高等数学复习提纲同济大学下册.docx
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高等数学复习提纲同济大学下册
高等数学复习提纲
一、考试题型
1．填空题6题
2．计算题8题
二、知识点
1．平面及其方程。
例题：
一平面过点（101）且平行于向量a（211）和b（110）
试求这平面方程
解所求平面的法线向量可取为
ijk
nab211ij3k
110
所求平面的方程为
（x1）（y0）3（z1）0即xy3z40
2．空间直线及其方程。
例题：
求过点（203）且与直线
x
3x
2y
5y
4z
2z
7
1
0
0
垂直的平面方
程
解所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量即
ijk
n（1,2,4）（3,5,2）12416i14j11k
352
所平面的方程为
16（x2）14（y0）11（z3）0
即16x14y11z650
例题：
求过点（312）且通过直线
x
5
4y3z
21
的平面方程
解所求平面的法线向量与直线
x
5
4y3z
21
的方向向量
s1（521）垂直因为点（312）和（430）都在所求的平面上
所以所求平面的法线向量与向量s2（430）（312）（142）也
是垂直的因此所求平面的法线向量可取为
ijk
nss5218i9j22k
12
142
所求平面的方程为
8（x3）9（y1）22（z2）0
即8x9y22z590
3．旋转曲面。
例题：
将zOx坐标面上的抛物线z
25x绕x轴旋转一周求
所生成的旋转曲面的方程
解将方程中的z换成
y得旋转曲面的方程y
2z25x
2z2
2z29绕z轴旋转一周求所生
例题：
将zOx坐标面上的圆x
成的旋转曲面的方程
解将方程中的x换成
x2y2得旋转曲面的方程
x
2y2z29
4.多元复合函数求导，隐函数求导。
y
例题：
求函数zex的全微分
y1y
zz
y
解dzdxdyedxexdy
x2
xyxx
例题：
设zu2lnv而
2lnv而
x
uv3x2y求
y
z
x
z
y
解
z
x
z
u
u
x
z
v
v
x
2ulnv
1
y
2
u
v
3
2
2x3x
ln（3x2y）
y2（3x2y）
y2
zzuzv
yuyvy
2ulnv（
2
xu
）
2v
y
（
2）
2
2x
3
y
ln（3x
2y）
（3x
2
2x
2y）
2
y
x2y而xsintyt3求
例题：
设ze
dz
dt
解
dy
dze2cotse2
（2）3t2
zdxz
xyxy
dtxdtydt
x
e
2ytt2esint2t3tt
（cos6）（cos6
2
）
xxy20求
例题：
设sinye
dy
dx
解令F（xy）sinye
xxy2则Fxexy2Fycosy2xy
dyFx
eyye
222x
dx
Fcosy2xycosy
y
2xy
例题：
设
y
ln22求
xyarctan
x
dy
dx
解令
y
F（,）ln22arctan则
xyxy
x
F
x
1
2
x
2
y
2
2x
2
x
2
y
1
1
（
y
x
2
）
（
y
2
x
）
x
2
x
y
y
2
F
y
1
2
x
2
y
2
2y
2
x
2
y
1
1
y
2
（）
x
1
x
y
2
x
x
y
2
dy
F
x
x
y
dx
Fx
y
y
5.重积分（直角坐标，极坐标）。
例题：
22其中D{（xy）||x|1|y|1}
（xy）d
D
解积分区域可表示为D1x11y1于是
D
111
1
（22dxxydy
xy）d（[xyydx
2）23]1
2
11
3
11
1
1
2）
（2xdx
1
3
22
3]
[xx
33
1
1
8
3
例题：
xcos（xy）d其中D是顶点分别为（00）（0）和（）的三角形
D
闭区域
解积分区域可表示为D0x0yx于是
D
xcos（xy）dxdx
0
x
cos（x
0
y）dy
0
xx
[sin（xy）]dx
0
x（si2nxsinx）dx
00
1
xd（co2sxcoxs）
2
11
x（co2sxcoxs）|（cos2xcosx）dx
0
22
0
3
2
例题：
利用极坐标计算下列各题
（1）
22
xd
y
e
2y24所围成的闭区域
，其中D是由圆周x
D
解在极坐标下D{（）|0202}所以
222
xdedd
y
e
DD
2
0
d
2
e
0
2
d
1
244
（e1）（e
2
1）
y
（3）arctand其中D是由圆周x
2y24x2y21及直线y0yx所围成x
D
的第一象限内的闭区域
解在极坐标下D{（,）|0,12}所以
4
D
y
arctand
x
D
arctan（tan）dddd
D
4
0
2
dd4
10
d
23
3
d
164
5．求曲顶柱体体积。
例题：
求由曲面zx
22y2及z62x2y2所围成的立体的体积
解由
22
zx2y消去z得x2+2y2=62x2y2即x2y2=2
22
z62xy
故立体在xOy面上的投影区域为x2y22因为积分区域关于
x及y轴均对称并且被积函数关于xy都是偶函数所以
V[（6222）（222）]
xyxyd
（22
63x3y）d
DD
12
0
2
22x2
2223dx
dx（2xy）dy8（2x）6
00
例题：
计算以xOy平面上圆域x
2y2ax围成的闭区域为底
2y2为顶的曲顶柱体的体积
而以曲面zx
解曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D{（x
y）|x
2y2ax}
在极坐标下D,0cos}所以
{（,）|a
22
V
x
2
y
2
4
acos
a3
（2224
xy）dxdyddcosda
224
0432
ax22
6常数项级数的审敛法。
例题：
判定下列级数的收敛性
（1）
1
25
1
36
（n
1
1）（
n4）
1
2
（n1）（n4）n
解因为1
limlim
1
2
n5n4nn
2n
而级数
1
2
nn收敛故所给级数收敛
1
sinsinsinsin
（2）2
23n
222
解因为
lim
n
sin
n
2
1
n
2
lim
n
sin
n
2
n
2
1
而级数
n
n收敛故所给级数收敛
12
3
2
3
3
3
n
3
23n
（1）2
122232n
n
3
u
nn
解级数的一般项为n
2
因为
lim
n
u
n
u
n
1
lim
n
（n
n
3
1）
1
n
2
1
n
n2
n
3
lim
n
3
2
n
n
1
3
2
1
所以级数发散
（2）1
n
2
n
n
3
解因为
2
u
n
（n1）
31n1
lim2
n1
limlim（）
n12
u3n3n
nnn
n
1
3
1
所以级数收敛
（3）
n1
n
2n!
