1个,剩下5个苹果排队,除去两头外共有4个空档,选择2个空档插入）

3.牛吃草问题

核心公式：

y=（N-x）*Ty代表草量，N代表牛的数量,x代表草长的速度，T代表吃完草需要的时间

表格法解牛吃草问题

例：

一片草地（草匀速生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，则这片草可供190只羊吃多少天？

190

50

12

N3

N3-x

T3

200

6010

2000

N1

N1-x

T1

N1*T1

240

1006

1440

N2

N2-x

T2

N2*T2

1404

560

x=

右两项之商T1-T2N1*T1-N2*T2

y=（N3-x）*T3=（N1-x）*T1=（N2-x）*T2

注：

题目中有牛有羊时，可将其全部转换成牛或羊；如果草场面积有区别，如M头牛吃W亩草时，N可用M/W带入，N代表单位面积上的牛数。

4.钟表问题

基本常识：

时针每分钟走0.5。

，分钟每分钟走6°；

24h内，时针和分钟重合22次，垂直44次；

钟表上每两格之间为30°

钟表问题追及公式：

T=To+（1/11）To,其中T为追及时间，To为静态时间，及假设时针不动，分针和时针达到条件要求时的虚拟时间。

例：

时针和分针在7点多少分重合?

假设时针不动，分钟需要走35分钟才能与时针重合（7点时分钟和

时间间间隔35分钟的空格），所以To为35分钟，带入公式，

T=35+35/11

5.余数同于问题

|氽数基本恒等式黨被除数=除数>：

麻余数余数<除数片

核心口诀：

余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期。

（1）余同：

一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1,则取1,表示为60n+1。

（60为4,5,6的最小公倍数，可取60的任意整倍数）

（2）和同：

一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1,则取乙表示为60n+7。

（3）差同：

一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,则取3,表示为60n-3。

注：

n的取值范围为整数，可为负值，也可以取0。

6.容斥原理

两集合标准型核心公式：

满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=

总个数-两者都不满足的个数

三集合标准型核心公式:

AUBUC=A+B+C-AnB-AnC

三集合整体重复型核心公式:

A、B、C,而至少满足三个

Bnc+AnBnc

{W=x+y+z

A+B+C=xX1+yX2+zX3A

其中满足三个条件的元素数量分别为

条件之一的元素总量为W满足一个条件的元素数量为x，满足

两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为y。

例：

一个班级共有55个学生，暑假参加特长培训班，35人参加

书法，28人参加美术，31人参加舞蹈，其中以上三种培训班都

参加的有6人，则有多少人只参加一种培训班？

22

解答：

W=55Z=6,A=35,B=28,C=31,代入公式

55=x+y+6解得x=22

35+28+31=xX1+yX2+6X3y=27

7.几何问题模块

周长计算公式：

正方形周长=4a;长方形周长=2（a+b）;圆周长=2nR;扇形

周长=2nRX（n/360°）

面积计算公式：

正方形面积=a2;菱形面积=对角线乘积的一半；长方形面积

=ab;圆面积=nR2;扇形面积=nR2X（n/360°）;三角形

面积=1/2ah=1/2absinC;平行四边形=ah;梯形面积=1/2

（a+b）h;正方体表面积=6a2;长方体表面积=2ab+2ac+2bc;球表面积=4nR2=nD2

体积计算公式：

正方体体积=a2;长方体体积=ab;球体积=3/4nR2;棱柱体

积=sh;圆柱体积=sh二nR2h;棱锥体积=1/3sh;圆锥体积

=1/3sh=1/3nR2h

勾股定理：

a2+b2=c2

几何特性：

1等比放缩

一个几何图形，其尺寸变为原来的m倍，贝y：

1.所有对应角度不发生改变

2.所有对应长度变为原来的m倍

3.所有对应面积变为原来的m2倍

4.所有对应体积变为原来的m3倍

2几何最值

1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。

2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。

3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大

4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小

③三角形三边关系

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

几何边端：

①植树型

1.单边线型植树公式：

棵数=总长*间隔+1;

