高中数学同步题库含详解43平面向量基本定理及坐标表示.docx

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高中数学同步题库含详解43平面向量基本定理及坐标表示

高中数学同步题库含详解43平面向量基本定理及坐标表示

一、选择题（共40小题；共200分）

1.若，，则的坐标是

A.B.

C.D.

2.已知，点的坐标为，，则点的坐标为

A.B.C.D.

3.已知向量，，则等于

A.B.C.D.

4.已知点，，若向量，则实数

A.B.C.D.

5.若，，则

A.B.C.D.

6.已知平面向量，，则向量

A.平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线

7.设，，分别为的三边，，的中点，则

A.B.C.D.

8.已知，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是

A.，B.，

C.，D.，

9.已知，向量，则向量

A.B.C.D.

10.已知点，，则与向量同方向的单位向量是

A.B.C.D.

11.已知是的中线，，，以，为基底表示，则

A.B.C.D.

12.已知点，，向量，则向量

A.B.C.D.

13.已知向量，，则与

A.垂直B.不垂直也不平行

C.平行且同向D.平行且反向

14.已知向量，，则

A.B.C.D.

15.已知作用在点的三个力，，，则合力的终点坐标是

A.B.C.D.

16.设，分别为边，上的点，，．若，则的值为

A.B.C.D.

17.在中，，，记，，则

A.B.C.D.

18.已知向量，，若与共线，则实数

A.B.C.D.

19.在梯形中，，则等于

A.B.C.D.

20.若平面向量，，且，则

A.B.C.D.

21.在中，，若点满足，以与作为基底，则

A.B.C.D.

22.如图，正方形中，，分别是，的中点，若，则

A.B.C.D.

23.已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为

A.B.C.D.

24.若向量，，满足条件与共线，则的值为

A.B.C.D.

25.已知点，，是线段的中点，延长至点，使，则点的坐标为

A.B.C.D.

26.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为

A.B.C.D.

27.平面内给定三个向量，，，若则实数的值为

A.B.C.D.

28.已知和点满足．若存在实数使得成立，则

A.B.C.D.

29.已知点，，向量，则向量

A.B.C.D.

30.已知平面向量，，且，则实数的值等于

A.或B.或C.D.

31.在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则

A.B.C.D.

32.已知，，，则等于

A.B.C.D.

33.已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为

A.B.C.D.

34.已知，，三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，，则直线一定过的

A.重心B.垂心C.外心D.内心

35.已知向量，，．若为实数，，则等于

A.B.C.D.

36.已知平行四边形中，，，对角线与交于点，则的坐标为

A.B.C.D.

37.设，，分别为三边，，的中点，则

A.B.C.D.

38.如图，在中，，分别是，的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是

A.B.C.D.

