今后我们可以看
到，为保证系统稳定，有n≥m的要求。
这里我们仅讨论n＞m的情况。
由定义可知，δ（t）及其各阶导数在t＞0时都为零，于是h（t）的形式应与齐次解的形式相
同，不包含特解。
若系统的特征方程共有n个非重根，则
h（t）=（
n
∑
k=1
αkt
Ake）u（t）
（2-11）
这说明δ（t）的加入，在t＝0时刻引起了系统储能的变化，而在t＞0以后，外部激励将不
存在，这样只有冲激信号引起的系统储能起作用，所以h（t）必然与齐次解形式相同。
剩下的问题是确定系数Ak
。
由于系统的起始状态为零，即
h（0−）=h'（0−）="=h（n−1）（0−）=0，我们可以利用2.1节所述的奇异函数平衡法来求出初始条件
k
h（0+）、h'（0+）"h（n−1）（0+），从而代入式（2-11）来确定系数A。
但这种方法求解过程比较麻烦，
容易引起错误。
现在，我们再介绍一种确定Ak的方法，即将h（t）的表达式（2-11）及h（t）的各阶
导数代入微分方程，使方程两端奇异函数的系数相匹配，从而求出Ak，下面将举例说明。
例2-10系统的微分方程为
2
（L2−M2）di2（t）+2RLdi2（t）+R2i（t）=Mdu（t）
dt2
dt2dt
试求其冲激响应。
解
首先求其特征根为
RR
于是有
α1=−,
1
2
L+M
α2=−
L−M
对h（t）逐次求导得到
h（t）=（Aeα1t
+Aeα2t）u（t）
dh（t）=（A+A）δ（t）+（Aαeα1t+Aαeα2t）u（t）
dt121122
d2h（t）
=（A+A）δ'（t）+（Aα
+Aα
）δ（t）+（Aα2eα1t+Aα2eα2t）u（t）
dt2
1211221122
2
将h（t）、dh（t）、dh（t）代入微分方程，利用奇异函数平衡的原则，令左右两端对应的奇
dtdt2
异函数项系数相等，可以得到
⎧（L2−M2）（A+A）=M
⎪12
⎨
2RL（A+A）+（L2−M2）（Aα
+Aα
）=0
可以解得
121122
A=−1
A=−1
12（L+M）
22（L−M）
于是，冲激响应为
h（t）=
1eα2t
（
eα1t
−
）u（t）
2L−ML+M
这里我们采用了将h（t）直接代入方程的方法求系数，避免了求h（0+）、h'（0+）"等初始条
件的问题。
2．3．3阶跃响应g（t）的求法
g（t）的形式与微分方程两端的阶次有关，在n≥m的情况下，g（t）中将不包含冲激函数。
而且g（t）是由自由响应和强迫响应构成，当特征方程有n个非重根时，g（t）的形式为
g（t）=（
n
αkt
∑
k=1
Ake+B）u（t）
（2-12）
其中B为常数，可用待定系数法求特解的方法确定。
而Ak可以用代入微分方程然后用奇异函
数平衡的方法确定，与求h（t）的方法类似。
这里就不详细举例介绍。
根据线性时不变系统的特性，h（t）与g（t）之间有一定的依从关系。
由于δ（t）是u（t）的微分，
而u（t）是δ（t）的积分，所以h（t）和g（t）也满足微积分关系，即有
h（t）=dg（t）
dt
（2-13）
t
g（t）=∫
h（τ）dτ
（2-14）
−∞
那么知道h（t）和g（t）中的任一个，另一个就可以方便地获得。
2．4系统的卷积积分分析
从以上的分析可以看出，用经典法求零状态响应比较复杂，特别当激励函数较复杂和系统的阶次较高时，求解将十分困难。
而求h（t）则相对容易。
那么就可以利用信号的分解原理，将信号分解为冲激信号的组合，然后将这些冲激信号分别通过线性系统，得到各个冲激信号所对应的冲激响应，再利用线性时不变系统的线性特性和时不变特性，将各冲激响应叠加就得到零状态响应。
这就是系统的卷积积分分析的基本原理。
卷积积分是分析线性时不变系统的一个重要工具，随着信号与系统理论研究的深入以及计算机技术的发展，卷积积分得到了更为广泛的应用。
我们在学习卷积积分分析时，不仅要掌握卷积积分的计算方法，而且要理解卷积的物理概念，这样对掌握线性时不变系统的分析方法有
帮助。
2．4．1卷积积分
数学上一种称为卷积积分的运算是两个具有相同变量t的函数f1（t）和f2（t）经过以下的积分可得到第三个相同变量的函数s（t）
∞
s（t）=∫
f1（τ）f2（t−τ）dτ
（2-15）
−∞
卷积常用简写符号“*”表示，于是式（2-15）可写作
∞
s（t）=∫−∞
f1（τ）f2（t−τ）dτ=
f1（t）∗f2（t）
（2-16）
积分限−∞∼∞是对一般函数的表达式，对于具体的函数，要根据具体函数的定义区间来
选择积分限。
下面可以具体根据f1（t）和f2（t）的定义区间来确定卷积积分的积分限。
若当t<0时，，f1（t）=0，也即当τ<0时，f1（τ）=0，这样有f1（τ）f2（t−τ）=0，于是式（2-16）
