第五六讲 平均指标和变异指标.docx

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第五六讲平均指标和变异指标

第五、六讲平均指标和变异指标

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课程名称：

应用统计学

本讲题目：

平均指标和变异指标

时间：

4学时

教学目标:

1、深刻理解平均指标和变异指标的基本理论和分析方法

2、掌握计算平均指标的各种方法及运用原则

3、对平均指标进行分析，阐述影响平均指标大小的原因

4、明确平均指标与变异指标的区别与联系

5、掌握变异指标的计算方法，并能运用标志变异指标说明平均数的代表性基本理论和分析方法。

任务:

本章主要介绍经济统计中广泛应用的一种综合指标，即平均指标。

并在此基础上，详细论述了反映总体特征的另一指标，即标志变异指标。

重点掌握：

1、平均制表的分析方法。

2、变异指标的计算意义。

阅读资料:

学生阅读资料:

2000年我国民办教育的基本情况

王东霞平均指标与标志变异指标的比较济源职业技术学院学报2011年1期

教师阅读资料:

王荣党平均数为何不是贫困线度量的一种方法中国统计2011年12期

欧阳培峰统计指标分类体系的完善宜春学院学报2011年12期

王东霞平均指标与标志变异指标的比较济源职业技术学院学报2011年1期

王德耀成品油油价波动对区域的宏观经济结构影响分析现代商业2012年6期

总的要求:

掌握计算平均指标的各种方法及运用原则，掌握变异指标的计算方法，并能运用标志变异指标说明平均数的代表性基本理论和分析方法。

教学目标1平均指标的概念和作用

一、平均指标的概念

1、定义

平均指标又称平均数，它是统计分析中最常用的统计指标之一。

它反映了社会经济现象中某一总体各单位某一数量在一定时间、地点条件下所达到的一般水平，或者反映某一总体、某一指标在不同时间上发展的一般水平。

2、特点

第一，同质性，即总体内各单位的性质是相同的。

第二，抽象性，即总体内各同质单位虽然存在数量差异，但在计算平均数时并不考虑这种差异，即把这种差异平均掉了。

第三，代表性，即尽管各总体单位的标志值大小不一，但我们可以用平均数这一指标值来代表所有标志值。

二、平均指标的作用

1、可以用来比较同类现象在不同地区、部门、单位（即不同总体）发展的一般水平，用以说明经济发展的高低和工作质量的好坏。

2、可以用来对统一总体某一现象在不同时期上进行比较，以反映该现象的发展趋势或规律。

如对同一地区人均年收入逐年进行比较来反映该地区居民生活水平的发展趋势或规律。

1、以作为论断事物的一种数量标准。

2、以用来分析现象之间的依存关系。

3、以估算和推算其他有关数字

三、平均指标的种类

平均指标按其性质可分为静态平均数和动态平均数。

静态平均数反映的是同质总体内各单位某一数量标志在一定时间地点条件的一般水平，

动态平均数反映的是某一总体某一指标值在不同时间上的一般水平。

本章主要介绍静态平均数。

教学目标2平均指标的计算和确定

一、算术平均数

算术平均数是计算平均指标最常用的方法

使用这一基本公式应该注意公式中分子与分母的口径必须保持一致，即各个标志值与各单位之间必须具有一一对应关系，属于同一总体，否则计算出的指标便失去了意义，这也正是平均指标与强度相对指标不同的地方。

