乘法原理与加法原理教案.docx
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乘法原理与加法原理教案
第十一讲乘法原理与加法原理
知识提要
理解和初步掌握：
加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。
加法原理：
N=m1＋m2＋……＋mn。
乘法原理：
N=m1×m2×……×mn。
经典例题
F
例1小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4条路可以走（如下图）。
小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？
分析与解：
把从小刚家到学校的路分为两步。
第一步从家到桥，第二步从桥到学校。
这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。
从图中看出从家到学校共有12种不同的走法：
ADAEAFAGBDBEBFBGCDCECFCG
根据此题，得出如下结论：
乘法原理要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m1种不同的方法；第二步有m2种不同的方法；……第n步有mn种不同的方法；那么要完成任务共有：
N=m1×m2×……×mn。
6
例2有四张数字卡片，
用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？
分析与解：
用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。
所以可以组成不同的三位数共有：
4×3×2=24（个）
例3：
由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？
分析与解：
要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有5种不同取法；百位数字还有4种取法；千位数字只有3种取法。
由乘法原理，共可组成：
3×5×4×3＝180（个）没有重复数字的四位奇数。
例4：
下图为4×4的棋盘，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行每列只能出现一个棋子。
问：
共有多少种不同的放法？
分析与解：
四个棋子要一个一个地放，故可看做分四步完成任务，第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同方法；第二步放棋子B，放A棋子的一行和一列都不能放B，还剩下9个方格可以放B，所以B有9种方法；第三步放C，再去掉放B的行和列，还有4个方格可以放C，故C有4种放法；最后放D，再去掉C所在的行和列，只剩下一个方格放D了，D只有一种方法，由乘法原理，共有
16×9×4×1＝576（种）不同放法。
在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别，往往是要综合使用的。
例5从北京到郑州可以坐飞机，乘火车，还可以乘汽车。
一天中有飞机2班，火车有3趟，汽车有5趟。
同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具，共有几种不同的走法？
分析与解：
三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地，那么每类交通工具中有几中不同的方法。
（飞机2班，火车3趟，汽车5趟）因此，要到达目的地应有2＋3＋5=10不同的方法。
根据此题，得出如下结论：
加法原理要完成一种任务有几类办法，在第一类办法中有m1中不同方法；在第二类办法中有m2中不同方法；……在第n类办法中有mn中不同方法。
在这些不同的方法中，每一种方法都能独立完成任务，那么完成这一任务共有：
N=m1＋m2＋……＋mn。
例6：
如图：
从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。
那么，从甲地到丙地共有多少种不同走法？
解：
从甲地到丙地共有两类不同走法。
第一类：
由甲地途径乙地到丙地。
这时要分二步走。
第一步，从甲地到乙地有4种走法；第二步从乙地到丙地有2种走法。
据乘法原理，从甲地经乙地到丙地共有：
4×2＝8
种不同走法。
第二类：
从甲地直接到丙地，有3种走法。
由加法原理，从甲地到丙地若有
8＋3＝11种不同的走法。
例7：
有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正方体任意放到桌面上，向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形？
解：
两个数字之和为偶数，这两个数字的奇偶性必相同，所以分两大类。
第一类：
两个数字同奇，第一个正方体有3种可能，第二个正方体也有3种可能，由乘法原理，共有3×3＝9种不同的情形。
第二类：
是两个数字同偶。
也有9种不同的情况。
据加法原理：
两个正方体向上一面数字之和为偶数。
共有：
9＋9＝18
种不同的情况。
基本训练
1.某校六一班有35人，六二班有40人，六三班有37人。
从中选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？
2.某校六一班第一小队有12人，第二小队有11人，第三小队有13人。
从每个小队中各选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？
3.某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择，那么他共有几种不同的由小学读完高中的不同选择方式？
4．如图所示，三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点，且不在同一直线上的三个点一定不共线，在每条直线上各取一点可以画一个三角形，如三角形BEH，问可以画多少个不同的三角形？
5.由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个