总长=（棵数-1）X间隔

2.单边环形植树公式：

棵数=总长*间隔；

总长二棵数X间隔

3.单边楼间植树公式：

棵数

二总长+间隔

-1；

总长

=（棵数+1）

X间隔

4.双边植树问题公式：

响应单边植树问题所需棵数的2倍

②方阵型（N为每边人数）

三角形方阵：

总人数=3N-3

四边形方阵：

总人数=4N-4

五边形方阵：

总人数=5N-5六边形方阵：

总人数=6N-6

M排N列实心方阵：

总人数=MXN,外围人数=2M+2N-4

N排N列实心方阵：

总人数=NXN,外围人数=4N-4规律总结：

1.无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满足：

外圈比内圈多8人。

8.其他一些常用公式：

1.前n个奇数之和为n2；

2.等差数列公式：

和=（首项+末项）X项数+2=平均数

（中位数）x项数；项数=（末项-首项）+公差+1

3.等比数列公式：

an=a1Xqn-1；sn=a1X（qn-1/q-1）

4.三位数的页码公式：

页码=（数字+111）+3-仁数字+3+36

（数字代表用了多少个数字，如115，用了2个1和1个5，共3个数字）

5.四位数页码公式：

页码=（数字+1111）+4-1

6.如果所有的年不是闰年，那么N年之后星期几相当于N天

之后星期几

7.空瓶换酒型，讲M个空瓶换N瓶酒转化为（M-N）个空瓶换N个（无瓶）酒

例：

超市规定每3个空汽水瓶可换一瓶汽水，小李有11个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水？

解析：

3空瓶=1瓶汽水=1空瓶+1汽水，可得2空瓶=1汽水，11+2=5.5，所以最多可换5瓶汽水。

李委明老师懒人专供部分：

1.ABCAC相对效率问题

例：

小王和小刘一起手工制作一种工艺品，每个工艺品由甲部件和乙部件组成，小王每天可制作150个甲部件，或者制

作75个乙部件，小刘每天可制作60个甲部件，或者制作24个乙部件。

现两人一起制作工艺品，10天时间最多可制造多少件工艺品？

A.660B.675C.700D.900

解析：

先列表

甲

乙

小王

150C

75A

小刘

60B

24

将表中的数字十字相乘并比较大小即：

「150X24

60IX75=150X30,显

然60X75>150X24,将相乘最大的两个数，把大数设为A,小数设为B,A所在同一行（左边或右边）所在的数设为C,

则得公式A（B+C）/（A+C），代入可得75X210+225=70,再乘以天数10,得出700，即为答案。

2.九宫格

以下九宫格每行、每列以及两条对角线的和相同，为w

a

b

c

d

e?

f

g

h

i

关于九宫格的结论：

1正中间那个数为和的1/3，即e=1/3Xw

2d,e,f成等差数列，b,e,h,成等差数列，即2e=d+f二b+h,由此可知两对腰之和相等

3顶点处数字为远处两腰的平均数，即i=（d+b）/2

3.分数求最大公约数和最小公倍数

分数的最小公倍数=分子的最小公倍数/分母的最大公约数分数的最大公约数=分子的最大公约数/分母的最小公倍数4．对角面切长方体，大边则大，小边则小。

（大小包括周长和面积）

蚂蚁走路，一点走到另一对点，切割长的棱则路线短，切割短的棱则长。

（这个较抽象，可取观看李委明老师的讲课视频理解）5．容斥原理扩展二多型：

参与两种的至多有多少

例：

一个班级有30（M名学生，12（A）个人会跳拉丁舞，8（B）个人会跳肚皮舞，10（C）会跳芭蕾舞，问至多有多少人会跳两种舞蹈？

1.若ABC可以构成三角形，贝恪案为（A+B+C/2

2.若ABC无法构成三角形，B+C

3.若（A+B+C>2M则答案为3M-（A+B+C三少型：

参加三种的至少有多少例：

一小偷藏匿于某商场，三名保安甲乙丙分别行动搜查商场的100家商铺。

已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，贝

三人都检查过的商铺至少有多少家？

公式：

（A+B+C-2M

同理四少型：

（A+B+C+D-3M

（以上公式，有不足及错误之处，敬请大家指出，谢谢）