1995考研数学三真题和详解.docx
《1995考研数学三真题和详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1995考研数学三真题和详解.docx（36页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
1995考研数学三真题和详解
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题（本题共
5小题,每小题3
分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
（1）
设f（x）
1
x,则f（n）（x）
.
1
x
（2）
设z
xyf（y）,f（u）可导,则xzxyzy
.
x
（3）
设f
（lnx）
1
x,则f（x）
.
1
0
0
（4）
设A
2
2
0
A是A的伴随矩阵,则（A）1
.
3
4
5
（5）
设X,X
X
是来自正态总体
N（,
2）的简单随机样本,其中参数
和
2未知,
12
n
记X
1
n
Xi,Q2
n
（Xi
X）2,则假设H0:
0的t检验使用统计量
t
_____.
ni1
i1
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）
设f（x）为可导函数,且满足条件limf
（1）f（1
x）
1,则曲线y
f（x）在点
x
0
2x
（1,f
（1））处的切线斜率为
（
）
（A）2
（B）
1
（C）
1
（D）
2
2
（2）
下列广义积分发散的是
（
）
1
1
dx
（B）
1
1
dx
（A）
1sinx
1
1
x2
（C）
ex2
dx
（D）
1
dx
0
2
xln2
x
（3）
设矩阵Amn的秩为r（A）
mn,
Em为m阶单位矩阵,
下述结论中正确的是（）
（A）A的任意m个行向量必线性无关
（B）A的任意一个m阶子式不等于零
（C）若矩阵B满足BA
0,则B0
（D）A通过初等行变换,必可以化为（Em,0）的形式
（4）设随机变量X和Y独立同分布,记UXY,VXY,则随机变量U与V必然
（）
（A）
不独立
（B）
独立
（C）
相关系数不为零
（D）
相关系数为零
（5）设随即变量X服从正态分布N（
2）,则随
的增大,概率P
X
（）
（A）
单调增大
（B）
单调减少
（C）
保持不变
（D）
增减不定
三、（本题满分
6分）
2
（1
cosx）,
x
0
x2
试讨论f（x）在x0处的连续性和可导性.
设f（x）
1,
x
0,
1
x
2
dt,
x
0
x
cost
0
四、（本题满分6
分）
f（x）满足条件f（x）
3x
tdte2x,求f（x）.
已知连续函数
f
0
3
五、（本题满分6分）
将函数yln（1x2x2）展成x的幂级数,并指出其收敛区间.
六、（本题满分
5分）
计算
min{x,y}e（x2y2）dxdy.
七、（本题满分6
分）
设某产品的需求函数为Q
Q（p）,收益函数为R
pQ,其中p为产品价格,Q为需求
量（产品的产量）,
Q（p）为单调减函数.如果当价格为
p0
对应产量为Q0时,边际收益
dR
dR
c
0,需求对价格的弹性Epb1.
dQQQ
a0,收益对价格的边际效应
dppp
0
0
求p0和Q0.
八、（本题满分6
分）
设f（x）、g（x）在区间[
a,a]（a0）上连续,g（x）为偶函数,且f（x）满足条件
f（x）
f（x）
A（A为常数）.
a
f（x）g（x）dx
a
（1）
证明
Ag（x）dx；
a0
（2）利用
（1）
的结论计算定积分
2sinxarctanexdx.
2
九、（本题满分9
分）
已知向量组（Ⅰ）
1,
2,
3
；（Ⅱ）
1,2,3,4；（Ⅲ）
1,2,3,5,如果各向量组的秩
分别为r（I）r（II）
3,
r（III）
4.
证明:
向量组
1,
2,
3,
5
4的秩为4.
十、（本题满分10分）
已知二次型f（x1,x2,x3）4x223x324x1x24x1x38x2x3.
（1）写出二次型f的矩阵表达式；
（2）用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
十一、（本题满分8分）
假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了
n（n2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：
（1）全部能出厂的概率；
（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；
（3）其中至少有两台不能出厂的概率.
十二、（本题满分8分）
已知随机变量X和Y的联合概率密度为
4xy,0x1,0y1,
f（x,y）
0,其他,
求X和Y联合分布函数F（x,y）.
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】2
（1）nn!
（1x）n1
【解析】由于
f（x）
1
x
1
2
1
2（1
x）1
1,
1
x
x
f
（x）
2
（
1）（1
x）2,
f
（x）
2
（
1）（
2）（1
x）3,
所以
f
（n）
（x）
2（
1）
n
n!
（1
x）
（n
1）
2（
1）nn!
（1
x）n
1.
（2）
【答案】
2xyf
y
x
【解析】根据复合函数求导法则
zx
yf
y
xyf
y
y
yf
y
y2
f
y
x
x
x2
x
x
x
zy
xf
y
xyf
y
1
xf
y
yf
y.
x
x
x
x
x
所以
xzx
yzy
xyf
y
y2f
y
xyf
y
y2f
y
2xyf
y
.
x
x
x
x
x
【相关知识点】复合函数求导法则：
y
（f（x））的导数为y
（f（x））f
（x）.
（3）
【答案】x
ex
C
【解析】在f（lnx）
1
x中令lnx
t,
则f
（t）
1et,从而
f（t）
1et
dttet
C
f（x）xex
C.
