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第一页

答卷编号：

论文题目：

B题拔河比赛

姓名

专业、班级

有效联系电话

参赛队员1

齐丽丽

光伏

15970296725

参赛队员2

石鹏

土木

15570151002

参赛队员3

吕飞亚

电子

13755708191

指导教师：

邓昌瑞

参赛学校：

江西渝州科技职业学院

报名序号：

141

证书邮寄地址：

江西渝州科技职业学院科研处

邓昌瑞（收）

第二页

答卷编号：

阅卷专家1

阅卷专家2

阅卷专家3

评阅结果

B题拔河比赛

摘要

本文针对拔河比赛问题建立四个数学模型，运用牛顿定律，层次分析法，微分方程解决拔河过程中的位置安排，拉过绳索的长度，比赛规则以及提案问题。

模型一：

要解决拔河比赛中的站队问题；首先，考虑影响站队获胜的因素；其次对各个因素利用牛顿定律进行分析；再次利用层次分析法对算出各因素的权重为：

身高技巧体重力量；最后，综合分析各因素，得出要想在，比赛中发挥最大能量，需要身高高的在前面，体重和力量大的在后面，技巧好的在前方。

模型二：

解决拉过绳索的距离是否科学问题；利用牛顿定律对受力进行分析，得到加速度和速度的关系式，之后利用微积分对加速度进行双重积分求出所移动的位移为0.9567小于比赛所规定的距离4米，所以将比赛获胜规定为拉过绳索4米是科学的。

模型三：

为吸引更多的学生和提高学生的素质，需要制定什么规则；首先，提高积极性所提出的要求不要太苛刻，能够符合人们的心理；其次，提高竞争力需要考虑到队员的需求；最后，对体重和拉力的距离定量分析，判断这两个因素对吸引学生和提高竞争力的影响。

模型四：

根据模型三制定的拔河比赛规则，以此向全国大学生体育运动组委会提出将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案；根据提案的内容及要求结合拔河比赛的相关内容，得出合理的提案。

最后，对模型进行灵敏度和误差分析，并且对模型优缺点进行评价与推广。

关键词:

拔河比赛层次分析法比赛规则提案

1问题重述

1.1问题的由来

拔河比赛始于我国春秋时期，是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。

拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。

此外，一场拔河比赛最多持续几分钟或几十分钟，并不需要太多的体力，且比赛现场气氛热烈。

拔河比赛有各种比赛分级方法。

常见的的分级是以参赛双方每方8人的总体重来分级，从320公斤到720公斤，每隔40公斤一级。

拔河比赛绳子中间有一个标记，在比赛中，若参赛的某一方将绳子标记拉过自己一侧4米则该方获胜。

1.2问题的提出

1．在某种分级比赛中，如果某方想在拔河比赛中发挥该队最大能量，他应该怎样安排他的队员位置？

请用对比赛建立一个数学模型的方式来说明你的结果。

2．比赛获胜规定为拉过绳索4米，请通过数学建模的方式说明该规定是否科学。

写一个将你设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。

3．当前我国在校学生的体质普遍不强，有人提出想用经常进行的拔河比赛来吸引更多的学生参加运动，以提高学生的身体素质。

请你设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规则，该规则要定量的说明。

4．向全国大学生体育运动组委会写一个将你设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。

2模型假设与符号说明

2.1模型假设

1忽略绳子的重量

2绳子在拔河过程中是匀速直线运动

3两个队伍中的力量一样大

4两个队伍中的总体重相同

5所有参赛队员脚底与地面的磨擦系数相同

6所有参赛队员均符合我国成年人的标准体重

7在拔河比赛中无意外事故发生

8替补队员与参赛队员的体重相差不大

2.2符号说明

表示参赛队员的质量（）

表示参赛8人的总质量

表示摩擦系数

分别表示受到的摩擦力

分别表示正压力

分别表示拉力

表示所受到的合力

表示重心离地面的高度

分别表示所受到的重力

表示身高

表示体重

表示技巧

表示力量

表示最大特征值

表示正负相反矩阵（一致矩阵）

表示特征向量

表示最大拉力

表示最小拉力

表示最大与最小拉力之差

表示拔河周期

周期的参数

表示移动的位

3问题分析

3.1问题一的分析

问题解决如何安排队员的位置，使其在拔河比赛中发挥最大的能量；拔河比赛是一种分级比赛，常见的分级比赛是以参赛双方每方8人的总体重分级，如果想在拔河比赛中发挥该队最大能量，需要对影响比赛胜负的因素进行系统的考虑，最大限度的提高获胜的概率，而影响胜负的因素包括身高，体重，技巧，力量等原因。

