概率论与数理统计第四版课后习题答案盛骤浙江大学.docx
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概率论与数理统计第四版课后习题答案盛骤浙江大学
1.
完全版
概率论与数理统计习题答案第四版盛骤（浙江大学）
浙大第四版（高等教育出版社）
第一章概率论的基本概念
1.［一］写出下列随机试验的样本空间
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（［一］1）
S=2,丄……丄」00，n表小班人数
5nn：
（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（［一］2）
S={10,11,12,,n,}
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”
如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满
4次才停止检查。
（［一］（3））
S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,}
2.［二］设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
表示为：
ABC或A—（AB+AC）或A—（BUC）
（2）A,B都发生，而C不发生。
（3）A,B,C中至少有一个发生表示为：
A+B+C
（4）A,B,C都发生，表示为：
ABC
（5）A,B,C都不发生，表示为：
ABC或S—（A+B+C）或A_BC
（6）A,B,C中不多于一个发生，即A,B,C中至少有两个同时不发生
相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。
故表示为：
ABBCAC。
（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：
A,B,C中至少有一个发生。
故表示为：
ABC或ABC
（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：
AB，BC，AC中至少有一个发生。
故表示为：
AB+BC+AC
6.［三］设A，B是两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7.问⑴在什么条件下P（AB）取到最
大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下P（AB）取到最小值，最小值是多少？
解：
由P（A）=0.6,P（B）=0.7即知ABM$,（否则AB=$依互斥事件加法定理，
P（AUB）=P（A）+P（B）=0.6+0.7=1.3>1与P（AUB）<1矛盾）.
从而由加法定理得
P（AB）=P（A）+P（B）—P（AUB）（*）
（1）从OWP（AB）WP（A）知，当AB=A，即卩AAB时P（AB）取到最大值，最大值为
P（AB）=P（A）=0.6,
（2）从（*）式知，当AUB=S时，P（AB）取最小值，最小值为
P（AB）=0.6+0.7—1=0.3。
1
7.［四］设A,B,C是三事件，且P（A）二P（B）=P（C）士，P（AB）=P（BC）=0,
1
P（AC）.求A,B,C至少有一个发生的概率。
8
解：
P（A,B,C至少有一个发生）=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）—P（AB）—P（BC）—
P（AC）+P（ABC）=
8.［五］在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26
个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？
记A表“能排成上述单词”
从26个任选两个来排列，排法有
A26种。
每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词：
55个
P（A）二等
A26
_11
"130
9.
（设后面4
在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。
个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2……9）
记A表“后四个数全不同”
•/后四个数的排法有104种，每种排法等可能。
后四个数全不同的排法有A；
P（A）A4=0.504
104
10.［六］在房间里有10人。
分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录
其纪念章的号码。
（1）求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
10人中任选3人为一组：
选法有
且每种选法等可能。
又事件A相当于：
有一人号码为5,其余2人号码大于5。
这种组合的种数有
P（A）二
1
12
（2）求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为
5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有
每种选法等可能,
又事件B相当于：
有一人号码为
5,其余2人号码小于
5，选法有1
P（B）二
11.［七］某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。
在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2
桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？
记所求事件为A。
在17桶中任取9桶的取法有G97种，且每种取法等可能。
取得4白3黑2红的取法有CoC：
Cj
P（A）=C14。
C3C2
G67
252
二2431
12•［八］在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1）求恰有90个次品的概率。
记“恰有90个次品”为事件A
•••在1500个产品中任取200个，取法有覷种,每种取法等可能。
200个产品恰有90个次品，取法有400100种
4001100
P（A）
90110
1500
200
（2）至少有2个次品的概率。
记：
A表“至少有2个次品”
Bo表“不含有次品”，Bi表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有"20?