（1）三位数？
（2）三位偶数？
（3）没有重复数字的三位偶数？
（4）百位有8的没有重复数字的三位数？
（5）百位为8的没有重复数字的三位偶数？
拓展提高
1．某个地区的电话号码是八位数，如果首位不是0，其余各位上可以是0～9这十个数字中的任意一个，不同数位上的数字可以重复，那么，这个地区可以有多少个电话号码？
2．两位数中个位数字加十位数字的和是双数，这样的两位数一共有多少个？
3．某公司买了8辆汽车，这8辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里，要想把每辆汽车的钥匙挑出来，最多要试多少次？
奥赛训练
1．超市的一个货架上摆放着10种不同的蔬菜，另一个货架上摆放着8种不同的水果。
如果妈妈从这两个货架中至少选购一种，最多选购两种，一共有多少种不同的选购方法？
2．从1～30这三十个自然数中，选出两个数，使它们的和大于30，一共有多少中不同的选法？
3．自然数1～1000中，“0”这个数字一共出现了多少次？
第十二讲简单的排列与组合
知识提要
1、理解和初步掌握：
加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。
加法原理：
N=m1＋m2＋……＋mn。
乘法原理：
N=m1×m2×……×mn。
排列：
=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）（m≤n）
组合：
=
÷
2、能够应用加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法解决一些简单的实际问题。
经典例题
6
例1有四张数字卡片，
用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？
分析与解：
用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。
所以可以组成不同的三位数共有：
4×3×2=24（个）
排列的公式：
=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）（m≤n）
例如用5、6、7、8、9组成没有重复数字的四位数，可以组成多少个？
=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）（m≤n）
=5×（5－1）×（5－2）×（5－4+1）=5×4×3×2=120
例2有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支，现在用三种颜色的花各一支扎成一束，可以扎成多少不同的束？
分析与解：
从n个不同元素中，任意取出m个元素（m≤n），组成一组，叫做从n个不同元素取m个元素的一个组合，所组合的个数，叫做组合数。
用符号
表示。
组合的公式：
=
÷
排列与组合的区别：
排列与元素的顺序有关：
例如从7个人中选出正副组长，两个人有正、副之分。
组合与元素的顺序无关：
例如从7个人中选出两个人去开会，没有正、副之分。
因为所扎成的每一束花，与颜色的排列顺序无关，所以是组合问题。
÷
=（5×4×3）÷（3×2×1）=60÷6=10
答：
一共可以扎成10种不同的花束。
例3从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10个车站，那么，火车票应有多少种不同票价？
分析与解：
因为从A到B和从B到A火车的票价是相同的，所以是组合问题。
÷
=（10×9）÷（2×1）
=90÷2
=45
答：
火车票应有45种不同票价。
例4平面上共有7个点（没有3个点在同一条直线上），通过这些点可以画出多少个三角形或四边形？
分析与解：
通过这些点画三角形和四边形时，这些点没有顺序关系，所以先根据组合公式分别求出三角形和四边形的个数，再根据加法原理把两种的个数相加。
+
=（7×6×5）÷（3×2×1）+（7×6×5×4）÷（4×3×2×1）
=35+35
=70
答:
可以画出70个三角形或四边形。
例5如图。
共有多少个平行四边形？
分析与解：
根据数长方形个数的方法，“长边”上8个点中选两个点的组合乘以宽边上6个点中两个点的组合。
×
=（8×7）÷（2×1）×[（6×5）÷（2×1）]
=28×15
=420
答:
共有420个平行四边形。
基本训练
1.一次乒乓球比赛，最后有6名选手进入决赛，如果赛前写出冠、亚军名单，可
以写出多少种？
2.在一张纸上有9个点，没有三个点在一条直线上。
通过这些点一共可以画出多少条线段？
3.第三小队共有队员12人，要选出正、副小队长各一人，选出的结果可以有多少种不同的情况？
4.六一班有40名同学，现在要选派2名同学参加国庆活动，共有多少种不同的选法？
5.小红有4件不同花色的衬衫，有3条不同样式的裙子，如果用一件衬衫和一条裙子搭配成一套，一共可以搭配成多少套？
6.学校食堂今天中午的主食有：
米饭、馒头、花卷和烙饼，炒菜有：
炒芹菜、炒肉片、炒三丁、炒豆角和红烧肉。
张老师要买一种主食和一种炒菜作为中午饭，张老师可以有多少种不同的买法？
拓展提高
1.用0、1、2、3、4、5、6写出没有重复数字的四位数，可以写出多少个？
2.用0、1、2、3、4写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数，一共可以写出多少个？
3.六一班的图书角现在有6本科技书，有8本故事书，有3本词典，小刚想借其中的一本，一共可以有多少种不同的借法？
4.有6名学生和班主任老师照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，班主任要站在前排中间。
他们一共有多少种不同的排法？
5.有7名学生毕业前照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，张刚说：
“我不站在后排的边上。
”。
他们一共有多少种不同的排法？
6.有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，只选用其中的两个砝码，在天平上能称出多少种不同重量的物体？
奥赛训练
1.
.