首先，对体重进行分析；体重的大小直接影响到摩擦力的大小，根据牛顿第三定律合外力提供加速度可知，合外力等于绳子的拉力与摩擦力之差，对这两个力比较，来确定摩擦力的大小，但是拔河比赛是一种多人合作的比赛形式，它主要体现在人与人之间的团队合作。

所以两队的总体重也将会大体相同，虽然有所区别但是影响力不会太大，体重稍重的将会赢取比赛的可能性增大。

其次，对力量进行分析；将两队分别看成一个总体，两队所受到的力是作用力与反作用力，大小相等方向相反，所以跟力气并没有必然的关系。

再次，对身高进行分析；身高的大小影响到重心的高低，需要利用牛顿定律对重心的高低进行分析，对身高高的在前和身高低的在前两种情况进行分析，得出较有利的情况。

最后，对技巧进行分析；巧妙的利用各种技巧增大获胜的可能性，其实利用技巧归根结底也是增大摩擦力来间接增大拉力。

总而言之，上述几种因素的变化都是为了合理的安排队员的位置，来提高获胜的可能性。

3.2问题二的分析

主要让我们解决比赛获胜规定为拉过绳索4米是否科学；因为在拔河的过程中队员所用的力并不是恒定不变的，具有一定的波动性，刚开始人的力气比较大，之后拉力随着时间的推移也将随之减少，该过程类似于余弦函数，列出加速度与时间以及速度与时间的微分方程，对加速度进行双重积分就可求的移动位移的表达式，通过网络查询出拔河比赛的周期，以及所用的压力差，带入数据即可求的所需移动的距离，将其与4米比较，如果小于4米说明拉过绳索4米是科学的，否则是不科学的。

3.3问题三的分析

为提高学生的身体素质，有人提出通过经常进行拔河比赛来吸引更多的学生参加，这就要求设计一个既能保证在校大部分学生参加，又能体现比赛竞争力的拔河比赛规则，为了吸引更多的学生制定的条件不要太苛刻，应该给学生充分的自由空间，对于临近比赛有特殊情况的学生，一旦经对方同意之后，可以找他人替代，凡是在校的所有学生都可以参加，并且给予参加者一分级方法，它是根据体重的重量进行分级的，由模型一的分析可知，重量较重的应该放定的物资和精神奖励，为了公平起见需要同等年级和相邻年级的学生进行比赛，还要提高比赛的安全性，要规定比赛的赛场范围，以及有必要的坐垫；因为拔河比赛有各种比赛在队伍的后方，所以在比赛选取人物的过程中，尽量选择重量级人物来提高竞争力；提高竞争力需要队员设置不同的奖项，评选出冠军和亚军班级，增强学生的集体荣誉感以及好胜的能力。

最后还要结合模型一和模型三对参赛选手的体重和移动的位移进行分析，分别讨论两种因素对人们吸引力和竞争力的影响。

3.4问题四的分析

根据问题三制定的拔河比赛的规则，以此向全国大学生体育运动组委会提出将其列入全国大学生正式比赛项目的提案；

首先，要了解提案的内容包括前言，背景，目的，构想，策略，要件，粗略性的行程表，预算，风险课题以及结尾。

其次，要明确各内容所包含的知识，也就是需要记录的信息，对知识进行系统的分析。

最后，结合拔河比赛事件模型三设计的规则写出比赛项目的提案。

4模型建立与求解

4.1模型一：

如何安排队员位置能使该队在比赛中发挥最大能量。

根据问题一的分析可知，如果想在比赛中最大限度发挥该队的潜力，需要对队员的位置进行合理的安排，才能保证赢取比赛的可能性增大，但是在站队过程中影响胜负的因素包括参赛人的体重，身高，力量和技巧等。