39.如图所示，两射线与交于，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内（不含边界）

①；②；③；④．

A.①②B.①②④C.①②③D.③④

40.点，分别在的边，上，且，，与交于点，设，，若，则

A.B.C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.若平面向量，满足，平行于轴，，则 ．

42.如果向量的终点为原点，那么这个向量的始点的坐标是 ．

43.在平行四边形中，为一条对角线，若，，则 ．

44.如图，已知是坐标原点，点在第一象限，，，则向量的坐标为 ．

45.设，，，，求与的坐标分别为 ．

46.在平面直角坐标系中，已知向量，向量，那么向量的坐标为 ．

47.在中，点在上，且，是的中点，若，，则 ．

48.已知点，，向量，那么向量 ．

49.已知点，，向量，若与向量相等，则实数 ．

50.如图，在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则 ．

51.已知三个向量，，，且、、三点共线，则 ．

52.在矩形中，是对角线的交点，若，，则 ．

53.若向量，，且，则锐角的余弦值为 ．

54.已知两点，，则与向量反向的单位向量的坐标是 ．

55.设向量，是平面内的一组基底，，是实数，若，则实数 ， ．

56.已知向量，，若，则 ．

57.如图，在中，点，满足，．若，则实数 ， ．

58.若点在内部且满足，则的面积与凹四边形的面积之比为 ．

59.若，向量，，且，则 ．

60.在平行四边形中，为一条对角线，，，则向量的坐标为 ．

61.若的三边中点分别为，，，则的重心坐标为 ．

62.已知，，，四点的坐标分别为，，，，那么四边形的形状是 ．

63.如图，在中，已知，延长到点，使，若，则的值为 ．

64.如图，在正方形中，点，分别是，的中点，那么 ．（用，表示）

65.如图，已知，，，点在内，且．设，则 ．

66.已知在四边形中，，，为的中点，则 ．（用，表示）

67.设，，，其中，，，均为实数，且，，若，，三点共线，则 ．

68.已知向量，，若向量与向量共线，则实数 ．

69.已知向量，，那么 ．

70.在中，已知是边上一点，若，，则 ．

71.已知向量，，，且，，三点共线，那么实数 ．

72.已知向量，，若，则 ．

73.在中，，若，则 ．

74.若向量，，且，则 ．

75.已知在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点，不重合），若，则实数的取值范围是 ．

76.如图，在四边形中，，，为的中点，若，则 ．

77.已知向量，，且，那么 ．

78.已知向量，，那么与分别为 ．

79.已知向量，，．若与共线，则实数 ．

80.如图所示，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于时，的坐标为 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.已知，点的坐标为，，，求以点为终点的位置向量的坐标．

82.已知，．

（1）当为何值时，与共线?

（2）若，且，，三点共线，求的值．

83.已知点，，的坐标分别为，，，且．

（1）当分别为何值时，点在轴上?

点在轴上?

点在第二象限?

（2）四边形能否为平行四边形?

若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．

84.已知点，，，若（），则当为何值时，点在第三象限?

85.已知、、三点的坐标分别为、、，，．

（1）求点，及向量的坐标

（2）求证：

．

86.如图，在平行四边形中，是的中点，是对角线上的点，且，设，，试用，分别表示，．

87.已知点，，点在第二象限，且，，则 ．

88.如图所示，在四边形中，已知，，，，求直线与的交点的坐标．

89.在中，，是上的一点，若，求实数的值．

90.已知平面上三个点的坐标分别为，，，求点的坐标，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．

91.如图，在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，记，，求的值．

92.如图，在中，，，与相交于点，设，．试用和表示向量．

93.已知点，，及向量．

（1）当分别为何值时，点在轴上?

点在轴上?

点在第二象限?

（2），，，四点能否构成平行四边形?

若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．

94.已知向量，，．求的最小值及相应的值．

95.如图，四边形为平行四边形，为对角线，的交点，向量，．又，，试用，表示，，．

96.平面上有，，三点，点在直线上，且，连接，点在上，且．求点的坐标．

97.在直角坐标系内，，点在直线上且，求出的坐标．

98.已知点是的重心，是边的中点．

（1）求；

（2）若过的重心，且，，，，求证：

．

99.如图，已知点，，，求以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

100.在平面直角从标系中，设，，．

（1）求使得点在函数的图象上的的值．

（2）以，，，为顶点的四边形能否成为平行四边形?

