小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解.docx

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小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解

任意四边形、梯形与相似模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例尖系（“蝴蝶定理”）：

①Si:

S2S4：

S3或者3S3S2S4

②AO:

OCSS2：

S4S3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积矢系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例矢系。

【例1】（小数报竞赛活动试题）如图'某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线ACBD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，4BOC面积为2平方千米，△COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是

6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

ABCD的面积是1231.57.5平

【分析】根据蝴蝶定理求得aod3121.5平方千米，公园四边形

方千米，所以人工湖的面积是

7.56.920.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成求：

（1）三角形BGC的面积；⑵

D

4个三角形，其中三个三角形的面积已知,AG:

GC?

【解析】⑴根据蝴蝶定理，SVBGC,23,那么SVBGC6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:

GC12:

36

【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）。

如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的I,且AO2，DO3，那么Co的长度是DO的长度的倍。

3

【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：

⑴利用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

看到题目中给出条件SVABD:

S/bcd1:

3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。

又观察题目中给出的已知条件是面积的矢系，转化为边的矢系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。

再应用结论：

三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。

请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

解法一：

•・∙AO:

OCSABD：

SBDC1：

3,

∙∙∙OC236,

∙∙∙OC:

OD6:

32:

1・

解法二：

作AHBD于H,CGBD于G・

IS

■SABDSBCD,

3】CG,

3

•OC

•0C:

OD6:

32:

1•

【例3］如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，ACEF、∆OEF、∆ODF、∆BOE的面积依次是2、

4、4和6。

求：

⑴求AOCF的面积；

（2）求AGCE的面积。

【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为244616，那么△BCO和CDo的面积都是1628,所以△OCF的面积为844；

⑵由于4BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以AOCE的面积为862,

根据蝴蝶定理'EG:

FGSCoe:

SCoF2:

41:

2，所以SGCE:

SGCFEG:

FGI:

2,

112

那E么SGCESCEF—2-・

1233

【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

面积分别是6公顷和7公顷。

那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?

【解析】连接AD、CD、BC。

21公顷SVADE=-3918公顷。

67

4

ABD的面积为：

2—1

2

【例6]（2007年人大附中考题）如图‘边长为1的正方形ABCD中，BE2EC,CFFD，求三角形AEG的面积.

【解析】连接

EF・

因为

BE2EC,CFFD

所以SDEF（23

11

）Swabcd

1

212

因为

SAED

SWABCD，根据蝴蝶定理，O

AG:

GF

_丄6:

1,

所以

SAGD

6SGDF^ADF

SWABCDSAAlBCD•

74

14

所以

SAGE

SAEDSAGD

SWABCD

SWABCD

SWABCD

2

14

7

即三角形AEG的面积是⑷

SWABCD

7

三角形DFG的面积为2平方厘米，求长

【例如图，长方形ABCD中，BE:

EC2:

3DF:

FCl:

27】方形ABCD的面积.

【解析】

连接AE，FE・

因为BE:

EC2:

3,DF:

FC1:

2,所以SVDEF（5

、111

因为S/aedS长方形Abcd,AG:

GF2Ib5U,所以

2

11

）S氏方形ABCDS长方形ABCD

210

S/AGD5SVGDF10平方厘米'所以SAFD12平

【例8】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，形BDG的面积.

ABCD的面积是72平方厘米.

E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角

【解析】设BD与CE的交点为0琏接BEDF•

-SWABCD,

2

由蝴蝶定理可知EO:

OCs∕BED:

s∕BCD，而S/BED—SWXBCD,S∕βCD

4

1

所以EO:

0CS/bed:

SVBCD1:

2故EOEC•

1

方厘米・因为S/AFD—S长方形ABCD，所以长方形

6

1

由于F为CE中点，所以EF-EC，故EO:

EF2:

3,FO:

EO1:

2.

1

SAABCD,

8

21

由蝴蝶定理可知S/bfd:

S/bedFO:

EO1:

2»所以SVBFDS/bed

2

111、

那么S/BGDS/BFDSWABCD10106.25（平方厘米）・

21616

【例9］如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和

BON的面积分别是3、2、1,贝UMNC的面积是.

【解析】这道题给岀的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.

根据蝴蝶定理得SMONg沖SAOB

设SMONX，根据共边定理我们可以得

【例10】（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形AiA2AaA4AsAe的面积是2009平方厘米，BiB2B3B4BsB6分别

是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.

【解析】如图，设Be"与BlA3的交点为O,则图中空白部分由6个与A2OA3-样大小的三角形组成，只要求

出了A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.

连接氏A、BeBi、BβA3.

