第17讲图形巧数.docx
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第17讲图形巧数
学科:
奥数
教学内容:
第17讲图形巧数
知识网络
几何中的计数问题包括:
数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。
在几何图形的计数问题中,各种图形的基本概念及其相关性质是计数过程中寻找规律的基础。
直线的性质:
没有端点,且过两点有且只有一条直线;射线:
直线上一点和它一旁的部分,它有一个端点;线段:
直线上两点和它们之间的部分,它有两个端点;三角形:
三条线段首尾顺次连接而得到的图形;平行四边形:
两组对边分别平行的四边形;长方形:
有一个角是直角的平行四边形;正方形:
长与宽相等的矩形;梯形:
一组对边平行,另一组对边不平行的四边形。
重点·难点
以要数的图形的基本概念和基本性质为基础,找到计数规律,既不能同一图形数两次,也不能把有的图形漏掉不数。
学法指导
掌握图形的规律和方法多种多样,常用的有按顺序数和分类数两种。
分类方法如:
按点分类,按边分类,按块分类等等还要注意分类的合理性,只有当所分的类型包含所有情况并且相互不重叠,这样才有可能做到不重复、不遗漏。
经典例题
[例1]数一数图1中有多少条线段?
思路剖析
要想使数出的图形中线段的总条数,不重复、不遗漏,就要找到规律。
第一种可以按端点进行分类,如图1中,线段最左边的端点是A,即以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF共五条;以B为左端点的线段有BC、BD、BE、BF共四条;以C为左端点的线段有CD、CE、CF,共三条;以D为左端点的线段有DE、DF共二条;以E为左端点的线段有EF,一条。
这些线段的和就是图形中线段的条数。
第二种可以按含基本线段多少的顺序去数。
在此题中最长的线段AF上有四个分点,将AF分成了5条小线段,这每条小线段就是基本线段。
首先有5条基本线段,其次是包含有两条基本线段的有4条,然后是包含有三条基本线段的有3条,包含有四条基本线段的有2条,包含有五条基本线段的有1条。
则线段AF上的线段条数可求。
解答
图1中共有线段:
5+4+3+2+1=15(条)
点津
若图形为一条线段上有n个分点,线段的总条数等于从1开始的连续n个自然数的和,这n个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1,即n+l。
n+1也就是基本线段的条数。
[例2]数出图2中总共有多少个角?
思路剖析
数角的方法类似于数线段的方法。
第一种按角的边进行分类,以
为一边的角有
、
、
、
共4个;以
为一边的角有
、
、
共3个;以
为一边的角有
、
共2个;以
为一边的角有
,有1个。
这些角的和是图形中角的个数。
第二进种按含基本角多少的顺序去数。
在最大角
内有三条射线
,
,
。
被这三条角分线分成4个基本角。
首先有4个基本角;其次是包含有2个基本角组成的角有3个;包含有3个基本角组成的角有2个;包含有4个基本角组成的角有1个,则总共有多少个角可求。
解答
图2中总共有角:
4+3+2+l=10(个)
[例3]数一数在图3中总共有多少个三角形?
思路剖析
我们仍然可以按照数线段和数角的方法来数三角形。
第一种方法:
因为三角形有三条边,则可以按照含有边的不同进行分类。
以AB为边的三角形有△ABD、△ABE、△ABF、△ABG、△ABC共五个;以AD为一边的三角形有△ADE、△ADF、△ADG、△ADC共四个;以AE为一边的三角形有△AEF、△、AEG、△AEC共三个;以AF为一边的三角形有△AFG、△AFC共二个;最后以AG为一边的三角形只有△AGC一个。
则图3中三角形的个数求和可得。
第二种方法:
注意到图3中的三角形的一边必是BC上所在线段。
那么可知BC上有多少条线段则必有多少个三角形。
BC上的线段条数按照数线段的方法可得,第三种方法:
先数出图3中的基本三角形,其他的三角形由基本三角形组合构成。
图3中有△ABD、△ADE、△AEF、△AFG、△AGC五个基本三角形。
由两个基本三角形组合在一起的三角形有△ABE、△ADF、△AEG、△AFC四个三角形;由三个基本三角形组合在一起的三角形有△ABF、△ADG、△AEC三个三角形;由四个基本三角形组合在一起的三角形有△ABG、△ADC二个三角形;由五个基本三角形组合在一起的三角形只有△ABC一个。
图3中三角形个数总和可知。
解答
图3中三角形个数:
5+4+3+2+l=15(个)
答:
图3中三角形的个数共有15个。
[例4]数一数图4中长方形的个数。
思路剖析
由于长方形的构成要考虑到长和宽两个要素。
因此图4中长方形的个数与作为“长”的线段的条数和作为“宽”的线段条数有关。
每一个长配一个宽就组成一个长方形。
把AB上的每一条线段作为宽,AB上有三个分点,有线段:
4+3+2+l=10(条)。
把BC边上每一条线段作为长,BC上有四个分点,有线段:
5+4+3+2+l=15(条)。
那么图4中长方形的个数是长与宽个数的积。
解答
图4中AB边上有线段:
4+3+2+l=10(条)
BC边上有线段:
5+4+3+2+1=15(条)
所以共有长方形:
10×15=150(个)
答:
图4中长方形的个数为150个。
点津
虽然此题我们也可以将长方形按照基本长方形个数的组合进行分类,但对于复杂的图形这种方法就不适用了,很容易重复或漏数。
[例5]数一数图5中有多少个正方形(其中每一个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)?