的积分限的下限应从零开始，于是有
∞
f1（t）∗f2（t）=∫0
f1（τ）f2（t−τ）dτ
（2-17）
在另一种情况下，若f1（t）不受到限制，即f1（t）的范围为−∞到∞，而当t<0时f2（t）=0，也即t−τ<0（即τ>t）时，f2（t−τ）=0，这样当τ>t时有f1（τ）f2（t−τ）=0，于是式（2-16）的
积分限的上限应到t为止，于是有
t
f1（t）∗f2（t）=∫
f1（τ）f2（t−τ）dτ
（2-18）
−∞
在第三种情况下，当t<0时，f1（t）与f2（t）均为零，则可以根据式（2-17）和式（2-18）
得到
t
f1（t）∗f2（t）=∫0f1（τ）f2（t−τ）dτ
（2-19）
从上面三种情况可以看出，卷积积分的积分限要根据具体函数的定义域来确定，而且还要根据t的变化而改变积分限。
2．4．2借助于冲激响应和叠加原理求系统的零状态响应
设系统的激励为x（t），而线性时不变系统的冲激响应为h（t），且x（t）、h（t）均为因果信号，
即当t<0时，有x（t）=0，h（t）=0。
根据第1章式（1-67）和式（1-68），信号x（t）可以分解为δ（t）的
线性组合，即
t
x（t）=∫−
n
x（τ）δ（t−τ）dτ=lim∑
x（k∆t）δ（t−k∆t）∆t
0∆t→0k=0
因为对于δ（t）的零状态响应为h（t），则根据时不变特性，对于δ（t−∆t）的零状态响应则为
h（t−∆t），又根据齐次性，对于x（k∆t）δ（t−∆t）∆t的零状态响应为x（k∆t）h（t−∆t）∆t，最后，根
据叠加性，对于激励x（t）的零状态响应则为
n
yzs（t）=lim∑x（k∆t）h（t−k∆t）∆t
∆t→0k=0
当∆t→0时，可将∆t写成dτ，而k∆t可写作τ，同时对各项取和将转化成取积分，即
t
yzs（t）=∫0−x（τ）h（t−τ）dτ=x（t）∗h（t）
（2-20）
即系统的零状态响应恰为x（t）与h（t）的卷积积分。
由于x（t）与h（t）均为因果信号，因此积分限是前述第三种情况，即式（2-19）的情况，若x（t）和h（t）的定义域不同，则积分限将有所变化。
卷积积分的物理概念就是将激励信号分解为一系列冲激信号的组合，然后让这些冲激信号依次通过系统，得到一系列的冲激响应，然后将这些冲激响应叠加起来，从而得到了系统的零状态响应。
根据卷积积分的物理意义，可以确定一个系统零状态响应的时间范围。
若h（t）的时间范围
为t1≤t≤t2，而激励信号x（t）的时间范围为t3≤t≤t4。
则可以这样分析，h（t）是在t＝0时加一个激励信号δ（t）所得到的响应，其响应起始于t1，结束于t2，而x（t）可以分解为δ（t）信号的组合，且信号的起始点为t=t3，则可以等效为在t=t3时加一个冲激信号，则响应信号的起始点为t3+t1，而信号结束于t4，即等效为t=t4时加入一个冲激，则此冲激所对应的响应起始于
t4+t1，结束于t3+t2，即响应信号y（t）的范围为t3+t1≤t≤t4+t2。
这样可以用此方法判断卷积
积分的范围。
这里t1、t2可为正、为负，若t1为正，则此系统为一个因果系统，若t1为负，则
系统为非因果系统。
利用卷积求零状态响应，再与零输入响应相加即得到全响应，表达式如下
nt
y（t）=
∑
k=1
Azik
eαkt+
∫0−
x（τ）h（t−τ）dτ
（2-21）
式中，第一项为零输入响应[引用式（2-7）]，αk为特征根，共n个且无重根，系数Azik由系
统的起始状态y（k）（0−）决定，而第二项是卷积积分，积分限从0−开始。
2．4．3卷积积分的图解法
卷积积分的图解说明可以帮助我们理解卷积的概念，把一些抽象的关系形象化。
如果给定f1（t）和f2（t），要求二函数的卷积积分s（t）=f1（t）∗f2（t），首先要改变自变量，即将f1（t）、f2（t）变为f1（τ）、f2（τ），这时函数图形与原来一样，只是横坐标t变为τ。
然后再经过如下四个步骤（称为四步曲）：
（1）反褶，即将f2（τ）进行反褶，变为f2（−τ）；
（2）时移，即
将f2（−τ）时移t成为f2（t−τ）=
f2[−（τ−t）]，当t>0时，将f2（−τ）右移t，而当t<0时，将f2（−τ）
左移t；（3）相乘，即将f1（τ）与f2（t−τ）相乘得到f1（τ）
f2（t−τ）；（4）积分，即将乘积f1（τ）
f2（t−τ）
进行积分，积分的关键是确定积分限。
一般是将f1（τ）
f2（t−τ）不等于零的区间作为积分的上、
下限，而且当t取不同的值时，不为零的区间有所变化，因此要将t分成不
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