设AlBlB6的面积为”1“，则BiA2B6面积为”V，AAzBe面积为”2“，那么AeAsBe面积为AAaBe

的2倍，为”4“，梯形AiA2A3Ae的面积为224212,A2BeAa的面积为”6“，B&2A的

面积为2.

根据蝴蝶定理，

612

BOA30SB1A2B6:

SA3A2B6ι:

6，故SAt0A3,SBA,A3

121

所以SgjS弟形AA2AA号：

12：

1：

7，即＞40/43的面积为梯形AAAA面积的寸,故为六边形

113

AA丛必丛5人6面积的丄，那么空白部分的面积为正六边形面积的丄6・，所以阴影部分面积为

14147

3

200911148（平方厘米）・

7

板块二梯形模型的应用

梯形中比例矢系（“梯形蝴蝶定理”）

1S√S3a2:

b2

22

2Si：

S3：

S?

:

S4a:

b:

ab:

ab；

3S的对应份数为ab.

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间矢系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在

题目中有事半功倍的效果.

（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）

【例11】如图'S22,Ss4，求梯形的面积.

【解析】设O为昭份，S3为呼份，根据梯形蝴蝶定理，S34浒，所以b2;又因为S22ab＞所以

a1;那么Sa21,S4ab2，所以梯形面积SSiS2SaS412429，或者根

22

据梯形蝴蝶定理，Sab129.

【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC,BD交于O,已

知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是

平方厘米.

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SVAOB:

SVBOCa2：

ab25:

35,可得a：

b5:

7,再根据梯形蝴蝶定理，

SVAOB:

SVDoCa2:

b252:

7225:

49,所以S/doc49（平方厘米）.那么梯形ABCD的面积为

25353549144（平方厘米）.

【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角

2

形BOC面积的・，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SVAoB:

SVBoCab:

b22:

3，可以求出a：

b2:

3,

2222

再根据梯形蝴蝶定理，SVAoD:

SVBOCa:

b2:

34:

9.

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行

构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.

AC和BD交于0点，已知Aol,并且

【例13】（第十届华杯赛）如下图，四边形ABCD中，对角线三角形ABD的面积3,那么OC的长是多少？

三角形CBD的面积5

【巩固加图，梯形ABCD中,

AOBSCOD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积.

【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH

的面积是23‘求四边形EGFH的面积.

【解析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面

积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是112334.

【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2

【解析】做辅助线如下：

利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角

形3,所以1的面积就是3616,3的面积就是3620.

【例16】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点•求图中阴影部分的面积.

23份,

【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:

BC1:

2，根据梯形蝴蝶定理可以知道

AMG:

ABG:

MCG:

SλBCG1iC'2）：

C12）:

2I=2:

2:

4'设AGM

所以正方形的面积为1224312份，S阴影224份‘所以S阴影：

S正方形r所以S阴妳平方厘米.

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.

【解析】连接DE,根据题意可知BE:

ADl：

2,根据蝴蝶定理得Sw（12）29（平方厘米），,ecd3（平方厘米）'那么SWABCD12（平方厘米）.

【例17】

如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是De边上的三等分点，求阴影部分的面积.

【例19】（2008年”奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形，BC:

CE3：

2,三角形ODE的

面积为6平方厘米・则阴影部分的面积是平方厘米.

ADAD

【解析】连接AC.

由于ABCD是平行四边形，BC:

CE3:

2，所以CE:

AD2:

3,

根据梯形蝴蝶定理'SVCOE:

SVAOC:

SVDOE:

SVAOD2：

23：

23：

34:

6:

6:

9，所以SVAOC6（平方厘米）,SVAOD9

（平方厘米），又SVABCSVACD6915（平方厘米），阴影部分面积为61521（平

方厘米）.

（单位：

平方厘米），阴影部

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示分的面积是平方厘米.

【分析】连接AE.

由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCDSOAE.根据蝴蝶定理，SOCDSOAESOCESOAD4936,故SOCD36,

所以SOCD6（平方厘米）・

（单

【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示位：

平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.

【解析】连接AE・

由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCDSOAE・

根据蝴蝶定理'SOCDSOAESOCESOAD2816,故SOCDN>所以SOCD4（平方厘米）•

11

另解：

在平行四边形ABED中^ADE-SYABED-I6812（平方厘米）'

22

所以SAOESADESAOD1284（平方厘米）,

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244（平方厘米）・

CED的面积是

【例20]如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，

10平方厘米・问：

四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

【分析】连接BF,根据梯形模型，可知三角形

BEF的面积和三角形DEe的面积相等，即其面积也是10平

方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为1010520（平方厘米），所以长方形的面积为

201060（平方厘米）•四边形ABEF的面积为605102025（平方厘米）.