札200个产品含一个次品，取法有仏0叮
2001199
•••A=B0B1且Bo,Bl互不相容。
11004001100
P（A）=1-P（A）=1—[P（B。
）P（BJ]=1—
|（200丿*J1人199丿〔1500）0500）|_（200丿（200丿
13.［九］从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则A表“4只人不配对”
从10只中任取4只，取法有4种,每种取法等可能。
「524
要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。
取法有4
p（A）=
C10
=_8
"21
P（A）=1_P（A）=1
13
2121
15.［十^一］将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1,2，3，的概率各为多少?
记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,
三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能
对A1:
必须三球放入三杯中，每杯只放一球。
放法4X3X2种。
（选排列：
好比3个球在4个位置做排列）
4X3^2
P（A1）432
6
16
对A2：
必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。
放法有
（从3个球中选2个球，选法有C；，再将此两个球放入一个杯中，选法有4
种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。
P（A2）
2
C3439
对A3：
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
（只需从4个杯中选1个杯子，放入此
3个球，选法有4种）
1
16
4
P（A3）4
4
16.［十二］50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部
件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。
1.法一：
用古典概率作：
把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。
但10组钉铆完10个部件要分先后次序）
对E:
铆法有C50C47C44C23种，每种装法等可能
对a：
三个次钉必须铆在一个部件上。
这种铆法有〔C33c23〕X10
种
［C；C：
7C：
4C；3】101
P（A）34744230.00051
cAc：
7汇……心1960
法二：
用古典概率作
把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。
（铆钉要计先后次序）
对E:
铆法有A。
种，每种铆法等可能
A3a4；=10Aa4；种
对A:
三支次钉必须铆在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，…或“28,29,30”位置上。
这种铆法有AAAA47■■
P（A）
1
I960
=0.00051
17.［十三］已知P（A）=0.3,P（B）=04P（AB）=0.5,求P（B|A一B）。
解一：
P（A）=1-P（A）=0.7,P（B）=1-P（B）=0.6,A=AS二A（B一B）=AB一AB注意（AB）（AB^.故有
P（AB）=P（A）-P（AB）=0.7-0.5=0.2。
再由加法定理，
P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.7+0.6-0.5=0.8
于是P（B|A一B）
P［B（A一B）］
一P（A一B）
P（AB）
P（A一B）
0.2
0.8
=0.25
解二：
P（AB）二P（A）P（B|A）由已知》05=07卩（B|A）
P^A^05
0.7
二号二P（B|A）
1故P（AB）=P（A）P（B|A）=-
5
PWB）定义弟
P（BA）__5
P（A）P（B）-P（AB）0.70.6-0.5
0.25
18.［十四］
P（A）*,P（B|A）#,P（A|B）弓,求P（A一B）。
解：
由P（A|B）
定义P（AB）
P（B）
P（A）P（B|A）由已知条件'有丄二二3=.P（B）二丄
P（B）2P（B）'）6
由乘法公式，得
1
P（AB）=P（A）P（B|A）=占
由加法公式，得P（A一B）=P（A）P（B）—P（AB）=寸g一吉二;
19.［十五］掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率（用
两种方法）。
解：
（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P（A|B），即将事件B作为样本空间，求
事件A发生的概率）。
掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x,y）（x,y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为
S=｛（x,y）|（1,6）,（6,1）,（2,5）,（5,2）,（3,4）,（4,3）｝
每种结果（x,y）等可能。
21
A=｛掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。
故P（A）二纟—｝
63
方法
（用公式P（A|B）=
P（AB）
P（B）
S={（x,y）|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能
A=“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。
则
612
P（B）6t=1,P（AB），
62662
故P（A|B）
P（AB）
P（B）
_2_
_石=2=丄
20.［十六］据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：
P（A）=P｛孩子得病｝=0.6，P（B|A）=P｛母亲得病|孩子得病｝=0.5，P（C|AB）=P｛父亲得病|母亲及孩子得病｝=0.4。
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：
所求概率为P（ABC）（注意：
由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件,这里不是求P（C|AB）
P（AB）=P（A）=P（B|A）=0.6（X5=0.3,P（C|AB）=1-P（C|AB）=1-0.4=06
从而P（ABC）=P（AB）P（C|AB）=0.3>0.6=0.18.
