初一学科数学版本人教新课标版2.docx

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初一学科数学版本人教新课标版2

一、学习目标：

1.了解方程组及其相关概念，掌握用代入法和加减法解方程组，能够利用方程组分析和解决实际问题．

2.了解一元一次不等式（组）及其相关概念，掌握一元一次不等式（组）的解法，并能在数轴上表示出解集，能用不等式（组）分析和解决实际问题．

3.了解通过全面调查和抽样调查收集数据的方法，能够利用统计图表整理和描述数据．

二、重点、难点：

重点：

方程组、不等式、不等式组的解法，频数分布直方图．

难点：

利用方程组解决多个未知数的应用问题，利用不等式（组）解决方案设计型综合问题．

三、考点分析：

这三章内容在中考中所占比重较大，估计在15分以上．其中对于方程组和不等式的考查，除了以选择题和填空题直接考查外，还经常将二者结合在一起以应用题的形式进行考查．对于统计调查的考查，一般设置一道关于调查或统计图的选择题或填空题．对直方图的考查则单独设置一道解答题．从总体上讲，方程组和不等式是基础知识，其他知识经常用到二者，所以对它们的考查间接性的题目更多一些．而关于统计的知识是独立的，和其他知识联系不大，所以关于统计的题目一般比较“单纯”，综合性不强．

1.二元一次方程组

解二元一次方程组的基本思路是消元，消元必须通过合理、有效的方法减少未知数，最后只剩下一个未知数，其实质就是减少未知数的个数（化多元为一元）．

对于系数比较复杂的方程组，一般先化简再消元．常用的消元方法有代入法和加减法．

代入消元法适用对象：

两个方程中有一个方程某未知数的系数比较简单（最好为1或－1），如：

；有的方程组可以用整体代入法，如

．

加减消元法的适用对象：

两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等，如：

；两个方程的某个未知数的系数的绝对值成整数倍，如

；以上两点都不满足时，选择消去系数最小公倍数较小的未知数，如

．

2.不等式与不等式组

一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法非常接近，唯一不同的是：

解不等式时，两边都乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变．

解方程组的基本思路是消元，解不等式组的基本思路是找出各不等式解集的公共部分，通常借助数轴来找．

3.数据的收集、整理与描述

统计调查的方法有两种：

全面调查和抽样调查，调查时，可用不同的方法获得数据，除问卷调查、访问调查外，查阅文献资料和实验也是获得数据的有效方法．抽样调查的样本必须具有广泛性和代表性．

数据的收集与整理在统计学中是不可缺少的两个重要环节，而扇形统计图、条形统计图、折线统计图、频数分布直方图都能使统计数据直观化，是描述数据的重要方法，它们各有优点，把握其优点，正确选择合适的统计图表会给我们研究问题带来很大方便．更重要的是我们要学会通过分析统计图获得我们所要了解的信息．

知识点一：

方程组、不等式的综合问题

例1.王刚解得方程组

的解为

．由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数¤和◎，请你帮他找回¤，这个数¤＝__________．

思路分析：

1）题意分析：

根据题意可知，王刚同学得出的方程组的解是正确的，只是有两个数被遮住了．

2）解题思路：

可将x＝5代入方程组中的2x－y＝12，求出y的值，再把x和y的值代入2x＋y＝¤，求出¤的值．

解答过程：

把x＝5代入2x－y＝12得：

y＝－2，再把x＝5，y＝－2代入2x＋y＝¤得：

¤＝8．

解题后的思考：

这道题虽然比较新颖，但实际上是考查方程组的解的含义．

例2.在直角坐标系中，点P（6－2x，x－5）在第四象限，则x的取值范围是（）

A.3＜x＜5B.x＞5C.x＜3D.－3＜x＜5

思路分析：

1）题意分析：

第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0．

2）解题思路：

因为点P在第四象限，所以

，解得x＜3．

解答过程：

C

解题后的思考：

这类题在各类考试中比较常见，是典型的用不等式描述点的坐标特征的题．

例3.一个三角形的两边长分别为7cm、11cm，那么它的周长L的取值范围是什么？

思路分析：

1）题意分析：

由于三角形的两条边是已知的，那么周长的取值决定于第三条边．

2）解题思路：

应先求出第三条边的取值范围，第三条边的范围根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求出．

解答过程：

设第三条边为xcm，由三角形的三边关系得：

11＋7＞x＞11－7，所以4＜x＜18．

所以三角形的周长L的取值范围是：

11＋7＋4＜x＋7＋11＜11＋7＋18，即22＜L＜36．

答：

三角形的周长L的取值范围是22cm＜L＜36cm．

解题后的思考：

我们在解这个不等式时，是将此不等式的三边同时使用不等式性质，最后求得其解集，如果这类连写不等式不只是中间项含未知数，就不能这样解了，就得把它写成不等式组的形式，再解不等式组．