CED的面积是6平

【巩固】如图所示，BD>CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方厘米，方厘米・问：

四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

2

6-9（平方厘米）・则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为15230（平方厘米）・四

3

边形ABEF的面积为3046911（平方厘米）・

【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB

的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？

【解析】因为连接ED知道△ABo和厶EDO的面积相等即为54，又因为OD：

OB=16:

9,所以△AOD的面积为5491696，根据四边形的对角线性质知道：

ZABEO的面积为：

54549630.375,所以四

边形OECD的面积为：

549630.375119.625（平方厘米）.

【例21】（2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的

面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.

【解析】连接DE、CF・四边形EDCF为梯形，所以SEODSv-又根据蝴蝶定理，

SEODSFOCSEOFSCOD,所以SEODSFOCSEOFSCOD2816»所以SEOD4（平方厘米）'

SECD4812（平方厘米）•那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289（平方厘米）・

【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的

长是9.那么四边形OECD的面积是・

所以SOECDSVBDCSVBOESVABDSVBOE5496

解法一：

由于SVAOD:

SVAOBOD:

OBI6:

9'所以SVAOD54・

96‘而SVDOESVAOB54'根据

9

蝴蝶定理，

SVBOE

SVAOD

SVAOB

SVDOE,

所以SVBOE

54

5496

所以SOECD

SVBDC

SVBOE

SVABD

SVBOE

5496

30

5

119.

88

30-,

8

【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和

11

ACK的面积是相等的.而AK:

KB1:

3，所以ACK的面积是ABC面积的，那么BDK

134

1

的面积也是ABC面积的・.

4

由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.

那么BDK的面积为48

ADE面积是1.8,ABF的面积是9,BCF的面积是27.那么阴

88

183

【解析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把

六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积

ABC由①〜⑥这6部分

【例26】如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点•三角形

【解析】因为E是DC中点，F为AC中点，有AD2FE且平行于AD，则四边形ADEF为梯形.在梯形

ADEF中有③=④，②X⑤二③X④，②：

⑤=AD?

:

FE2=4.X已知②•⑤=6,所以⑤=6（41）2,

②=⑤48，所以②X⑤=④X④=16，而③=④，所以③=@=4,梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为844218•有VCEF与VADC的面积比为CE平方与CD平方的比，

444

即为1：

4.所以VADC面积为梯形ADEF面积的一一，即为18・24.因为D是BC中点，所以

4-133

VABD与VADC的面积相等，而VABC的面积为VABD、VADC的面积和，即为242448平方厘米•三角形ABC的面积为48平方厘米.

【例27】如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在

分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为

【解析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况.

解法一：

取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5,

因此空白处的总面积为61.5242222阴影部分的面积为662214・

解法二：

连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2,下底都为6,

上底、下底之比为2：

61:

3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为12：

1

3:

13:

321:

3:

3:

9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的一'阴影部分的面

16

积占该梯形面积的一，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的・，那么阴影部分的面积为

1616

722

（62）14•

16

【例28】如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD±,且CE2BE,CF2DF,连接BF、

DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为

S‘正方形PCNG的面积为S2‘则SI:

S2

【解析】连接BD、EF・设正方形ABCD边长为3，则CECF2,BEDFl，所以，EF222228,

由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以CN

22

所以AM:

CNDN：

CN3:

2»则S:

3AM:

CN9:

4.

【例29】如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD2AB，点E、F分别是AD和BC的中点,已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米.

【解析】连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间

设梯形ABCD的上底为a,总面积为S•则下底为2a,EFa2aa.

所以AB,EFa：

3a2:

3,EF:

DC-a:

2a3:

4.'■22

由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以

【例30】（2006年“迎春杯”高年级组决赛）下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F

H分别是AB,BC,CD,DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简

分数…那么，（mn）的值等于

FC

【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面

积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.

如下图所示，在左图中连接EG•设AG与DE的交点为M.

1

左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的・，所以三角形AMD的面积为

4

又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为

如上图所示‘在右图中连接AC、EF.设AF、EC的交点为N.

可知EF//AC且AC2EF•那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的.，所以l≡角形BEF的

4

面积为121-,梯形AEFC的面积为-・

248288

在梯形AEFC中，由于EF:

ACl:

2,根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：

22311

12：

12:

12:

221:

2:

2:

4,所以三角形EFN的面积为彳，丄，那么四边形BENF的

8122424

111

面积为丄丄丄•而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为

ΛOAQ

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为知S?

，即HlI,

那么ITln325o