名校大联考 高考数学全真模拟测试86.docx

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名校大联考高考数学全真模拟测试86

名校大联考2016年高考数学全真模拟测试

（8-6）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.（2015浙江杭州七校期末,1）已知集合A={x|,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为（　　）

A.2B.-1C.-1或2D.2或

2.复数=（　　）

A.1B.-1C.iD.-i

3.（2015四川资阳三模,3）已知loa

A.B.

C.ln（a-b）>0D.3a-b<1

4.（2015辽宁朝阳三校协作体一模,4）下列函数在（0,+∞）上为减函数的是（　　）

A.y=-|x-1|B.y=ex

C.y=ln（x+1）D.y=-x（x+2）

5.有5名同学站成一排照相,则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是（　　）

A.8B.12C.36D.48

6.某程序框图如图所示,若a=3,则该程序运行后,输出的x的值为（　　）

A.33B.31

C.29D.27

7.如图,在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图,则该多面体的体积为（　　）

A.15B.13

C.12D.9

8.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则k的值为（　　）

A.8B.7

C.6D.5

9.已知抛物线y2=2px（p>0）与椭圆=1（a>b>0）有相同的焦点F,点A是两曲线的一个公共点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率为（　　）

A.-1B.-1

C.D.

10.下列命题中的假命题是（　　）

A.∃α,β∈R,使sin（α+β）=sinα+sinβ

B.∀φ∈R,函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数

C.∃x0∈R,使+a+bx0+c=0（a,b,c∈R,且为常数）

D.∀a>0,函数f（x）=ln2x+lnx-a有零点

11.（2015广东广州一模,7）已知i是虚数单位,C是全体复数构成的集合,若映射f:

C→R满足:

对任意z1,z2∈C,以及任意λ∈R,都有f（λz1+（1-λ）z2）=λf（z1）+（1-λ）f（z2）,则称映射f具有性质P.给出如下映射:

①f1:

C→R,f1（z）=x-y,z=x+yi（x,y∈R）;

②f2:

C→R,f2（z）=x2-y,z=x+yi（x,y∈R）;

③f3:

C→R,f3（z）=2x+y,z=x+yi（x,y∈R）.

其中,具有性质P的映射的序号为（　　）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

12.（2015辽宁朝阳三校协作体一模,12）设函数f（x）在R上存在导数f'（x）,∀x∈R,有f（-x）+f（x）=x2,在（0,+∞）上f'（x）

A.（-∞,2]

B.[2,+∞）

C.（-∞,4]

D.[4,+∞）

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说:

我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

乙说:

我没去过C城市;

丙说:

我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为　　　　　. 

14.（2015河南商丘二模,13）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最大值为　　　　　. 

15.已知f（x）=2sin,则f=　　　　　;若f（x）=-2,则满足条件的x的集合为　　　　　;则f（x）的其中一个对称中心为　　　　　. 

16.（2015河北唐山一模,15）在半径为5的球面上有不同的四点A,B,C,D,若AB=AC=AD=2,则平面BCD被球所截面图形的面积为　　　　　. 

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）（2015浙江杭州七校期末,17）设函数f（x）=m·n,其中向量m=（2cosx,1）,n=（cosx,sin2x）,x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间;

（2）在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知f（A）=2,b=1,△ABC的面积为,求的值.

18.（本小题满分12分）（2015四川资阳三模,19）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABB1A1⊥底面ABC,AB=BC=CA=AA1,∠A1AB=120°,D,E分别是BC,A1C1的中点.

（1）试在棱AB上找一点F,使DE∥平面A1CF;

（2）在

（1）的条件下,求二面角A-A1C-F的余弦值.

19.（本小题满分12分）（2015云南弥勒一模,18）某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格.教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95）,[95,100]（单位:

小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示.

（1）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率;

（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）.

20.（本小题满分12分）如图,抛物线C1:

y2=2px与椭圆C2:

=1在第一象限的交点为B,O为坐标原点,A为椭圆的右顶点,△OAB的面积为.

