初一数学知识点汇总有例题.docx

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初一数学知识点汇总有例题

初一数学

1.有理数：

第一章有理数

1.1正数和负数

负数：

以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的数叫做负数。

正数：

以前学过的０以外的数叫做正数。

０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义

注：

-a不一定是负数，+a也不一定是正数；

1.2.1有理数：

凡能写成

形式的数，都是有理数。

（1）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.

（2）有理数的分类:

①

②

注意：

（1）是不是正数，也不是负数；

（2）π不是有理数；无限不循环小数不是有理数。

无限循环小数是有理数；

（3）小数也归为分数。

（4）自然数⇔0和正整数；a＞0⇔a是正数；a＜0⇔a是负数；

a≥0⇔a是正数或0⇔a是非负数；a≤0⇔a是负数或0⇔a是非正数.

1.2.2数轴：

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：

所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：

⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3．相反数：

只有符号不同的两个数叫做相反数。

注意：

（1）一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数还是0；

（2）a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

（3）相反数的和为0⇔a+b=0⇔a、b互为相反数.

一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a，我们说这两点关于原点对称

1.2.4.绝对值：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

（1）一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

注：

绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离。

（2）绝对值可表示为：

或

；

（3）绝对值的问题经常分类讨论；

；

；

（4）|a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：

|a|·|b|=|a·b|,

.

（5）有理数比大小：

①正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。

②两个负数，绝对值大的反而小。

③正数的绝对值越大，这个数越大；

④大数-小数＞0，小数-大数＜0；

⑤在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，所以左边的数永远小于右边的数。

即数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大

补充：

倒数：

乘积为1的两个数互为倒数；

注

（1）0没有倒数；若a≠0，那么

的倒数是

；

（2）倒数是本身的数是±1；

（3）若ab=1⇔a、b互为倒数；若ab=-1⇔a、b互为负倒数.

1.3.1有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a

（2）加法的结合律：

三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

（a+b）+c=a+（b+c）.

补充：

去括号法则：

（1）括号前是“＋”，把括号和括号前的“＋”去掉，括号里各项都不改变符号。

（2）括号前是“－”，把括号和括号前的“－”去掉，括号里各项都改变符号。

（3）括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

1.3.2有理数减法法则：

（有理数的减法可以转化为加法来进行）

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

1.4.1有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

（4）乘积是1的两个数互为倒数。

有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

ab＝ba

（2）乘法的结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

（ab）c＝a（bc）

（3）乘法的分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

a（b＋c）＝ab＋ac

1.4.2有理数除法法则：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

a÷b＝a·

（b≠0）

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。

乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

注：

零不能做除数，

.

1.5.1有理数乘方的法则：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在an中，a叫做底数，叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

（3）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

注意：

当n为正奇数时:

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时:

（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n.

有理数混合运算的运算顺序：

⑴先乘方，再乘除，最后加减；

⑵同极运算，从左到右进行；

⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行

（4）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0⇔a=0,b=0；

（5）据规律

底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.

1.5.2科学记数法：

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

注：

用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1。

1.5.3近似数和有效数字

接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。

精确度：

一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字。

补充：

（1）混合运算法则：

先乘方，后乘除，最后加减；注意：

怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.

（2）特殊值法：

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.

第二章整式

1.代数式：

用运算符号“＋－×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式（字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式）

2.列代数式的几个注意事项：

（1）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号；

（2）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写；

（3）数字与字母相乘，当系数是1或－1时，1要省略不写。

（4）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；

（5）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×

应写成

a；

（6）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成

的形式；

（7）一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结果作为系数，再乘字母因数，即ax＋bx＝（a＋b）x

（8）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.

3.几个重要的代数式：

（m、n表示整数）

（1）a与b的平方差是：

a2-b2；a与b差的平方是：

（a-b）2；

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：

10a+b,则三位整数是：

100a+10b+c；

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：

5m+n；偶数是：

2n，奇数是：

2n+1；三个连续整数是：

n-1、n、n+1；

（4）若b＞0，则正数是:

a2+b，负数是：

-a2-b，非负数是：

a2，非正数是：

-a2.

一、代数式与有理式

1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

2、整式和分式统称为有理式。

3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

二、整式和分式

1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

三、单项式与多项式

1、没有加减运算的整式叫做单项式。

（数字与字母的积---包括单独的一个数或字母）

2、几个单项式的和，叫做多项式。

其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

说明：

①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减

1、整式加减的理论根据是：

去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

去括号法则：

如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。

2、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项：

1）.合并同类项的概念：

　　把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2）.合并同类项的法则：

　　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3）.合并同类项步骤：

　a．准确的找出同类项。

　　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

　　c．写出合并后的结果。

4）.在掌握合并同类项时注意：

　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

　　b.不要漏掉不能合并的项。

　　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

说明：

合并同类项的关键是正确判断同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：

1）列出代数式：

用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

2）按去括号法则去括号。

3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：

（1）代数式化简

（2）代入计算

（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

五、同底数幂的乘法

1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：

am﹒an=am+n。

4、此法则也可以逆用，即：

am+n=am﹒an。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

六、幂的乘方

1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

（am）n表示n个am相乘。

2、幂的乘方运算法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（am）n=amn。

3、此法则也可以逆用，即：

amn=（am）n=（an）m。

七、积的乘方

1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：

积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

即（ab）n=anbn。

3、此法则也可以逆用，即：

anbn=（ab）n。

八、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：

am÷an=am-n（a≠0）。

2、此法则也可以逆用，即：

am-n=am÷an（a≠0）。

九、零指数幂

1、零指数幂的意义：

任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：

a0=1（a≠0）。

十、负指数幂

1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。

注：

在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十一、整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘

1、单项式乘法法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

即：

m（a+b+c）=ma+mb+mc。

2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

（三）多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：

（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb。

2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。

相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。

在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：

（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab。

十二、平方差公式

1、（a+b）（a-b）=a2-b2，即：

两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用，即：

a2-b2=（a+b）（a-b）。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成

（a+b）•（a-b）的形式，然后看a2与b2是否容易计算。

十三、完全平方公式

1、（a±b）

=a

±2ab+b

即：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。

十四、整式的除法

（一）单项式除以单项式的法则

1、单项式除以单项式的法则：

一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。

（二）多项式除以单项式的法则

1、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。

整式的加减复习资料知识点1代数式

用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数.的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.