将每个参赛队伍中的所有成员看为一个整体，对这个整体进行受力分析可知受到鞋底与地面的摩擦力和手与绳子之间的拉力，受力如图1所示

图1拔河比赛的受力分析

根据图1的受力情况，对物体进行分析可知，物体受到拉力，重力，支持力，摩擦力四个力的作用，向下的重力和向上的支持力的合力为0，水平方向上受到摩擦力和拉力，由牛顿第三定律可得合外力

当时，即，此时拉力大于摩擦力，队将会向队移动，最终将会使比赛失败，为了赢取比赛需要尽可能大的将摩擦力转化为拉力，因此增加拉力也就是增加摩擦力，而：

正压力的大小与人的体重有关，然而假设中鞋底与地面的摩擦系数相同，所以只与体重向关联，为了增大摩擦力双方会找体重大的人参加比赛，题目中又将总体重分为十个等级，并且每个等级相差40公斤，相差的范围较大，所以可以将双方的中体重近似看为相同。

但是也有例外的情况，如果一方的体重与另一方的差距较大，那么体重大的获胜概率较大。

此时忽略了绳子与手之间的摩擦力和手的力量。

在两队的拔河比赛中，队受重力、支持力、静摩擦力和绳的拉力，队受力情况和队相同。

绳受到两个力（忽略绳子的重力），即对绳的拉力和对绳的拉力，当绳移动得很慢时，可以看作是匀速直线运动，这两个拉力是一对平衡力，大小相等。

根据牛顿第三定律（即当物体给物体一个作用力时，物体必然同时给物体一个反作用力，作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上），对绳的拉力和绳对的拉力是一对相互作用力，大小相等，对绳的拉力和绳对的拉力是一对相互作用力，大小相等。

因此，对于拔河的两个队，对施加了多大拉力，同时也对施加一个同样大小的拉力。

既然双方所受拉力的大小相等，应该不可能分出胜负，实际上总有一方获胜。

可见，双方之间的拉力也就是双方的力气并不是决定胜负的因素。

因为影响因素众多，各个因素对拔河比赛的影响力也有所不同，上述已经说明体重和力量对比赛的影响较小可以忽略不计，所以根据所学的层次分析法分析身高和技巧两因素占有的权重：

影响因素

身高

体重

技巧

力量

目标层O啊

准则层

措施层

方法一

方法二

图2层次分析法的分层

层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例，需要对层次分析法进行单排序及一致性检验，首先需要判断矩阵对应于最大特征值,因为判断矩阵

利用软件（附录A）就可求的最大特征根，所以矩阵为非一致性矩阵，比大得越多，的非一致性程度也就越严重，对应的标准化特征向量也就越不能真实的反映各因素所占的比重，因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。

对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：

（i）计算一致性指标

=

（ii）查找相应的平均随机一致性指标。

对，Saaty给出了的值，如下表所示：

表1平均随机一致性指标

123456789

000.580.901.121.241.321.411.45

的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：

随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值，并定义

（ⅲ）计算一致性比例

又因为当时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正，所以时该判断矩阵的一致性是可以接受的。

进而可得到各因素所占的权重为

表2各因素所占的权重

因素

权重

身高

0.7241

体重

0.3873

技巧

0.5333

力量

0.2032

根据上表的权重可知身高和技巧对拔河比赛的影响较大，身高的高低决定着重心的高低，然而重心的高低又进一步的影响着摩擦力的大小，由牛顿第三定律的原因，己方摩擦力的变化将会直接关系到对方拉力的变化。

因此身高是决定胜负的主要因素，但是不同身高的人有两种站法，即站在队伍的前方和站在队伍的后方。

分别对这两种站法进行分析

（i）假设身高高的人站在队伍的前方

身高高的站在前方提高了前方的重心力，后面的矮个队员的重心相对于前方高个子队员的重心较低，这样就增大了高个子队员向下的压力，从而使对方的重心也随着相应的增高，摩擦力也跟着减少，使得对方的拉力减少，更容易被拉着滑动。