思路剖析
由于正方形是长与宽相等的矩形,数正方形与数长方形相类似。
由于长=宽,那么只需考虑一边的长,按一边的长进行分类,由于图中BC边长大于AB边,因此从AB边开始分类,AB边长为8个单位长度,那么图5中有八类正方形。
①边长为1的正方形个数:
14×8=112(个)
②边长为2的正方形个数:
13×7=91(个)
③边长为3的正方形个数:
12×6=72(个)
④边长为4的正方形个数:
11×5=55(个)
⑤边长为5的正方形个数:
10×4=40(个)
⑥边长为6的正方形个数:
9×3=27(个)
⑦边长为7的正方形个数:
8×2=16(个)
⑧边长为8的正方形个数:
7×1=7(个)
那么图5中正方形个数和可求。
解答
正方形总数为:
14×8+13×7+12×6+11×5+10×4+9×3+8×2+7×1
=112+91+72+55+40+27+16+7
=420(个)
答:
图5中共有正方形420个。
[例6]数一数图6中三角形的个数(图中每一个小三角形是边长为1的正三角形)。
思路剖析
第一种方法:
从图6中易将三角形分为两类,一类是顶角朝上的,一类是顶角朝下的三角形。
先来考虑顶角朝上的三角形,再将它们分成5种,①在△
中有1个三角形;②在
中有2+l=3个三角形;③在
中有3+2+1=6(个)三角形;④在
中有4+3+2+l=10(个)三角形;⑤在△ABC中有5+4+3+2+l=15(个)三角形。
再来考虑顶角朝下的三角形。
①在
中有4个三角形;②在
中有3+2=5(个)三角形;③在
有2+l=3(个);④在
中有1个三角形。
综合以上的各种情况,图中三角形的个数可求。
第二种方法:
类似于正方形的分类方法。
将三角形分成五类。
①边长为1的三角形有:
25个;②边长为2的三角形有10+3=13(个),其中10个顶角朝上,3个顶角朝下;③边长为3的三角形有6个,都是顶角朝上的;④边长为4的三角形有3个,都是顶角朝上的;⑤边长为5的三角形有1个,是△ABC。
那么图中三角形个数为此五类三角形的和。
解答
①按第一种方法划分三角形的总数为:
l+3+6+10+15+4+5+3+1=48(个)
②按第二种方法划分三角形的总数为:
25+13+6+3+l=48(个)
答:
图6中三角形的个数为48个。
点津
寻找到对的正确的图形分类方法是解题的关键。
第一种方法的分类较细,虽然看起来有些繁琐,但不易漏数。
第二种方法的分类较粗,在数每一类三角形时,容易出现漏数的情况。
发散思维训练
1.数一数图7中共有多少条线段?
共有多少个三角形?
2.数一数图8中有多少个三角形?
3.数一数图9中有多少个正方形包含阴影方格?
(图中每一个小格是边长为1的正方形。
)
4.数一数图10中有多少个三角形?
5.数一数图11中共有多少个长方形?
6.一筐苹果共有50个,现将50个苹果排成一行,问:
(1)这些排成一行的50个苹果可组成多少条线段?
(2)如果去掉两头儿的苹果,这样可以组成多少条线段?
7.数一数图12中正方形的个数。
图中每个小格都是边长为1的正方形。
8.数一数图13中有多少个三角形?
9.如图14所示,在圆周上有6个钉,在这6个钉中,任取3个钉用皮筋可套出一个三角,问:
(1)以钉A为顶点的三角形有几个?
