五年级奥数构造与论证BC级.docx

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五年级奥数构造与论证BC级

各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．

组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

板块一、最佳安排和选择方案

【例1】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？

【巩固】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：

每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色（填“黑”或者“白”）．

【例2】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

【巩固】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：

从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

（1）某2堆石子全部取光?

（2）3堆中的所有石子都被取走?

【例3】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：

开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：

一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

【巩固】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：

（1）n=4是否可能？

（2）n=5是否可能？

【例4】如图，在时钟的表盘上任意作

个

的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖

个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：

一定可以找到

个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作

个扇形将不能保证上述结论成立．

【巩固】将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续三个数之和写下来，则可以得到六个数

、

、

、

、

、

，将这六个数中最大的记为

．请问在所有填写方式中，

的最小值是什么？

【例5】1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?

【巩固】一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：

这组数之和的最小值是多少?

当取到最小值时，这组数是怎样构成的?

【例6】2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。

甲、乙轮流取，如果甲先取，如何才能保证赢？

【巩固】在10×19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到多少个不同的和数?

【例7】在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?

【巩固】在下图中有16个黑点，它们排成了一个4×4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?

板块二、染色与赋值问题

【例8】某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：

能否找到两个学生甲、乙和三本书4、B、C，使得甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A?

说明判断过程．

【巩固】4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：

至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．

【例9】在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点．求n的最小值．

【巩固】甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按1，2，3，4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24？

【例10】将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形．证明：

无论怎样分法．分得的长方形中必有两个是完全相同的．

【巩固】将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：

至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．

【例11】在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上．如果在这7个点之字连结18条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形？

【巩固】在9×9棋盘的每格中都有一只甲虫，根据信号它们同时沿着对角线各自爬到与原来所在格恰有一个公共顶点的邻格中，这样某些格中有若干只甲虫，而另一些格则空着．问空格数最少是多少?

【例12】若干台计算机联网，要求：

①任意两台之间最多用一条电缆连接；

②任意三台之间最多用两条电缆连接；

③两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆．若按此要求最少要用79条电缆．

问：

（1）这些计算机的数量是多少台?

（2）这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆?

【巩固】在一个6×6的方格棋盘中，将若干个1×1的小方格染成红色．如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的．那么最少要涂多少个方格?

【例13】用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形多少个?

【巩固】试着把边长为

的这99个小正方形不重叠地放入1个边长为l的正方形内。

能做到就画出一种放法，不能，请说明理由。

【例14】有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；那么，这10个砝码中第二重的砝码最少是______克．

【巩固】小明和8个好朋友去李老师家玩．李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．老师在纸上又写了一个数A，问这9位同学：

“你知不知道自己帽子上的数能否被A整除？

知道的请举手．”结果有4人举手．老师又问：

“现在你知不知道自己帽子上的数能否被24整除？

知道的请举手．”结果有6人举手．已知小明两次都举手了，并且这9个小朋友都足够聪明且从不说谎，那么小明看到的别人帽子上的8个两位数的总和是　　　．

【随练1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

【随练2】有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言.求证：

在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈。

【随练3】证明：

在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×l×4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．

【作业1】在黑板上写上

、

、

、

、……、

，按下列规定进行“操怍”：

每次擦去其中的任意两个数

和

，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？

为什么？

【作业2】如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.

【作业3】三个边长为1的正方形并排放在一起，成为1×3的长方形.求证：

.

【作业4】如图，把正方体的6个表面剖分成9个相等的正方形．现用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形所染的颜色不同．那么染成红色的正方形的个数最多是多少个?

【作业5】桌上有两堆棋子，分别有12粒和28粒，甲乙两人轮流从其中的一堆里取出若干粒，不能同时在两堆中都取，也不能不取．且取出的棋子数必须是另一堆棋子数的约数．取到最后一粒者为胜．如果甲先取，____________采用正确的策略，必胜．