但是这样存在着一定的弊端，将会导致后面的队员使不上力气。

如果以脚参赛队员的脚为轴，后方队员将会被甩动旋转。

这就需要身高高的队员站在队伍的后方，如下图拔河比赛时人的运动方向以o为支点由1点运动到2点，绳子的高度在逐渐下降，所以在比赛时队员由高个子在首位，后面逐渐降低较合理，若个子较低的站在前面时，后面的个子高的队员在拉绳子的同时，也在把前一个队员向上拉，所以更费劲。

图3拔河中运动趋势

假设下图为从左到右依次队员由高到底，绳子与地面的夹角越来越小，最终基本保持平行，所以把体重较大的队员放在最后使其有更大的摩擦力。

若是质量大的队员站在前面会因为绳子的倾斜，而对队员有向上的拉力，使站在前面的队员的摩擦力减小，所以为了这种情况发生，可以选择质量小的队员，使摩擦力降低的变化最小。

图4绳子与地面的夹角及高度变化

（ii）假设身高低的人站在队伍的前方

身高低的站在前方，使得前方的重心低于后方的重心，更利于把握方向感，这样也能使对方的重心相应的提高，才能确保绳子为直线，从而降低了对方向下的正压力，摩擦力减小，摩擦力的减小对应着拉力的减少，因此更容易胜任另一方。

从此之外，技巧的好坏也影响着拔河比赛的胜负，这就要求参赛队员掌握一定的专业技巧，比如身体后倾，这样可以增大摩擦力以及拉长力矩；手上最后缠用浑水渗湿的粗布条，可以增大手部的力气；采用丁字步站法；采用传统的双手握法；还有重要的一点是队员的合作能力，当比赛开始时所有队员将齐心协力同时用力，采用1发力2闷劲的速战法，寸土不让，步步紧逼，打破对手用力节奏以及整体战术，给对手以压力，达到出奇制胜的功效。

最后是把握时机。

获得最终的胜利。

综合上述的分析可知，如果某方想在拔河比赛中发挥该队的最大能量，身高高的在前方；胖的和身高低的以及力量较大的在后面；身高，体重，力气一般的在中间，并且在比赛中要掌握一定的技巧。

4.2模型二：

判断比赛获胜规定为拉过绳索4米是否科学。

在拔河比赛中队员的力气并不是保持恒定不变，而是有一定的波动性；刚开始由于

没有力气损耗，加上队员的积极性比较高，所以力气相对较大为。

而随着比赛的进行，人的体力大量的消耗，力气达到最小值为，得：

但是在比赛中队员的力量不可能突变，力气的变化将是一个持续的过程，刚开始力气为最大值，随着时间的推移力气将逐渐的减少，但是不会一直降低；在比赛中有的队员可能存在一定的后劲，所以又将达到最大值，此过程的变化类似于余弦函数，如下图所示：

图5拉力大小的变化

将其理想化为余弦函数，可得合外力:

由牛顿第二定律可知：

合外力提供加速度，可得：

=

对加速度进行积分得到速度方程为：

利用（见附录A）解得：

又因为余弦函数的周期为2，所以拔河比赛的周期：

对速度进行积分得到位移的方程为：

同理利用得：

（1）

通过百度搜索（见附录B）出拔河拉力曲线参数,可知最大拉力约为1580，最小拉力约为250，持续拉力为780

可求得

经查阅资料（见附录C）可知人的平均体重约为70，所以

将所得数据带入

（1）式可得到，所以比赛获胜规定为拉过绳索4米是科学的。

4.3模型三：

设计既能保证大部分人参加，又能体现竞争性的拔河比赛规则。

当前我国在校学生的体质普遍不强，想要通过经常进行拔河比赛来吸引更多学生参加，这就要考虑到学生的参加人数以及比赛的竞争性，需要对比赛制定相应的比赛规则。

1、比赛各项事情

（1）各年级每班组织两个队伍参加比赛，男、女每队参赛选手不少于8人。

（2）拔河道在粗糙水平面，地上画3条直线，间隔为2m，居中的线为中线，两边的线为河界。

除参赛的学生以及当裁判的老师或学生等协作人员以外，其他人员一律不得进入拔河道。

（3）绳子中间系一个红色的标记物，在每对的队伍前系一个白色的标记物。

（4）每个队伍必须在本队员之间选出一个队长，以维持本队的比赛纪律。

（5）比赛所有的安全保护措施由学校提供。

（6）不准带手套，但得使用碳酸镁粉。

（7）鞋底不得有止滑设施。

（8）不能用药品等物。

（9）经由裁判员的许可，才可使用负伤包扎或绷带等，其治疗负伤以最小限度为原则。

2、选手的替补

（1）替补选手二名，但必须与参赛队伍是同一班级。

（2）比赛前的选手替补，须在出赛前，向大会提出出赛队员名单中，登记替补队员名字及号码，替补手续才算完成。

（3）每局间替补，队长向裁判提出申请，经裁判确认资料之后才能替补，提出替补申请必须在前一局比赛后马上提出。

3、比赛分配

一年级

二年级

三年级

四年级

五年级

六年级

冠、季军组

学校前三名

冠、季军组

冠、季军组

冠、季军组

冠、季军组

冠、季军组

冠、季军组

冠、季军组

冠、季军组

图6比赛分配原则

初中组、高中组与小学组的比赛分配规则一样

4、比赛方法：

采用三局定胜负的方法

（1）先是同年级的各个班级之间的比赛，在每个年级选出冠、季军组。

（2）再是每两个年级之间的冠、季军组之间互相比赛，积分多者胜。

（3）比赛开始前，各队按照每8人的要求准备好，比赛开始后，运动员同时发力，将对方拉过赛场规定的河界线为赢。

（4）比赛不限制时间，一直到能判断胜负为止。

（5）同年级、各年级之间的比赛以抽签决定比赛队伍，三局定胜负，第一局必须事先抽签来决定场地，第二局场地交换，第三局抽签决定场地，每轮比赛胜队进入决赛。

（6）成绩计算：

胜1分，负0分。

对手弃权得1分。

比赛结束后，积分最多者名次列前，取前三名；积分相同者，加赛决定胜负。

5、比赛结束

（1）每一局胜负判定:

本队绳子的白色记号区，被拉到最远方的2m线，则绳子移动4m为胜负之判定。

不限制时间，一直到能判断胜负为止。

（2）裁判判为违反规则，并被宣告失格。

退场的比安队伍，算此局比赛失败（一局比赛时，这场比赛失败）。

（3）裁判可视危险程度，宣判在进行中的比赛中断，并以绳子中心记号区的位置判定胜负。

尤其是小学生及高龄者的比赛，如时间太长，运动太激烈产生过度疲劳时，裁判可视当时情况，以中心记号区位置为判定胜负之根据。

（4）每一局比赛结束的手势:

裁判吹哨子（两手在头上做几次大交叉的动作），表示此局比赛结束。

比赛中，主裁判作出比赛结束手势前，如两队同时倒下或自己认为获胜而站起来等，比赛必须继续进行。

6、重赛原则

（一）重赛判断

（1）两队同时犯规，经裁判利斯为无法继续比赛时。

（2）判断胜负之前，两队队员双手离开绳子，经裁判判断为不适合继绩比赛时。

（3）观众及其它外在因素，比赛受妨碍，主裁判判断为无法继续比赛时。

（二）重赛的比赛开始

（1）重赛的重新开赛时，与原比赛开始时同样位置。

（2）犯规时，不得有休息时间，马上重新比赛。

（3）重新比赛时，不得替补以及变更选手职位。

（4）因外在因素影响时，得有适当休息时间（例如选手饮水、擦汗等）。

7、惩罚原则

（一）注意。

比安中选手犯规时，依犯规情形提醒选手“注意”。

裁判必须将选手犯规情形，用语言及手势传达，让选手明白。

（二）警告。

（1）重复犯规，已经被注意二次，再有犯规行为时，不再提醒注意马上给予“警告”通知。

（2）警告有两次机会，第一次警告及第二次警告，第三次警告时立刻失去比赛资格。

（3）犯规是以全体队员犯规处理，即使只有一人犯规也视同全体队员犯规论。

（4）一人或一人以上同时犯规时，宣判一次警告

（5）第一次警告时，裁判报告犯规者的位置。

继续警告时，用口头告知犯规者位置以及用手势表示犯规动作，同时用手指表示“警告”的次数。

（6）拔河比赛招致有损名誉，非正当言词及态度时，判定为失败论。

8、结合模型一和模型二可知：

拔河比赛中根据体重的大小有各种比赛分级方法，体重大者重力也大，在摩擦系数一定的情况下，重力大的摩擦力也相应的增大，这样就激发人们在选择参赛选手时尽量的选取体重较大者，提高了各班级选取的竞争力，都争着选重量大的人物。

9、比赛的胜负规定为拉过绳子4米，这样能保证竞争的公平性，如果距离过小，可能是由于参赛选手力气的爆发力，拉过一小段的距离，并不能维持太长的时间，被对方拉过去的可能性极大。

如果距离过大，人的耐力是有限的，当参赛队员的耐力耗费完全时，脾气暴躁的人可能有违纪的概率，最终导致赛场的混乱，所以规定的距离要适中。

4.4模型四:

关于将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。

根据提案的内容可以分为以下九个内容：

4．4.1前言

当前我国在校学生的体质普遍不强，这不利于在校学生的身体情况和正常的发育，这对学生的身心和学习都有不同程度的影响。

4.4.2背景

拔河比赛始于我国春秋时期，是一项具有广泛群众基础且受人们喜爱的运动，可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神，根据大众的建议，提出想用经常进行的拔河比赛来吸引更多的学生参加运动，让更多的学生喜欢运动，以提高学生的身体素质。

4.4.3目的

在学校不对此进行太多的投资的情况下，让此项运动取得好的成绩，并且吸引更多的学生，进而提高学生的身心健康，来降低学习过程中带来的压力，也增强了学生之间的沟通能力，使得学生之间做进一步的了解。

4.4.4构想

在经过几个月的情况下，在校学生的身体素质有较大的改观，同时学生的学习面貌会有比较大得改观。

4.4.5对策和要件

（1）由教育部下发关于《拔河比赛的通知》，再由各个高校具体实施拔河比赛事宜。

（2）本项赛事的具体规则与模型三相似。

4.4.6粗略性的时间表

根据比赛的具体时间，发出比赛《通知》确定参赛队伍。

根据队伍的数量和相应的比赛场地安排比赛时间。

最好选择风和日丽的天气，这样参赛队员的心情也有所提高，增加了参赛的积极性。

4.4.7预算

（1）对于在此项活动做的好的学校，地方教育部门或中央教育部应给予一定的奖励。

（2）对取得好成绩的队伍在精神和物质上给予一定的奖励，这个由学校自己决定。

4.4.8风险课题

（1）在拔河比赛过程中，可能会出现因参赛时间过长而出现晕厥，

（2）比赛出现在夏天，而出现中暑情况。

（3）比赛过程中出现队员中途退场

4.4.9结尾

将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目，不仅仅提高了学生对拔河运动这一项活动的积极性，同样也因为学生亲身体验到运动给他们带来得好处，让在校学生对体育运动有一个深刻的印象，对自己参加体育运动也提供了一个发展的平台,使得我国高校在校学生的整体身体素质有了一个很大得提高，并且在今后的一段时间内，学校内会出现运动热潮,不单如此,也降低了学生在学习过程带来的种种压力,使同学在乐中学习提高学习的效率。

5模型检验

5.1灵敏度分析

由于模型一中对结果产生的影响因素较多，所以在此取一个因素进行灵敏度分析，在模型中人的体重都理想化为70，实际并非如此，模型对这个参数的敏感性反映了各种因素影响结果对的显著程度；反之，通过对模型影响因素的稳定性