强度相对指标虽然也是两个总量指标之比，但分子分母各属不同的总体，它们之间没有直接的依存关系。

由于掌握的资料不同，算术平均数的计算有简单算术平均数和加权平均数之分。

（一）简单算术平均数

如果我们在掌握了总体各单位标志值或标志总量和总体单位总量的资料的条件下，就可以直接用上式计算平均数。

（二）加权算术平均数

当变量值已经分组，且各个标志值出现的次数不相同时，就可以采用加权算术平均数的形式计算平均指标。

1、由单项式数列计算的加权算术平均数

（2）由组距数列计算加权算术平均数

二、调和平均数

调和平均数是被研究对象中各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，因而也称为倒数平均数。

与算术平均数一样，由于掌握的资料不同，分为简单调和平均数和加权调和平均数。

1、简单调和平均数

简单调和平均数是标志值倒数的简单算术平均数的倒数。

在各个标志值相应的标志总量均为一个单位的情况下求平均数时，用简单式。

2、加权调和平均数

简单调和平均数是在各变量值对平均数起同等作用的条件下应用的。

如果权数不等，如例7资料中早、中、晚不是各买1元，而是各买不同的金额，那么每种价格所起作用就不同了，这时就应计算加权调和平均数

（l）由相对数计算平均数

以计划完成程度相对指标为例，当掌握的资料为实际完成数时，求平均计划完成程度，应采用加权调和平均数计算；当掌握的资料为计划数时，应以计划数作为权数，采用加权算术平均数计算。

（2）由平均数计算平均数

以工业企业生产工人劳动生产率为例，如果所掌握的资料是各车间的生产工人劳动生产率及其产值资料，计算该企业的平均生产工人劳动生产率时应采用加权调和平均数法计算；如果所掌握的资料是各车间的生产工人劳动生产率及其生产工人人数，则计算该企业的平均生产工人劳动生产率时，应采用加权算术平均数法计算。

三、几何平均数

几何平均数是用n个变量相乘开n次方的算术根来计算的平均数。

它反映的是某种特定现象的平均水平，这种现象的标志总量不是各单位的标志值的总和，而是它们的连乘积。

在统计分析中，几何平均数主要用来计算平均比率或平均发展速度。

四、中位数

前面几种平均数在计算时要考虑每个原数据值，即每个原数据的大小都会对算术平均数、调和平均数和几何平均数的大小产生影响。

但如果原始数据中有个别极大或极小值，就会使三种平均数出现不正常的偏大或偏小的情况，为避免个别极端值对平均数造成不合理的影响，统计分析中还经常用到中位数和众数这两种补充平均数。

现在先介绍中位数。

1、中位数的概念

将被研究总体的各单位的标志值按大小顺序排列，处于中间位置的那个标志值就是中位数，用符号Me表示。

2、中位数的特点和作用

（l）中位数是一种位置平均数，它的大小决定于数列中间位置的那个标志值，不受其他标志值的影响，所以用它代表整个总体各单位标志值的平均水平，有其不足之处。

但是如果数列两端出现极端值时，用中位数来表示该现象的一般水平，更有其代表性。

例如在社会成员收入悬殊的国家，用其收入的中位数比平均数更能代表多数成员收入的一般水平。

（2）各单位标志值与中位数离差的绝对值之和最小，即：

利用中位数的这一性质，可以解决一些实际问题。

例如铺设通信线路，可用中位数来决定总控制室的位置，使其到各分点的距离之和为最短，从而节省原材料及费用。

3、中位数的确定

根据所掌握资料的不同，中位数的计算方法有两种。

即由未分组资料确定中位数和由分组资料确定中位数。

（l）所给资料未分组。

设总体单位数（即数列项数）为n，中位数的位次为Pm。

①当n为奇数时，中位数就是居于中间位置的那个标志值。

②当n为偶数时，中位数是处于中间位置的那两个标志值的算术平均数。

（2）所给的资料已分组

①根据单项数列确定中位数

②根据组距数列确定中位数。

此问题可根据不同专业的情况作为选学的内容。

（五）众数

1、众数的概念

众数是总体中各单位出现次数最多的那个标志值，也就是该总体各单位中最普通、最常出现的标志值。

用众数也可以表明社会经济现象的一般水平。

在实际工作中，众数是应用较广泛的。

例如，要说明消费者需要的服装、鞋帽等的普遍尺码，反映集市贸易市场某种蔬菜的价格等，都可以通过市场调查、分析、了解哪一尺码的成交量最大，哪一种蔬菜价格的成交量最多，人们的这种一般需求，即为众数。