21.［十七］已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
法一：
用组合做在
（1）二只都是正品（记为事件A）
10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种
取法等可能。
P（A）二
c2
C8
C10
辱0.62
45
法二：
用排列做
10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个
排列等可能。
P（A）二
28
2
A10
45
法三：
用事件的运算和概率计算法则来作。
记Ai，A2分别表第一、二次取得正品。
2845
（2）二只都是次品（记为事件B）
法一:
P（B）=C2
G2。
法二:
A
P（B）去
A10
1
45
法三:
—————21P（B）*（人财北（几尸傀|A）吒£=45
（3）—只是正品，一只是次品（记为事件C）
法一:
C10
法二:
P（c）=（c8y2）s；
2
A10
822816=P（^）P（Ae|A!
）P（A1）P（A2|A1^;80©.丽二嗚
（4）第二次取出的是次品（记为事件D）
法一：
因为要注意第一、第二次的顺序。
不能用组合作,
法二：
P（D）=凡；A2=£
Ao5
法三：
p（d）=p（^A2AAd且aA与Aa2互斥
mAjP^iA）P（A）P（A2lA）=1o9_2_1=1
22.［十八］某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？
如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意：
第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
H=Ai+AA?
+A^A3三种情况互斥
P（H）二P（AJP（入）P（A2|瓦）P（Ai）P（A2|入）P（A3|入A?
）
10109109810
如果已知最后一个数字是奇数（记为事件再发生的概率。
B）问题变为在B已发生的条件下，求H
P（H|B^PA1|BA1A2|BA1A2A3|B）
=P（A|B）P（A,|B）P（A2|BAjP（瓦|B）P（A2|B£）P（A3IBA1A2）
1414313
—iAiAA=
24.［十九］设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球
M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？
（此为第三版19题
（1））
记Ai,A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”
再记B表“再从乙袋中取得白球”。
TB=AiB+A2B且Ai,A2互斥
P（B）=P（Ai）P（B|Ai）+P（A2）P（B|A2）
n^N+i丄N
=
nmNMinmNMi
［十九］
（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。
先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。
记Ci为“从第一盒子中取得2只红球”。
C2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C3为“从第一盒子中取得
i只红球，i只白球”，
D为“从第二盒子中取得白球”，显然Ci,C2,C3两两互斥，CiUC2UC3=S,由全概率公式，有
P（D）=P（Ci）P（D|Ci）+P（C2）P（D|C0+P（C3）P（D|C3）
C；5C27C5C4653
_C<2iiC；11C911一99
26.［二^一］已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。
今从男女
人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：
Ai=｛男人｝,A2=｛女人｝,B=｛色盲｝，显然AiUA2=S,AiA2=$
1
由已知条件知P（AJ=P（A2）=2P（B|^）=5%,P（B|A2）=0.25%
由贝叶斯公式，有
15
P（A|B）=
P（AB）
P（B）
P（A）P（B|A）"210020
P（A）P（B|A）P（A2）P（B|A2）一~5125「_21
H00210000
［二十二］一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为P,若第一次
及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为—
（1）若至少
2
有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。
（2）若已知他第二次已经及
格，求他第一次及格的概率。
解：
Ai=｛他第i次及格｝，i=1,2
已知P（A1）=P（A2|A”=P,P（A2|A）=p2
（1）B=｛至少有一次及格｝
所以B=｛两次均不及格^A1A2
•••p（b）=1—p（B）=1—p（AA2）j—p（A）p（A2|A）
[1-p（A）][1-p（A2|A）]
=1_（1_p）（1_P）=3p_」p2
2
22
（2）P（AA2）定义需
（*）
2
由乘法公式，有P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=P
由全概率公式，有P（A2^P（A1）P（A2|A!