100
（4）【答案】1220
10
345
【解析】由AA
AE,有AA
E,故A
1
A.
A
A
1
0
0
而
A2
2
0
10,
3
4
5
1A
1
0
0
所以
1
2
0.
A
2
A
10
4
5
3
（5）【答案】Xn（n1）
Q
【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题
它是根据具体情况和问题的要求
首先
提出原假设
H0,再由样本提供的信息
通过适当的方法来判断对总体所作的假设H0
是否成
立.
首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题.据此类
型应该选取t检验的统计量是
X
0
X
t
S
1
n
n
（XiX）2
n（n
1）i1
经过化简得
X
t
（
1）.
nn
Q
【相关知识点】假设检验的一般步骤：
（1）确定所要检验的基本假设H0；
（2）选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；
（3）对确定的显著性水平,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；
（4）由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设H0作出拒绝还是接受的判
断.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】（D）
【解析】因
f
（1）lim
f（1
x）
f
（1）
x
xlimf（1x）f
（1）
x
0
x
x0
x
lim
f
（1）
f（1
x）
x0
x
2limf
（1）
f（1
x）
2,
x
0
2x
所以应选（D）.
（2）【答案】（A）
1
1
1
dxarcsinx1
【解析】由计算知
1
x2
1
1
1
1
xln
2
x
dx
2
lnx2
ln2
且泊松积分
0
ex2
dx
2
故应选（A）.
注：
对于本题选项
（A）,由于当x
0时sinx
0,故在积分区间[
1,1]中x
0是瑕点,反常
积分
1
1
dx应分解为两个反常积分之和:
1sinx
1
1
0
1
dx
1
1
1sinx
dx
dx,
1sinx
0sinx
而且
1
1
dx收敛的充要条件是两个反常积分
0
1
dx与
1
1
dx都收敛.
1sinx
1sinx
0sinx
由于广义积分11dxlntanx
0sinx2
1
0
即
1
1dx发散,故
1
1
dx发散.
0sinx
1sinx
在此不可误以为
1
是奇函数,于是
1
1dx0,从而得出它是收敛的错误结论.
sinx
1sinx
（3）【答案】（C）
【解析】r（A）m表示A中有m个列向量线性无关,有m阶子式不等于零,并不是任意
的,因此（A）、（B）均不正确.
经初等变换可把A化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不
0
1
0
（E2,0）的形式,故（D）不正
一定能化为标准形
.例如
0
只用初等行变换就不能化成
0
1
确.
关于（C）,由BA0知r（B）r（A）m,又r（A）m,从而r（B）0,按定义又有
r（B）0,于是r（B）0,即B0.故应选（C）.
（4）【答案】（D）
【解析】Cov（U,V）Cov（XY,XY）.
Cov（X,XY）Cov（Y,XY）
Cov（X,X）Cov（X,Y）Cov（Y,X）Cov（Y,Y）
DXDY.
由于X和Y同分布,因此DXDY,于是有Cov（U,V）0.
Cov（X,Y）
由相关系数的计算公式,
DXDY
所以U与V的相关系数也为零,应选（D）.
【相关知识点】协方差的性质：
Cov（aX,bY）abCov（X,Y）；
Cov（X1X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）.
（5）【答案】（C）
【解析】由于XN（
2）,将此正态分布标准化
故X
N0,1,
P
X
X
1
2
11.
P
计算看出概率PX的值与大小无关.所以本题应选（C）.
三、（本题满分6分）
【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题
.一般要用连续性与可
导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数
.
2（1cosx）
2
1x2
lim
f（x）
lim
lim
2
1,
x
2
x
2
x
0
x
0
x
0
x
2dt
cost
cosx
2
lim
f（x）
lim
0
1,
x
lim
1
x
0
x
0
x
0
故f（0
0）
f（0
0）
f（0）,即f（x）在x
0处连续.
1
x
2
dt
1
f（x）
f（0）
x
cost
f
（0）
lim
lim
0
x
x0
x
0
x
0
xcost2dt
x
cosx
2
1
1x4
lim
0
lim
2
0,
x2
lim
2x
2x
x0
x0
x0
f（x）
f（0）
2
（1
cosx）
1
f
（0）
lim
lim
x2
x0
x
0
x
0
x
lim2（1
cosx）x2
lim2sinx2x
lim2（cosx1）
0.
x0
x3
x0
3x2
x0
6x
即f（0）
f（0）
0,故
f（x）在x
0处可导,且f
（0）
0
.
四、（本题满分6分）
【解析】首先,
在变上限定积分中引入新变量
s
t
于是
3
3x
tdt
3
x
0
f
f（s）ds.
3
0
代入题设函数f（x）所满足的关系式,得
f（x）
x
f（s）ds
e2x.
3
0
在上式中令x0
得f（0）
1
将上式两端对
x求导数得
f（x）3f（x）2e2x.
由此可见f（x）是一阶线性方程
f
（x）
3f（x）2e2x满足初始条件f（0）
1的特解.
用e3x同乘方程两端,得f（x）e3x
2ex,
积分即得f（x）
Ce3x
2e2x.
由f（0）1可确定常数C
3,于是,所求的函数是
f（x）
3e3x
2e2x.
五、（本题满分
6分）
【解析】由1
x2x2
升级会员 