2、众数的特点和作用

（l）众数作为总体中出现次数最多的数值，能直观的说明总体各单位该标志值的集中趋势，故能说明该现象数量方面的一般水平。

（2）只有当总体单位数比较多，且标志值的分布具有明显的集中趋势时，众数的确定才有意义。

如果标志值的分布呈均匀分布，该数列无众数。

（3）当某种社会经济现象不可能或无必要全面登记出各单位标志值及各标志值出现的次数，来计算算术平均数时，可用最普遍出现的标志值，即众数来代替其一般水平。

3、众数的确定

（1）由单项数列来确定众数

在单项式数列情况下，确定众数比较简单，只需通过观察找出次数出现最多的那个标志值即可。

这里重点介绍根据组距数列如何确定众数

（2）由组距数列来计算众数

上面所提到的五种平均数——算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数、众数，都是用来反映客观现象在某个数量上所达到的一般水平，它们的含义和作用基本相同，但各个平均数又有各自的特点，所以在实际应用中应根据具体情况进行合理的选择。

算术平均数是应用最广泛的一种平均数，若无特殊情况，人们一般采用这种形式。

调和平均数只是算术平均数的转化形式，只有在掌握的原数据不能直接采用算术平均数时才利用这种形式，但离开这种方法仍然可以把算术平均数计算出来。

所以，这种平均数使用较少。

而且，它要求每个原数据值都不能为零。

几何平均数主要用于计算相对数（如比率、速度等）的平均数，所以凡遇此种场合就要采用几何平均数而不能采用算术平均数。

中位数和众数是平均数的补充形式，两者都是为避免原数据中极端值的影响而采用的方法，它们都不受每个原数据大小的影响，而只受位置和次数的影响。

另外，根据同一资料分别计算和确定五种平均数，得到的结果一般是不同的。

就算术平均数、调和平均数和几何平均数来说，算术平均数最大，几何平均数其次，调和平均数最小。

三、计算和应用统计平均指标应注意的问题

（一）注意社会经济现象的同质性

（二）注意用组平均数补充说明总平均数

（三）注意用分配数列来补充说明平均数

（四）把平均指标和具体情况结合起来分析

教学目标3标志变异指标

对于有些社会经济现象仅用平均指标反映其一般水平，进行不同时间、地点上的比较，有时还不够，还应结合标志差异指标来说明经济现象总体单位各标志值的变化情况。

一、标志变异指标的意义、作用和种类

（一）标志变异指标的意义

社会经济现象总体各单位某一标志值之间，客观上存在着各种各样的差异，平均指标把这种差异抽象化，反映的是该标志值达到的一般水平，说明的是总体标志值的集中趋势，却掩盖了其差异，有时这种差异可能很大，是不能被忽视的。

[例17]有甲、乙两个培训班，各有10名学员，其年龄（岁）形成的数列如下：

甲班19232935363744484960

乙班30373838383939404041

可以算出，甲乙两个班学员的平均年龄均为38岁。

从以上两数列可以看出，甲班、乙班学员的平均年龄无差异。

但从两班学员各自的年龄分布来看，明显看出乙班学员年龄的分布较均匀，甲班学员年龄的分布则具有高、低相差悬殊的特点。

从此例可看出，平均水平掩盖了总体内部各单位标志值的差异程度，所以，在分析实际问题时，除了要反映总体的一般水平外，还需要把总体内部各单位标志值之间的差异程度反映出来，即需用标志变异指标来反映这些问题。

标志变异指标又称标志变动度指标，它反映了总体各单位某数量标志值之间的差异程度，是度量统计分布离中趋势的综合指标。

它是说明总体标志值的变异、离散程度，评价平均指标的代表性的指标。

（二）标志变异指标的作用

1、可以衡量平均指标的代表性。

2、标志变异指标可以说明社会经济现象变动过程的均衡性、节奏性和稳定性。

3、标志变异指标的大小有助于确定必要的抽样数目

（三）标志变异指标的种类

标志变异指标按其功能一般可以分为以下两类：

1、反映总体各单位标志值变动范围的指标——全距。

2、反映总体各单位标志值对平均数离差程度的指标——平均差、标准差及标准差系数。

二、标志变异指标的计算

（一）全距

全距又称极差，它是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，用R表示，其公式表示为R=最大标志值—最小标志值