（1）求抛物线C1的方程;

（2）过A点作直线l交C1于C,D两点,射线OC,OD分别交C2于E,F两点,记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2,是否存在直线l,使得S1∶S2=3∶77?

若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

21.（本小题满分12分）设函数F（x）在区间D上的导函数为F1（x）,F1（x）在区间D上的导函数为F2（x）,如果当x∈D时,F2（x）≥0,则称F（x）在区间D上是下凸函数.已知e是自然对数的底数,f（x）=ex-ax3+3x-6.

（1）若f（x）在[0,+∞）上是下凸函数,求a的取值范围;

（2）设M（x）=f（x）+f（-x）+12,n是正整数,求证:

M

（1）M

（2）…M（n）>.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）如图,过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B,C两点,且AB=AC,作直线AF与圆E相切于点F,连接EF交BC于点D,已知圆E的半径为2,∠EBC=30°.

（1）求AF的长;

（2）求证:

AD=3ED.

23.（本小题满分10分）（2015河北唐山一模,23）已知椭圆C:

=1,直线l:

（t为参数）.

（1）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;

（2）设A（1,0）,若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.

24.（本小题满分10分）（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,24）设函数f（x）=|x+2|+|2x-4|,g（x）=a+x.

（1）当a=3时,解不等式f（x）≥g（x）;

（2）画出函数y=f（x）的图象,根据图象求使f（x）≥g（x）恒成立的实数a的取值范围.

教师用卷参考答案（8-6）

1.（2015浙江杭州七校期末,1）已知集合A={x|,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为（　　）

A.2B.-1C.-1或2D.2或

解析:

由得x=2,故A={2},

又A⊆B,所以m=2.

答案:

A

2.复数=（　　）

A.1B.-1C.iD.-i

解析:

利用复数的运算法则化简复数.复数z==i,故选C.

答案:

C

3.（2015四川资阳三模,3）已知loa

A.B.

C.ln（a-b）>0D.3a-b<1

解析:

由loab>0,

所以,选A.

答案:

A

4.（2015辽宁朝阳三校协作体一模,4）下列函数在（0,+∞）上为减函数的是（　　）

A.y=-|x-1|B.y=ex

C.y=ln（x+1）D.y=-x（x+2）

解析:

函数y=-|x-1|=在区间（-∞,1）上是增函数,在区间（1,+∞）上是减函数,所以A不正确.

函数y=ex在（-∞,+∞）上为增函数,所以选项B不正确;

函数y=ln（x+1）在定义域（-1,+∞）上为增函数,

所以选项C不正确;

函数y=-x（x+2）=-（x+1）2+1的图象抛物线开口向下,

对称轴是x=-1,在区间（-1,+∞）上是减函数;

所以此函数在区间（0,+∞）上是减函数,故选D.

答案:

D

5.有5名同学站成一排照相,则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是（　　）

A.8B.12C.36D.48

解析:

5名同学站成一排照相,则甲与乙且甲与丙都相邻,只需乙、丙分别在甲的两边相邻位置,可采用“捆绑法”解决,但乙、丙可以换位置,故排法种数为2=12.

答案:

B

6.某程序框图如图所示,若a=3,则该程序运行后,输出的x的值为（　　）

A.33B.31

C.29D.27

解析:

依题意,执行程序框图,进行第一次循环时,x=7,n=2≤3;进行第二次循环时,x=15,n=3≤3;进行第三次循环时,x=31,n=4>3,此时结束循环,输出x的值为31,故选B.

答案:

B

7.如图,在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图,则该多面体的体积为（　　）

A.15B.13

C.12D.9

解析:

题中的几何体的直观图如图所示,

其中底面ABCD是一个矩形（其中AB=5,BC=2）,棱EF∥底面ABCD,且EF=3,直线EF到底面ABCD的距离是3.连接EB,EC,则题中的多面体的体积等于四棱锥E-ABCD与三棱锥E-FBC的体积之和,而四棱锥E-ABCD的体积等于×（5×2）×3=10,三棱锥E-FBC的体积等于×2=3,因此题中的多面体的体积等于10+3=13,故选B.