(2)从6个钉中任取3个,用皮筋去套,可以套出多少个三角形?
参考答案
发散思维训练
1.解:
先找出图中线段的基本图形,即一条线段上有几个分点。
这样的线段有:
AB、AD、AE、AF、AC、GH、KL、MN、BC点共8条线段,而且每条线段上有三个分点,说明在这样的每条线段上有4+3+2+l=10(条)线段,那么图形中总共有线段:
10×8=80(条)。
三角形求法,同上,先找出基本三角形4个,每个基本三角形中有三角形为4+3+2+1=10(个),故,图中共有三角形:
10×4=40(个)。
答:
在图形中共有80条线段,40个三角形。
2.解:
由于五边形ABCDE是一个正五边形,是对称的图形,在这个图形中有很多大小形状都相等的三角形,因此分类时按三角形大小进行分类。
①与
大小相等的三角形有5个;②与
大小相等的三角形有5个;③与
大小相等的三角形有10个;④与△ACD大小相等的三角形有5个;⑤与
大小相等的三角形有5个;⑥与△ACD大小相等的三角形有5个。
图中三角形的个数:
5×5+10=35(个)。
答:
图中总共有35个三角形。
3.解:
由于图中的阴影方格是长为2,宽为1的长方形。
那么包含它的正方形的边长至少是2。
那么包含阴影方格的:
①边长为2的正方形有2个;②边长为3的正方形有4个;③边长为4的正方形有1个。
总共有:
2+4+l=7(个)。
答:
总共有7个正方形包含阴影方格。
4.解:
如图1,将此图形按大三角形进行分类△ADE、△ADC、△ABC、△EDC、△BDC在DE、DC、BC边上各有四个分点,则在△ADE、△ADC、△ABC中各有5+4+3+2+1=15(个)三角形。
在△EDC与△BDC中各有5个三角形。
因此共有:
15×3+5×2=55(个)
答:
图中共有55个三角形。
5.解:
如图2,在大矩形ABCD和小矩形
中各有长方形:
(4+3+2+l)×(2+l)=30(个),在图形的中间部分矩形EHJG中含有的未被数到的长方形:
①含有1个基本长方形的有4个,
②含有2个基本长方形的有2个,
③含有3个基本长方形的有4个,
④含有6个基本长方形的有2个,
总共有:
30×2+4+2+4+2=72(个)。
答:
图2中共有72个长方形。
答图2
6.解:
(l)50个苹果排成一行,每个苹果相当于线段上的一个点,那么这条线段上总共有50-2=48(个)分点,有49条基本线段。
那么共有线段:
(条)。
(2)若去掉两头的苹果,那么苹果数变为48个,在这条线段上则有47条基本线段。
那么共有线段:
47+46+…+3+2+l=(47+l)×47÷2=1128(条)
答:
50个苹果排成一行可组成1225条线段。
去掉两头的苹果后可组成1128条线段。
7.解:
图形中①边长为1的正方形有6×6=36(个)
②边长为2的正方形有5×5=25(个)
③边长为3的正方形有4×4=16(个)
④边长为4的正方形有3×3=9(个)
⑤边长为5的正方形有2×2=4(个)
⑥边长为6的正方形有l×l=1(个)
图形中正方形总数:
36+25+16+9+4+l=91(个)
答:
图中共有91个正方形。
8.解:
如图3,以BC为分界,在△ABC和△BCD中各有三角形:
5+4+3+2+l=15(个);以AD为分界,AD的左侧有3个三角形,AD的右侧有2个三角形。
总共有:
15×2+3+2=35(个)。
答:
图3中总共有35个三角形。
9.解:
(1)以钉A做为三角形的一个顶点,只需找到另外两点即可构成三角形,此两点连线构成一条线段。
以B为端点的线段有BC、BD、BE、BF共四条;以C为端点的线段有CD、CE、CF共三条;以D为端点的线段有DE、DF共两条;以E为端点的线段有EF共一条。
则总共有:
4+3+2+l=10(个)。
(2)由第一问的结论得知以A为顶点的三角形共有10个;那么以B为顶点的三角形,有3+2+l=6(个);以C为顶点的三角形有2+l=3(个);以D为顶点的三角形有1个,剩下两点构不成三角形。
则共可组成三角形:
10+6+3+l=20(个)
答:
以钉A为顶点的三角形有10个,6个钉中任取三个组成三角形共可组成20个。