对于组距数列，全距可用最高组上限减最低组下限来求得。

在实际工作中应用十分广泛，如在工业企业的产品质量管理中、证券市场的行情分析中等都有广泛应用。

但当组距数列有开口组时，无法计算其全距，更重要的是由于它计算时只考虑了极端值，没有涉及到中间的标志值，故不能全面反映各单位标志值的变异程度。

（二）平均差

平均差是数列中各单位标志值与其平均数值之间绝对离差的算术平均数，这是反映各变量值平均离散程度的一个综合指标。

用符号“A.D”表示。

计算平均差的目的是测算各单位标志值与算术平均数离差的大小。

因为离差有正、有负，还可能是零，所以，为了避免加总过程中的正负抵消，计算平均差时要取离差的绝对值。

由于掌握的资料不同，平均差可以分为简单平均差和加权平均差。

1、简单平均差

如掌握的资料未分组时可用简单平均差来计算。

2、加权平均差

如果掌握的资料分组时，应采用加权平均法计算平均差，其计算公式为

从计算过程可知，平均差是根据全部变量值计算出来的，可以全面反映总体各单位标志值的变异程度，但由于其计算时涉及到绝对值，不能直接用代数方法处理，使用起来不方便，因此在统计分析中很少应用。

（三）标准差

标准差是总体各单位标志值对其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。

又称均方差

1、简单标准差

如掌握的资料未分组时可用简单标准差来计算，

2、加权标准差

如掌握的资料为分组资料时，可采用下面公式计算加权标准差

标准差就其统计意义来讲，与平均差基本相同，也是根据总体所有单位的标志值计算出来的，可以全面反映总体各单位标志值的变异程度。

由于它避免了绝对值的计算，在数学处理上比平均差更合理，也更优越。

所以在统计分析中，它是测定标志变异程度的最重要、最常用的指标。

（四）标准差系数

前面介绍的各种标志变异指标如全距、平均差、标准差等，其计量单位均与原有的标志值的计量单位相同。

这些标志变异指标的大小，不仅与标志的变异程度有关，也与原有标志值水平的大小有关，也就是说，同样大小的标志变异指标，对于不同水平的标志值组成的数列来说，所表示的意义是不同的。

标准差的重要特点是，不受计量单位和标志值水平的影响，消除了不同总体之间在计算单位、平均水平方面的不可比性。

学生练习：

一、请同学们对书中题库一中的第2、4、5、6、7、9题进行思考、自测。

二、请同学们对题库六实际应用计算题中的第1—5题及13、14题计算。

三、案例分析和讨论内容

1、阅读资料：

2000年我国民办教育的基本情况

2、要求：

（1）请你根据表4—６与表4—６的数据分析我国民办高教的发展与办学情况；请你查阅资料说明我国目前们民办高等教育的发展情况。

（2）请你解释表4—６计算平均值、标准差、离散度，它们是如何计算的。

（3）它们在经济现象中起到的作用及应用的条件为何？

提示：

离散度如果小于0.15，表明数据之间不存在着显著差别；如大于0.15小于0.5，存在显著差别；如大于0.5小于1，差别很大；如大於，表明数据之间差别极大。

参考资料

1、赵小平《中国股票市场统计分析.1990.12.19-1998.6.30（上下册）》中国财经出版社

2、国家旅游局《2002年中国旅游统计年鉴》中国旅游出版社2002-9

3、《新中国五十年统计统计资料汇编》中国统计出版社

4、李国岚《教育评价与统计》科学出版社

5、王德耀成品油油价波动对区域的宏观经济结构影响分析现代商业2012年6期

6、陈新应更加重视人均指标与结构指标——对福建省《关于进一步加快县域经济发展的若干意见》的思考福建行政学院学报2012年1期

7、王荣党平均数为何不是贫困线度量的一种方法中国统计2011年12期

8、欧阳培峰统计指标分类体系的完善宜春学院学报2011年12期

9、王东霞平均指标与标志变异指标的比较济源职业技术学院学报2011年1期

课后经验小结：

1、上课情况：

2、作业批改情况：

3、实验课情况：