若能，求出相应的的值；若不能，请说明理由．

答案

第一部分

1.A2.D3.D4.A5.B

6.C【解析】平面向量，，则向量．

7.A【解析】设，，则，．

从而．

8.C【解析】因为，从而与共线．

9.A10.A

【解析】已知点，，则，故与其同方向的单位向量为．

11.B【解析】如图，是的中线，则为线段的中点，从而，即，从而．

12.C13.D14.B【解析】，，

则

．

15.B

【解析】因为，

所以终点坐标是．

16.B【解析】解法一：

用坐标法

解法二：

，

又因为，，三点共线，

所以，即．

17.A【解析】

由

18.A【解析】向量，，则，；又与共线，所以，解得．

19.D20.B

【解析】平面向量，，且，

可得，

解得．

21.A【解析】因为，所以，

所以，所以．

22.D【解析】以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：

设正方形边长为，则，，，

因为，

所以

解得

所以．

23.B【解析】方法一：

如图，

设，，则，，，，

所以

方法二：

建立如图所示的直角坐标系，

则，，，．

设，则，．

因为，

所以．

所以，，

所以．

24.B25.C

【解析】由已知，得．

又因为，

所以．

设点的坐标为，

则有，

解得

所以点的坐标为．

26.A【解析】因为，，

所以．

设，得，

所以且，解得，．

27.C28.B【解析】由知，点为的重心，设为边的中点，则，所以有，故．

29.A【解析】由已知点，，得到，向量，

则向量；

30.B

31.B32.B【解析】设，

所以，

所以

所以

所以．

33.C34.A【解析】如图，取的中点并连接，

则，，

因为，，

所以，即，，三点共线，

又因为为边上的中线，

所以直线一定过的重心．

35.B

【解析】因为，，且，

所以，所以．

36.D【解析】因为，所以，所以．

37.D38.C【解析】若在线段上，设，

则有，

所以，

由于，

则，，

故有，

若在线段上，设，

则有，

故，时，最小值为，当，时，最大值为，

故范围为，

由于在中，，分别是，的中点，

则，

则，，

故有，当，时有最小值，当，时，有最大值，

故范围为，

若在阴影部分内（含边界），则．

39.A【解析】依题意，在题中的阴影区域内任取点，连接交于点，

则有，其中，，

注意到；

注意到，，，．

40.D

【解析】本题考查平面向量在几何中的应用．据已知得，由于点在直线上，故必有；同理，

由点在直线上，故必有，两式联立解得，，故．

第二部分

41.或

【解析】由已知得或，

因为，

所以或．

42.

【解析】设始点的坐标为，

则，则

43.

【解析】因为，

所以，

所以．

44.

【解析】设点，则，

，

即，所以．

45.；

【解析】由已知，，

因为，

，

又，，

所以，的坐标分别是，．

46.

【解析】．

47.

【解析】

48.

【解析】因为，

所以．

49.

【解析】因为，，

所以解得

所以．

50.

【解析】连接，

因为，，三点共线，

所以可以设，且，，

所以，

根据条件易知，

所以，，

所以，，所以．

51.或

【解析】由、、三点共线，可得（为实数），即，

所以解得或．

52.

【解析】因为四边形是矩形，是其对角线的交点，

所以是的中点，且．

又，

所以．

所以．

53.

【解析】由题意得．

因为为锐角，所以．

54.

【解析】因为，

所以．

55.，

【解析】因为，是平面内的一组基底，

所以与不共线，

所以

解得

56.

【解析】因为，

所以

所以

所以．

57.，

【解析】

所以，．

58.

【解析】如图，作向量，，以，为邻边作平行四边形，

根据平行四边形法则可知，即．

由已知，

所以．

因为是的中位线，

所以，

则线段，的长度之比为，从而，的长度之比为，

所以与都以为底，对应高之比为，

所以与的面积比为，

故的面积与凹四边形的面积之比是．

59.

【解析】由题意得，

所以解得所以．

60.

【解析】因为，所以，

所以．

61.

【解析】先求出，，三点坐标，构造出一条中线所在的向量，根据重心在中线的处，从而求得．

62.等腰梯形

【解析】因为，，

所以，故与共线，即，

所以．

因为，，且，

所以不平行于，且，

所以四边形是等腰梯形．

63.

【解析】由题意可知，是的中点，故，即，所以，，则．

64.

【解析】在中，有．

因为点为的中点，所以，

因为为的中点，所以，

所以

65.

【解析】设，则，

所以

所以．又，所以．

66.

