数学人教版八年级上册将军饮马问题教学设计.docx

数学人教版八年级上册将军饮马问题教学设计.docx

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数学人教版八年级上册将军饮马问题教学设计

将军饮马问题

常德市十三中李永祥

一、教学内容

初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.

本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。

二、教学目标解析

[教学目标]

能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.

[目标解析]

达成目标的标志是：

学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想.

[教学重点]

利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.

三、学生学情诊断

最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.

解答：

“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到.

在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.

教学时，教师可以让学生首先思考“直线l的异侧的两点，与l上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用，因此确定本节课的教学难点为：

[教学难点]

如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

四、教学策略分析

建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”

根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.

教师的教法：

突出解题方法的引导与启发，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学课堂趣味性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生学习兴趣与激情.

学生的学法：

突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.

五、教学基本流程

探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考

六、教学过程设计

（一）探索新知

1、建立模型

问题1唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？

师生活动：

将A、B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线

追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？

师生活动：

学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：

（1）行走的路线：

从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；

（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线l上的一个动点，上面的问题转化为：

当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小

［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.

2、解决问题

问题3如图点A、B在直线的异侧，点C位直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

师生活动：

让学生独立思考、画图分析，并展示

如果学生有困难，教师作如下提示：

（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

由此受到什么启发呢？

（2）如图，如何将点B“移”到l的另一侧B´处，且满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？

学生在老师的启发引导下，完成作图.

［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.

3、证明“最短”

问题3，为什么这种作法是正确的呢？

你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？

师生活动：

分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.

证明：

如图，在直线l上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.

由轴对称的性质可知：

BC=B´CBC´.=B´C´

∴AC+BC=AC+B´C=AB´

AC´+BC´=AC´+B´C´

当C´与C不重合时

AB´＜AC´+C´B´

∴AC+BC＜AC´+C´B

当C´与C重合时

AC+BC=AC´+C´B

总之，AC+BC≤AC´+C´B

即AC+BC最短

［设计意图］利用现代信息技术，通过移动点C´的位置，可发现：

当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，AC+BC=AC´+C´B.让学生很容易知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会作法的正确性，提高了逻辑思维能力.

4、小结新知

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？

体现了什么数学思想？

师生活动：

学生回答，并相互补充.

［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备.

（二）运用新知

如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.

师生活动：

分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.

［设计意图］对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与实践能力，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望.

（三）拓展新知

已知：

P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？

师生活动：

1、老师首先解释三角形周长最短的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：

（1）要使释三角形周长最短最短，实际上是使几条线段之和最短？

（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.

2、分组讨论，师生共同分析.

3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.

［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得.教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.

（四）提炼新知

师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

1、本节课研究问题的过程是什么？

2、解决上述问题运用了什么知识？

3、在解决问题的过程运用了什么方法？

4、运用上述方法的目的是什么？

体现了什么样的数学思想？

［设计意图］引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结，让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.

（五）课外思考

［设计意图］通过一系列的“将军饮马问题”的变式设计，由浅入深，环环相扣，不但培养了学生喜欢动脑，敢于提问，勇于探索的求学精神，同时培养学生的问题意识，通过最后这一问题的设计，让学有余力的学生解答，它不仅能巩固知识，形成技能，同时激发了学生的求知欲望与勇于探究的精神.同时，也是由课内向课外的一种延伸，预示着问题并没有终结，培养学生具有终身学习的意识与创新精神！