一张纸上共画有10个点，其中有3个点在一条直线上，以这些点为三角形的顶点，一共可以画出多少个三角形？
2.有1分、2分、5分、1角、5角和1元的硬币各一枚，共可以组成多少种不同币值？
第十三讲巧求面积
知识提要
1、掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的特征：
a
2、理解和掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程：
正方形面积=边长×边长=a2，
长方形面积=长×宽=ab，
平行四边形面积=底×高=ah，
三角形面积=底×高÷2=
梯形面积=（上底＋下底）×高÷2=
经典例题
例1算出下面每个图形中阴影部分的面积.（已知大正方形边长10厘米，小正方形边长6厘米）
图一
图二
图一
分析与解：
（6＋10）×6÷26×6÷2（10＋6）×10÷2
=48（平方厘米）=18（平方厘米）=80（平方厘米）
例2小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知大正方形的边长10厘米，小正方形的边长6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：
方法1：
两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。
102+62－（10×10÷2）－（10+6）×6÷2=38（平方厘米）。
方法2：
添加辅助线GB，三角形BDG与三角形GBF的面积之和就等于阴影部分的面积。
（10-6）×10÷2＋6×6÷2=38（厘米2）
答：
阴影部分的面积是38平方厘米。
例3用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
分析与解：
方法1：
如下图1，先将BC四等分，即BD=DE=EF=EC，连结AD、AE、AF得到四个等积三角形，即△ABD、△ADE、△AEF、△AFC。
方法2：
如下图2，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
A
方法3：
如下图3，先将BC四等分，即BD等于四分之一BC，连结AD，再将AD三等分，即AE=EF=FD，连结CE、CF，从而得到四个等积三角形，即△ABD、△CDF、△CEF、△ACE等积．
图1图2图3
想一想：
你还有其他方法吗？
从上面例题得到下面结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
例4如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：
△AOB与△COD面积相等．
分析与解：
证明：
∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
等量减等量所得的差相等。
例5一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加1.5平方米，（如图），那么原来三角形的面积是多少平方米?
分析与解：
方法1：
已知阴影三角形的面积和底，根据三角形面积公式就能求出三角形的高，也就是原三角形的高，又知道原三角形的底，从而求出原三角形的面积。
1．5×2÷1=3（米）
5×3÷2=7.5（平方米）
答：
原来三角形的面积是7.5平方米。
方法2：
已知原三角形的底是阴影三角形的底的5倍，所以原三角形的面积就是阴影三角形面积的5倍。
1．5×5=7.5（平方米）
例6如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
分析与解：
方法1：
连结BD，在△ABD中
∵BE=3AE，
∴S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．
方法2：
连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵CD=2AD，
∴S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴S△ABC=4S△ACE
=4×3=12（平方厘米）．
例7如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积
分析与解：
解：
连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；
又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
∴S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）
例8如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．
分析与解：
解：
连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF
而S△ACF=S△ACE+S△AEF，S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．
基本训练
1．选择题（有且只有一个正确答案）：
（1）如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．
（A）0个（B）1个
（C）2个（D）3个
（2）如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．
（A）0个（B）1个
（C）2个（D）3个
（3）如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．
（A）0对（B）1对
（C）2对（D）3对
（4）如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是______．
（A）1∶1（B）1∶1.1
（C）1∶1.2（D）1∶1.4
2．填空题：
（1）如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的______．
（2）如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是______．
（3）如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，S△BEG∶S△CEG=2∶1，S△CFG∶S△DFG=1∶1，那么这四个小三角形面积之和______．
（4）如上右图，在△ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______．
拓展提高
1.如图1，在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF，已知线段AE=3厘米，DF=2厘米，求阴影部分的面积是多少？
2.左下图是一块长方形草地，长方形的长是160米，宽是102米。
中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积等于多少平方米？
3.如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。
阴影部分面积是多少平方厘米？
F
4.如图，四边形ABCD是长方形，A、D、E、F在同一条直线上。
AB＝7，BC＝5，DG＝3。
求DE的长。
5.如图，正方形ABCD与长方形AEFG重叠放在一起，已知AB=4厘米，BE=3厘米，AE=5厘米。
请你计算出长方形AEFG的面积。
B
6.如图，三角形ABC的面积是144平方厘米，BD＝18厘米，DC＝6厘米，AE＝10厘米，EC＝5厘米。
求三角形ADE的面积。
奥赛训练
1.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。
第十四讲用等量代换求面积
知识提要
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
经典例题
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：
厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的下底和高已知,所以求出上底即可。
上底OC：
10-3=7（厘米），面积：
（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。
答：
阴影部分的面积是17平方厘米。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于：
10×8÷2+10=50（平方厘米）。
答：
平行四边形ABCD的面积是50平方厘米。
例3在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解：
求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
梯形ABCD面积：
（8+4）×6÷2=36（厘米2）三角形ECB面积：
36-18=18（厘米2）
EC：
18×2÷6=6（厘米）ED：
6-4=2（厘米）答：
ED长2厘米。
例4如下图，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析与解：
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。
如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。
方法1：
连结B，E（见下左图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
S△BEC：
4×（10－7）÷2=6
S△BEF：
2×（10－7）÷2=3差：
6－3=3
图1图2图3图4
方法2：
连结C，F（见上右图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
S△BCF：
4×（10－7）÷2=6
S△ECF：
2×（10－7）÷2=3差：
6－3=3
方法3：
延长BC交GF于H（见左下图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
S△BHF：
（4+2）×（10－7）÷2=9
矩形：
2×（10－7）=6差：
9－6=3
方法4：
延长AB，FE交于H（见上右图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
矩形：
4×（10－7）=12
S△BHF：
（10－7）×（4+2）÷2=9差：
12－9=3
例6左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
分析与解：
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD（见上右图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积。
4×4÷2=8（厘米2）答：
三角形ABC的面
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