【解析】因为，

所以

67.

【解析】因为，，三点共线，

所以存在实数，

使得，

即，

所以．

因为，不共线，

所以

所以．

68.

【解析】，故，解得．

69.

【解析】由题意得．

70.

【解析】如图，

且．

得，

所以，

故．

71.

【解析】由题设知，

则，

即，

所以，

解得．

72.

【解析】因为，

所以，

所以，即，

所以．

73.

【解析】因为，

又，所以，所以，，则．

74.

【解析】因为且，

所以，

解得，

所以．

75.

【解析】设，

则

因为，点在线段上（与点，不重合），

所以．

又，

所以，

所以．

76.

【解析】因为

，

所以

，

所以，，则．

77.

【解析】由，知，则，则．

78.，

【解析】因为，，

解得，．

79.

【解析】，

由与共线，有，可得．

80.

第三部分

81.．

因为，

所以．

所以以点为终点的位置向量的坐标为．

82.

（1），

，

因为与共线，

所以，

即，得．

（2）因为，，三点共线，

所以，

即，

所以

所以．

83.

（1）．

当时，点在轴上．

当时，点在轴上．

当时，点在第二象限．

（2），．

假设，则无解．

，，

则与不行平．

故四边形不可能为平行四边形．

84.设，则．

又因为，

所以，即所以

因为点在第三象限，所以所以．

85.

（1）设，．

，

，

，

．

由，得解得；

由，得解得，

由此，．

（2），．

因为，

所以．

86.因为是的中点，

所以

所以

因为，

所以

所以

87.

88.设，则，，，．

由，，三点共线可得．

又因为，且与共线，

所以．

解得．

所以，

所以点的坐标为．

89.如图，

设，

则

因为，

所以解得．

90.由四边形为平行四边形，，可解得．

由四边形为平行四边形，，可解得．

由四边形为平行四边形，，可解得．

因此，，，，四点构成平行四边形的点的坐标是，或．

91.由题意知．

而，，三点共线，故设，即，

所以，

显然，不共线，故有

所以，即．

92.设，则，

．

因为，，三点共线，

所以与共线，

所以存在实数，使得，

即．

所以消去，得，

即

因为，

，

又，，三点共线，

所以与共线．

所以存在实数，使得，

所以，

所以

消去，得

由得，，

所以．

93.

（1）．

①若点在轴上，则，解得；

②若点在轴上，则，解得；

③若点在第二象限，则解得．

（2），即．

所以，故，共线，故，，，四点不能构成平行四边形．

94.因为，，

当且仅当时取等号．

即的最小值为，此时．

95.

，

．

96.因为，

所以

所以，

所以．

设点坐标为，

则，

所以，．

所以点坐标为．

因为，

所以，

所以，

所以．

设点坐标为，

则，

所以

所以

所以点坐标为．

97.分析条件知点在线段上，或在线段的延长线上，如图所示．

当在线段上时，．

设，则由定比分点公式，得

，

，即．

当在线段延长线上时，．

设，则由定比分点公式，得

，

，即．

98.

（1）由题意得，，

所以．

（2）显然．

因为点是的重心，

所以．

由，，三点共线，得，

所以有且只有一个实数，使得．

而

所以．

又因为，不共线，

所以

消去，整理得，故．

99.以，，为顶点的平行四边形可以有三种情：

平行四边形；平行四边形；平行四边形．

设的坐标为．

①若是平行四边形，则由，

得，

即，

所以

所以，，

所以点的坐标为（如图中所示的）．

②若是平行四边形，则由，

得，

即，

解得，，

所以点的坐标为（如图中所示的）．

③若是平行四边形，则由，

得，

即，

解得，，

所以点的坐标为（如图中所示的）.

所以以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为或或．

100.

（1）设．

依题意，有，

所以

解得或．

（2）能．

设，

依题意，有，

所以

①在平行四边形中，，即，

所以