答案:

B

8.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则k的值为（　　）

A.8B.7

C.6D.5

解析:

设等差数列的公差为d,由等差数列的性质可得2d=a3-a1=4,得d=2,所以an=1+2（n-1）=2n-1.Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2（k+2）-1+2（k+1）-1=4k+4=36,解得k=8.

答案:

A

9.已知抛物线y2=2px（p>0）与椭圆=1（a>b>0）有相同的焦点F,点A是两曲线的一个公共点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率为（　　）

A.-1B.-1

C.D.

解析:

由于抛物线和椭圆有相同的焦点,因此=c,不妨设A是第一象限的点,椭圆的左焦点设为F1,

把x=代入抛物线方程得y2=p2,故A,即A（c,2c）.

∴AF=2c,F1F=2c,AF1=2a-2c,由于△AF1F是直角三角形,

∴（2a-2c）2=（2c）2+（2c）2,

整理得c2-a2+2ac=0,

即e2+2e-1=0,解得e=-1.

答案:

B

10.下列命题中的假命题是（　　）

A.∃α,β∈R,使sin（α+β）=sinα+sinβ

B.∀φ∈R,函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数

C.∃x0∈R,使+a+bx0+c=0（a,b,c∈R,且为常数）

D.∀a>0,函数f（x）=ln2x+lnx-a有零点

解析:

取α=0时,sin（α+β）=sinα+sinβ,A正确;取φ=时,函数f（x）=sin=cos2x是偶函数,B错误;对于三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c,当x→-∞时,y→-∞,当x→+∞时,y→+∞,又f（x）在R上为连续函数,故∃x0∈R,使+a+bx0+c=0,C正确;当f（x）=0时,ln2x+lnx-a=0,则有a=ln2x+lnx=≥-,所以∀a>0,函数f（x）=ln2x+lnx-a有零点,D正确.综上可知选B.

答案:

B

11.（2015广东广州一模,7）已知i是虚数单位,C是全体复数构成的集合,若映射f:

C→R满足:

对任意z1,z2∈C,以及任意λ∈R,都有f（λz1+（1-λ）z2）=λf（z1）+（1-λ）f（z2）,则称映射f具有性质P.给出如下映射:

①f1:

C→R,f1（z）=x-y,z=x+yi（x,y∈R）;

②f2:

C→R,f2（z）=x2-y,z=x+yi（x,y∈R）;

③f3:

C→R,f3（z）=2x+y,z=x+yi（x,y∈R）.

其中,具有性质P的映射的序号为（　　）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

解析:

设z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d∈R）,

则λz1+（1-λ）z2=[aλ+c（1-λ）]+[bλ+d（1-λ）]i,对于①,

f1（λz1+（1-λ）z2）

=[aλ+c（1-λ）]-[bλ+d（1-λ）],

而λf1（z1）+（1-λ）f1（z2）

=λ（a-b）+（1-λ）（c-d）

=[aλ+c（1-λ）]-[bλ+d（1-λ）],

f1具有性质P;

对于②,f2（λz1+（1-λ）z2）

=[aλ+c（1-λ）]2-[bλ+d（1-λ）],

而λf2（z1）+（1-λ）f2（z2）

=λ（a2-b）+（1-λ）（c2-d）,

因为f2（λz1+（1-λ）z2）≠λf2（z1）+（1-λ）f2（z2）,

所以f2不具有性质P;

对于③,f3（λz1+（1-λ）z2）

=2[aλ+c（1-λ）]+[bλ+d（1-λ）],

而λf3（z1）+（1-λ）f3（z2）

=λ（2a+b）+（1-λ）（2c+d）

=2[aλ+c（1-λ）]+[bλ+d（1-λ）],f3具有性质P.

所以具有性质P的映射的序号为①③,故选B.