例如：

5，a，

（a+b），ab，a2-2ab+b2等等.

请你再举3个代数式的例子：

___________________________________________

知识点2列代数式时应该注意的问题

（1）数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.

如：

-2×a=-2a，3×a×b=________，

-2×x2=________.

（2）数字通常写在字母前面.

如：

mn×（-5）=________，（a+b）×3=_______.

（3）带分数与字母相乘时要化成假分数.

如：

2

×ab=________，切勿

错误写成“2

ab”.

（4）除法常写成分数的形式.

如：

S÷x=

，x÷3=__________,

x÷

=__________

典型例题：

1、列代数式：

（1）

的3倍与

的差的平方：

___________________

（2）2a与3的和：

____________

（3）x的

与

的和：

______________

知识点3代数式的值

一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.

例如：

求当x=-1时，代数式x2-x+1的值.

解：

当x=1时，x2-x+1=12-1+1=1.

∴当x=1时，代数式x2-x+1的值是1.

对于一个代数式来说，当其中的字母取不同的值时，代数式的值一般也不相同。

请你求出：

当x=2时，代数式x2-x+1的值。

_________________________________________________________________________________________________________________________________

知识点4单项式及相关概念

由_____和_____的乘积组成的_____叫做单项式.单项式中的______叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的______的和叫做这个单项式的次数。

典型例题：

1、下列代数式属于单项式的有：

_________________（填序号）

2、写出下列单项式的系数和次数.

（1）-18a2b；

（2）xy；（3）

；（4）-x；（5）23x4（6）

答：

（1）_________

（2）__________（3）_________

（4）_________（5）_________（6）_________

3、若单项式

是一个五次单项式，则

=______。

4、请你写出一个系数是-6，次数是3并且包含字母

的单项式：

__________。

知识点5多项式及相关概念

（1）几个单项式的和叫做__________.例如：

a2-ab+b2，mn-3等.

（2）在多项式中，每个_______叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做______。

如：

多项式x2-3x+2，它的项分别

是x2，______，2，常数项是_______.

（3）一般地，多项式里次数_____的项的____，就是这个多项式的次数.

如：

x2y-3x2y2+4x3y2+y4是五次四项式，最高次项是4x3y2.

（4）________与________统称整式

典型例题：

1、多项式

是____次____项式，其中最高次项的系数是_____，三次项的系数是_____常数项是_____

2、

（1）若x2+3x-1=6，则x2+3x+8=；

（2）若x2+3x-1=6，则

x2+x-

-=；

（3）若代数式2a2-3a+4的值为6，则代数式

a2-a-1的值为

3、当k=时，代数式x2—（3kxy+3y2）+

xy—8中不含xy项

知识点6同类项

所含______相同，并且相同字母的______也相同的项叫做同类项。

所有的常数项都是________

典型例题：

1、下列各组中的两项属于同类项的是（）

A.

x2y与-

xy3B.-8a2b与5a2c;C.

pq与-

qpD.19abc与-28ab

4、若

是同类项，则

5、若

可以合并成一个单项式，则

______

知识点7合并同类项及法则

Ⅰ.把多项式中的同类项合并成一项，叫做__________.

Ⅱ.合并同类项法则：

把同类项的_____相加减，所得的结果作为系数，___________保持不变.

典型例题：

1、填空：

（1）

（2）

2、计算

的结果是（）A．

B．

C．

D．

3、下列式子中，正确的是（）

A.3x+5y=8xyB.3y2-y2=3C.15ab-15ab=0D.29x3-28x3=x

4、化简：

（1）11x2+4x-1-x2-4x-5；

（2）-

ab3+2a2b-

a3b-2ab2-

a2b-a3b

5、已知

知识点8去括号法则

括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，原括号里各项的符号都要改变.

对应练习：

1、

（1）

（2）

（3）

2、化简

的结果为（）　　

A．

B．

C．

D．

3、先化简，再求值：

，其中

．

知识点9整式加减法法则

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.

典型例题：

1、若

，请你求：

（1）2A+B

（2）A—3B

2、试说明：

无论x,y取何值时，代数式

（x3+3x2y-5xy+6y3）+（y3+2xy2+x2y-2x3）-（4x2y-x3-3xy2+7y3）的值是常数.

1、已知一组数：

1，

，

，

，

，…，用代数式表示第n个数为

2、在代数式-x2+8x-5+

x2+6x+2中，-x2和是同类项，8x和是同类项，2和是同类项。

3、下列各式中，去括号正确的是（）

A.x2-（2y-x+z）=x2-2y2-x+zB.3a-[6a-（4a-1）]=3a-6a-4a+1

C.2a+（-6x+4y-2）=2a-6x+4y-2D.-（2x2-y）+（z-1）=-2x2-y-z-1

4、有一块长为a，宽为b的长方形铝片，四角各截去一个相同的边长为x的正方形，折起来做成一个没有盖的盒子，则此盒子的容积V的表达式应该是（）

A.V=x2（a-x）（b-x）B.V=x（a