）P（A）P（A2|A）
=PP（1—P）
将以上两个结果代入（*）得P（A1|A2）=
28.［二十五］某人下午5:
00下班，他所积累的资料表明:
到家时间
5:
35~5:
39
5:
40~5:
44
5:
45~5:
49
5:
50~5:
54
迟于5:
54
乘地铁到
家的概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到
家的概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是回家的概率。
5:
47到家的，试求他是乘地铁
解：
设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:
45~5:
49到家”，由题意，AB=$,AUB=S
已知：
P（A）=0.5,P（C|A）=0.45,P（C|B）=0.2,P（B）=0.5
P（A|C）二
P（C|A）P（A）
~~
由贝叶斯公式有
0.5X0.450.459
P（C|A）舟P（C|B）*0.6513
29.［二十四］有两箱同种类型的零件。
第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30
只，其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。
试求
（1）第一次取到的零件是一等品的概率。
（2）第一次取到的零
件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：
设Bi表示“第i次取到一等品”
i=1,2
Aj表示“第j箱产品”j=1,2，显然
A1UA2=SA1A2=$
（1）P（BJ」
2
10118
50230
=0.4（B1=A1B+A2B由全概率公式解）。
（2）P（B2|BJ
P®B2）
PQ）
110_911817
2^0.4857
（先用条件概率定义，再求
P（B1B2）时，由全概率公式解）
32.［二
卜六
（2）］如图1,2,3,4,5
L
■-R
表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合
的概率为P,且设各继电器闭合与否相互独
立，求L和R是通路的概率。
记Ai表第i个接点接通45
记A表从L到R是构成通路的。
tA=AiA2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
P（A）=P（AiA2）+P（A1A3A5）+P（A4A5）+P（A4A3A2）—P（A1A2A3A5）
+P（A1A2A4A5）+P（A1A2A3A4）+P（A1A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）P（A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）+P（AiA2aA4A5）+（AlA2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）—P（A1A2A3A4A5）
又由于Ai,A?
A3,A4,A5互相独立。
2323444454,
故P（A）=p+p+p+p—[p+p+p+p+p+p]
r5555、5^2c3u.4c5
+[p+p+p+p]—p=2p+3p-5p+2p
[二十六
（1）]设有4个独立工作的元件1,2,3,4。
它们的可靠性分别为Pi,P2,
P3,P4，将它们按图
（1）的方式联接，求系统的可靠性。
23
记Ai表示第i个元件正常工作，i=1,2,3,4,
A表示系统正常。
TA=A1A2A3+A1A4两种情况不互斥
P（A）=P（A1A2A3）+P（A1A4）—P（A1A2A3A4）（加法公式）
=P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A4）—P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）
=P1P2P3+P1P4—P1P2P3P4（A1,A2,A3,A4独立）
34.［三^一-］袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。
问这只硬币是正品的概率为多
少？
解：
设“出现r次国徽面”=Br“任取一只是正品”=A
由全概率公式，有
m1rnr
P（Br）=P（A）P（Br|A）P（A）P（Br|A）（—）r1r
m+n2m十n
P（A|Br）
P（A）P（Br|A）
P?
BJ
（条件概率定义与乘法公式）
35.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7。
飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击
中，飞机必定被击落。
求飞机被击落的概率。
解：
咼Hi表示飞机被i人击中，i=1,2,3。
B1,B2,B2分别表示甲、乙、丙击中飞
机
Hi=BiB2B3B1B2B3-B1B2B3，三种情况互斥。
出二B1B2B3-B1B2B3B1B2B3三种情况互斥
H3
-B2b2B3
又B1,B2,B2独立。
P（H1）=P（B1）P（B2）P（B3）P（B1）P（B2）P（B3）
P（B1）P（B2）P（B3^0.40.50.3
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