答案:

B

12.（2015辽宁朝阳三校协作体一模,12）设函数f（x）在R上存在导数f'（x）,∀x∈R,有f（-x）+f（x）=x2,在（0,+∞）上f'（x）

A.（-∞,2]

B.[2,+∞）

C.（-∞,4]

D.[4,+∞）

解析:

设g（x）=f（x）-x2,

∵对任意x∈R,f（-x）+f（x）=x2,

∴g（-x）+g（x）=f（-x）-（-x）2+f（x）-x2=f（-x）+f（x）-x2=0.

∴函数g（x）=f（x）-x2为奇函数.

∵在（0,+∞）上f'（x）

∴当x>0时,g'（x）=f'（x）-x<0,

即函数g（x）=f（x）-x2在（0,+∞）上为减函数.

又函数g（x）=f（x）-x2为奇函数且在R上存在导数,

∴函数g（x）=f（x）-x2在R上为减函数.

∴g（4-m）-g（m）

=f（4-m）-（4-m）2-f（m）+m2

=f（4-m）-f（m）-（8-4m）≥0.

∴g（4-m）≥g（m）⇒4-m≤m⇒m≥2.

∴实数m的取值范围为[2,+∞）.

答案:

B

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说:

我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

乙说:

我没去过C城市;

丙说:

我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为　　　　　. 

解析:

根据甲、乙、丙说的可列表得

A

B

C

甲

√

×

√

乙

√

×

×

丙

√

答案:

A

14.（2015河南商丘二模,13）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最大值为　　　　　. 

解析:

由约束条件作出可行域如图,

联立解得B（3,3）;

联立解得C（1,1）.

化目标函数为直线方程的斜截式y=-2x+z,

由图可知,当直线y=-2x+z过B点时,z最大,最大值为z=2×3+3=9.

答案:

9

15.已知f（x）=2sin,则f=　　　　　;若f（x）=-2,则满足条件的x的集合为　　　　　;则f（x）的其中一个对称中心为　　　　　. 

解析:

f=2sin,f（x）=-2⇒sin=-1⇒2x+=2kπ-,k∈Z.

故x=kπ-,k∈Z.

由2x+=kπ⇒x=,k∈Z.

所以对称中心为,k∈Z.

答案:

k∈Z

16.（2015河北唐山一模,15）在半径为5的球面上有不同的四点A,B,C,D,若AB=AC=AD=2,则平面BCD被球所截面图形的面积为　　　　　. 

解析:

过点A向面BCD作垂线,垂足为M,则M是外心,而外接球球心O位于AM上,如图所示.

设△BCD所在截面圆半径为r,

∵|OA|=|OB|=R=5,|AB|=2,

∴在△ABO中,BO2=AB2+AO2-2AB×AO×cos∠BAO.

∴cos∠BAO=.

∴sin∠BAO=.

在Rt△ABM中,r=2sin∠BAO=4.

∴S=πr2=16π.

答案:

16π

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）（2015浙江杭州七校期末,17）设函数f（x）=m·n,其中向量m=（2cosx,1）,n=（cosx,sin2x）,x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间;

（2）在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知f（A）=2,b=1,△ABC的面积为,求的值.

解:

（1）∵f（x）=m·n=2cos2x+sin2x

=sin2x+cos2x+1=2sin+1,

∴函数f（x）的最小正周期为T==π.

令+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,

解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

∴函数f（x）的单调递减区间是,k∈Z.

（2）由f（A）=2,得2sin+1=2,

即sin.

在△ABC中,∵0

∴2A+,得A=.

又S△ABC=bcsinA=×1×c×,

∴c=2.

∴由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=3,

∴a=.

由,

得b=2sinB,c=2sinC,

∴=2.

18.（本小题满分12分）（2015四川资阳三模,19）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABB1A1⊥底面ABC,AB=BC=CA=AA1,∠A1AB=120°,D,E分别是BC,A1C1的中点.

（1）试在棱AB上找一点F,使DE∥平面A1CF;

（2）在

（1）的条件下,求二面角A-A1C-F的余弦值.