n
n
解因为
lim
n
n1
n
un
2（n1）!
nn
n1
lim2lim（）
n1n
u（n1）2n!
n1
nn
n
2
e
1
所以级数收敛
（3）
n
n
1
tan
n
2
1
解因为
（n1）tan
u
n2
2
n1
n
limlimlim
nun
nn
nn
tan
n1
2
1
n
2
n
2
2
1
1
2
1
所以级数收敛
例题：
判定下列级数是否收敛？
如果是收敛的是绝对收敛
还是
条件收敛？
（1）
1
1
2
1
3
1
4
解这是一个交错级数
n
（
1
n
1）
1
（1）1
n1
u其中
n
n1
n
un1
n
因为显然unun+1并且lim0
u所以此级数是收敛的
n
n
又因为
n
|（
1
n
1）
11
u是p1的p级数是发散的
|
n
n
n1
所以原级数是条件收敛的
（2）
n
（
1
nn
1
1）
n
3
1
解
n
|（
1
nnn
1
1）|
n1n
33
n1
1
n1
n1
3
因为1
lim
nn
3
n1
3
所以级数
n
n是收敛的
n1
3
1
从而原级数收敛并且绝对收敛
7．幂级数。
例题：
求下列幂级数的收敛域
1x
2
2
x
2
（
n
1）
n
2
x
n
1
2
a（n1）2
nn1
解1lim
（1）1
lim||lim
n故收敛半径为
nn
2
an
n
2
n
R1
因为当x1时幂级数成为
n
（
2
n
1）
1
n是收敛的当
2
x1时幂级数成为
1
1
2
nn也是收敛的所以收敛域为
1
[11]
n
（
1
n
1）
2n
x
2n
1
1
2n1x
n
解这里级数的一般项为u
（1）21
n
n
因为
u
2n3
121|
xn
n2
lim||lim|x
n由比值审敛法
n
2n1
u2n3x
n
21即|x|1时幂级数绝对收敛当x21即|x|1时幂
当x
级数发散故收敛半径为R1
因为当x1时幂级数成为
n
1
n
（1）
n是收敛的当
121
x1时幂级数成为
n
（
1
n
1）
1
1
21
n也是收敛的所以收敛
域为[11]
8．函数展开成幂级数。
例题：
将下列函数展开成x的幂级数并求展开式成立的
区间
（1）sin2x
11
解因为sin2xcos2x
22
2nx
n
cos
（1）
xx（）
（2n）!
n0
所以
2
sin
2n
2n12n
11（2x）2x
xx（）
（1）
（1）
nn
22（2n）!
（2n）!
n0n1
例题：
将函数f（x）cosx展开成）
（x的幂级数
3
解
cosxcos[（x）]cos（x）cossin（x
3333
）sin
3
3
1xx
3
cos（）sin（
232
3
）
1
2
n0
n
（
1）
（2n）!
（x
）
3
n
（1）
2）
n2n
3
（x
2（2n1）!
3
n0
1
11321
n2nxnx5
（1）[（x）（）]（）
2（2n）!
3（2n1）!
3
n0
例题：
将函数
f（）1展开成（x3）的幂级数
x
x
解
n
11111
（
x3x33x330
1
n
3
nx3x
n
1）（）（1
33
3
1）
即
n
11
（
x30
n
1）
nxx
3
n
（）（0
3
6）
例题：
将函数
1
f展开成（x4）的幂级数
（）2
x
x3x2
解
f
（x）2
x
1
3x
2
1
x
1
1
x
2
而
1
x
13
1
（x
4）
1
3
1
1
x
3
4
1
3
n
（
0
x
4nx
）（|
3
4
3
|1）
n
1（x4）
即（71）
1x
xnn
13
0
1
x
22
1
（x
4）
1
2
1
1
x
2
4
1
2
n
x
（
0
2
4nx4
）（|
2
|1）
n
（x4）
1
即（62）
1x
xnn
22
0
因此
f（x）
nx
1（x4）（
22
n1n
x3x23
n0n0
n
4）
1
n
（
0
1
n
2
1
n
1x）（6x
n1
）（4
3
2）
注意复习书上习题
刘华
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