2019高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件课件 新人教A版选修2-1.ppt
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,第一章常用逻辑用语,1.2充分条件与必要条件,学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一充分条件与必要条件,
(1)“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作pq,并且说p是q的条件,q是p的_条件.
(2)若pq,但qp,称p是q的条件,若qp,但pq,称p是q的条件.,充分,必要,充分不必要,必要不充分,知识点二充要条件,思考在ABC中,角A,B,C为它的三个内角,则“A,B,C成等差数列”是“B60”的什么条件?
答案因为A,B,C成等差数列,故2BAC,又因为ABC180,故B60,反之,亦成立,故“A,B,C成等差数列”是“B60”的充要条件.,梳理
(1)一般地,如果既有pq,又有qp,就记作pq,此时,我们说,p是q的条件,简称充要条件.
(2)充要条件的实质是原命题“若p,则q”和其逆命题“若q,则p”均为真命题,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果pq,那么p与q互为充要条件.,充分必要,(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.,其中p:
Ax|p(x)成立,q:
Bx|q(x)成立.,思考辨析判断正误
(1)q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()
(2)若p是q的充要条件,则p和q是两个相互等价的命题.()(3)q不是p的必要条件时,“pq”成立.(),题型探究,例1下列各题中,试分别指出p是q的什么条件.
(1)p:
两个三角形相似,q:
两个三角形全等;,类型一充分条件、必要条件、充要条件的判定,解答,
(2)p:
一个四边形是矩形,q:
四边形的对角线相等;,解两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等两个三角形相似,p是q的必要不充分条件.,解矩形的对角线相等,pq,而对角线相等的四边形不一定是矩形,qp,p是q的充分不必要条件.,(3)p:
AB,q:
ABA;,解答,(4)p:
ab,q:
acbc.,解pq,且qp,p既是q的充分条件,又是q的必要条件.,解pq,且qp,p是q的既不充分也不必要条件.,反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
确定谁是条件,谁是结论;尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件;尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.,
(2)命题判断法:
如果命题:
“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;如果命题:
“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.,跟踪训练1指出下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:
ax2ax10的解集是R,q:
0a4;,解答,解当a0时,10满足题意;,故p是q的必要不充分条件.,解易知p:
1x5,q:
1x5,所以p是q的充要条件.,(3)p:
ABA,q:
ABB;,解答,解因为ABAABB,所以p是q的充要条件.,解答,所以qp,所以p是q的充分不必要条件.,类型二充要条件的探求与证明,命题角度1充要条件的探求例2求ax22x10至少有一个负实根的充要条件是什么?
解答,
(2)当a0时,ax22x10为一元二次方程,它有实根的充要条件是0,即44a0,a1.,综上所述,ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.,反思与感悟探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明“条件结论”和“结论条件”,也可以寻求结论的等价命题,还可以先寻求结论成立的必要条件,再证明它也是其充分条件.,解答,跟踪训练2已知数列an的前n项和Sn(n1)2t(t为常数),试问t1是否为数列an是等差数列的充要条件?
请说明理由.,解是充要条件.(充分性)当t1时,Sn(n1)21n22n.a1S13,当n2时,anSnSn12n1.又a13适合上式,an2n1(nN*),又an1an2(常数),数列an是以3为首项,2为公差的等差数列.故t1是an为等差数列的充分条件.,(必要性)an为等差数列,则2a2a1a3,解得t1,故t1是an为等差数列的必要条件.综上,t1是数列an为等差数列的充要条件.,命题角度2充要条件的证明例3求证:
一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,证明,证明充分性(由ac0推证方程有一正根和一负根),ac0,一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac0,原方程一定有两不等实根,,原方程的两根异号,即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根.,必要性(由方程有一正根和一负根推证ac0),一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根,不妨设为x1,x2,,此时b24ac0,满足原方程有两个不等实根.综上可知,一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,反思与感悟对于充要条件性命题证明,需要从充分性和必要性两个方面进行证明,需要分清条件和结论.,证明,跟踪训练3求证:
方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.,证明必要性:
若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,,解得k2.,充分性:
当k2时,(2k1)24k214k0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1,x2.则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10,x110,x210,x11,x21.综上可知,方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.,例4设命题p:
x(x3)0,命题q:
2x3m,已知p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为_.,类型三利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围),解析p:
x(x3)0,即0x3;,由题意知pq,qp,则在数轴上表示不等式如图所示,,即实数m的取值范围为3,).,3,),答案,解析,q:
2x3m,,反思与感悟在有些含参数的充要条件问题中,要注意将条件p和q转化为集合,从而转化为两集合之间的子集关系,再转化为不等式(或方程),从而求得参数的取值范围.根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
(1)记集合Mx|p(x),Nx|q(x);
(2)若p是q的充分不必要条件,则MN,若p是q的必要不充分条件,则NM,若p是q的充要条件,则MN;(3)根据集合的关系列不等式(组);(4)求出参数的范围.,跟踪训练4,记命题p:
“yA”,命题q:
“yB”,若p是q的必要不充分条件,则,解析由题意知A(0,1),,m的取值范围为_.,依题意,得BA,,答案,解析,达标检测,答案,解析,1.“x0”是“x2x0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,解析由x2x0x1或x0,由此判断A符合要求.,答案,解析,2.若a,b,c是实数,则“ac0”是“不等式ax2bxc0有解”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,解析由ac0,得方程ax2bxc0的判别式b24ac0,则方程ax2bxc0一定有实数解,此时不等式ax2bxc0有解;反过来,由不等式ax2bxc0有解不能得出ac0,例如,当abc1时,不等式ax2bxc0,,此时ac10.故选B.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.“关于x的不等式x22axa0,xR恒成立”的一个必要不充分条件是,解析当关于x的不等式x22axa0,xR恒成立时,应有4a24a0,解得0a1.所以一个必要不充分条件是0a1.,A.0a1B.0a1,D.a1或a0,1,2,3,4,5,答案,解析,4.设p:
1x4,q:
xm,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是_.(用区间表示),4,),1,2,3,4,5,解析因为p为q的充分条件,所以1,4)(,m),得m4.,5.设p:
|x|1,q:
x2或x1,则q是p的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”),解析由已知,得p:
x1或x1,则q是p的充分不必要条件.,1,2,3,4,5,充分不必要,答案,解析,充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,常采用如下方法
(1)定义法:
分清条件p和结论q,然后判断“pq”及“qp”的真假,根据定义下结论.
(2)等价法:
将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.(3)集合法:
写出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x),利用集合之间的包含关系加以判断.,规律与方法,