解:

（1）F是AB的中点,证明如下:

取AB的中点F,连接DF,

因为D,E分别是BC,A1C1的中点,

所以DF􀱀AC.

又AC∥A1C1,且A1E=A1C1,

则DF􀱀A1E,所以四边形A1FDE是平行四边形.

所以DE∥A1F.又A1F⊂平面A1CF,DE⊄平面A1CF,

所以DE∥平面A1CF.

（2）由题,知∠AA1B1=60°,

设A1A=2,则A1B1=1,

所以AB1=,

则A+A1=A1A2.

所以A1B1⊥AB1.

过点B1作平面A1B的垂线B1z,分别以的方向为x,y,z轴的正方向,

建立如图空间直角坐标系.

有A1（1,0,0）,A（0,,0）,C,F,

则=（-1,,0）,.

设平面A1CF,平面A1AC的法向量分别为m=（x1,y1,z1）,n=（x2,y2,z2）,

则

即

取m=（2,,0）,

则

即取n=（,1,1）,

所以cos=,

所以二面角A-A1C-F的余弦值为.

19.（本小题满分12分）（2015云南弥勒一模,18）某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格.教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95）,[95,100]（单位:

小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示.

（1）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率;

（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）.

解:

（1）根据题意,参加社区服务时间在时间段[90,95）小时的学生人数为0.06×5×200=60,

参加社区服务时间在时间段[95,100]小时的学生人数为0.02×5×200=20.

所以抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为60+20=80.

所以从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为P=.

（2）由

（1）可知,从全市高中生中任意选取1人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为.

由已知得,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.

所以P（ξ=0）=;

P（ξ=1）=;

P（ξ=2）=;

P（ξ=3）=.

随机变量ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P

因为ξ~B,所以E（ξ）=3×.

20.（本小题满分12分）如图,抛物线C1:

y2=2px与椭圆C2:

=1在第一象限的交点为B,O为坐标原点,A为椭圆的右顶点,△OAB的面积为.

（1）求抛物线C1的方程;

（2）过A点作直线l交C1于C,D两点,射线OC,OD分别交C2于E,F两点,记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2,是否存在直线l,使得S1∶S2=3∶77?

若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

解:

（1）因为△OAB的面积为,所以yB=,代入椭圆方程得B,

抛物线的方程是y2=8x.

（2）存在直线l:

x±11y-4=0符合条件.

理由如下:

显然直线l不垂直于y轴,故直线l的方程可设为x=my+4,与y2=8x联立得y2-8my-32=0.

设C（x1,y1）,D（x2,y2）,

则y1+y2=8m,y1·y2=-32.

所以.

由直线OC的斜率为,

故直线OC的方程为y=x,与=1联立得=1,

同理=1,

所以=1,

可得,

要使,只需,

即121+48m2=49×121,

解得m=±11,

所以存在直线l:

x±11y-4=0使得S1∶S2=3∶77.

21.（本小题满分12分）设函数F（x）在区间D上的导函数为F1（x）,F1（x）在区间D上的导函数为F2（x）,如果当x∈D时,F2（x）≥0,则称F（x）在区间D上是下凸函数.已知e是自然对数的底数,f（x）=ex-ax3+3x-6.

（1）若f（x）在[0,+∞）上是下凸函数,求a的取值范围;

（2）设M（x）=f（x）+f（-x）+12,n是正整数,求证:

M

（1）M

（2）…M（n）>.

（1）解:

f'（x）=ex-3ax2+3,

设F1（x）=f'（x）,则F1'（x）=ex-6ax.

∵f（x）在[0,+∞）上是下凸函数,

∴当x∈[0,+∞）时,F1'（x）=ex-6ax≥0.

当x=0时,1≥0成立,

即F1'（x）=ex-6ax≥0成立,此时a∈R.

当x∈（0,+∞）时,由F1'（x）=ex-6ax≥0,得a≤.

设H（x）