小结：

方程和不等式是解决数学问题的常用思想方法，其他知识与之综合的题目最为常见，在本学期内容中，其主要表现在：

平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形的三边关系等问题中．

知识点二：

方程组、不等式、统计的实际应用问题

例4.某工厂去年总产值比支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元，已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总产值和总支出各是多少？

思路分析：

1）题意分析：

本题有两个相等关系：

去年总产值比支出多500万元，今年计划的总产值比总支出多950万元，应该用方程组来解．

2）解题思路：

不妨设去年总产值为x万元，总支出为y万元，则今年计划的总产值为（1＋15%）x万元，总支出为（1－10%）y万元，依题意可列方程组求解．

解答过程：

设去年总产值为x万元，总支出为y万元，则今年计划的总产值为（1＋15%）x万元，总支出为（1－10%）y万元，

依题意得

，

解得

，所以2000×（1＋15%）＝2300，1500×（1－10%）＝1350．

答：

今年计划的总产值为2300万元，总支出为1350万元．

解题后的思考：

解决本题的关键在于利用所设去年的总产值和总支出分别表示出今年的总产值和总支出，再列方程组．

例5.某次数学测验，共16个选择题，评分标准为：

对一题给6分，错一题扣2分，不答不给分．某个学生有1题未答，他想自己的分数不低于70分，他至少要答对多少题？

思路分析：

1）题意分析：

该同学有1题未答，不答不给分，说明他只答了15题，最高可得15×6＝90分．

2）解题思路：

设该同学答对了x题，则答错了（15－x）题，根据得分不低于70分列不等式．

解答过程：

设他至少答对x题，则答错（15－x）题，根据题意得：

6x－2（15－x）≥70，解得x≥12

．

所以该同学至少要答对13题．

解题后的思考：

解答这类问题时，要注意两点：

一、评分标准，对一题给多少分，错一题是不是扣分，不答是不是扣分；二、注意最后的取值，在本题中要求至少要答对多少题，也就是求在x≥12

范围内的最小正整数解．

例6.双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元．

（1）求A，B两种型号的服装每件分别为多少元？

（2）若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，但A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？

如何进货？

思路分析：

1）题意分析：

A、B两种型号的服装售价不同，每种服装的获利也不同，应注意区分．

2）解题思路：

（1）题用方程组来解，

（2）题用不等式组来解，有两个不等关系：

A型服装的购进件数≤28件，总获利≥699元．

解答过程：

（1）设A种型号的服装每件为x元，B种型号的服装每件为y元，根据题意，得

，解得

．

答：

A，B两种型号的服装每件分别为90元和100元．

（2）设B型服装购进m件，则A型服装购进（2m＋4）件．

根据题意，得2m＋4≤28且18（2m＋4）＋30m≥699．

可求得9

≤m≤12，因为m为正整数，所以m＝10、11、12，此时2m＋4＝24、26、28．

答：

有三种进货方案：

B型服装购买10件，A型服装购买24件；或B型服装购买11件，A型服装购买26件；或B型服装购买12件，A型服装购买28件．

解题后的思考：

方案设计型的应用题一般都是通过不等式或不等式组来解决的，而且不等式或不等式组的整数解决定具体方案的制订．

例7.2011年某车站在春运期间为改进服务，抽查了100名旅客从开始在窗口排队到购到车票所用时间t（以下简称购票时间，单位：

分钟），得到如下表所示的频数分布表．

分组

频数

频率

一组

0≤t＜５

0

0

二组

5≤t＜10

10

0.10

三组

10≤t＜15

10

四组

15≤t＜20

0.50

五组

20≤t＜25

30

0.30

合计

100

1.00

（1）在表中填写缺失的数据；

（2）画出频数分布直方图；

（3）求购票时间的平均数；

（4）若每增加一个购票窗口可以使平均购票用时降低5分钟，要使平均购票用时不超过10分钟，那么决策一下至少要增加几个窗口？

思路分析：

1）题意分析：

本题前两问是补充统计图表，比较容易，后两问需进行计算．

2）解题思路：

在第（3）题中，购票时间是一个范围，购票时间的平均数也应在某一范围内；在第（4）题中，根据“不超过”的含义，应该用不等式来解．

解答过程：

（1）0.1050．

（2）频数分布直方图如下：

（3）

＝15，

＝20，

所以15≤t＜20，即购票时间的平均数在15分钟至20分钟之间．

（4）设需要增加x个窗口，则可得20－5x≤10，即x≥2，所以至少要增加2个窗口．

解题后的思考：

本题的难点在第（4）问，要使购票时间不超过10分钟，列不等式时需：

最大购票时间－增加窗口所减少的时间≤10．

小结：

方程组、不等式、统计的实际应用问题是一类比较重要的题型，特别是在一些方案设计、决策问题中，方程和不等式的综合运用最为常见，有少数统计问题需要借助方程和不等式来解．

1.在学习本讲内容时，要注意类比的思想，方程和不等式的解法有许多相通的地方，注意正确地区分它们．

2.在运用本讲知识解决实际问题时，要注意建模思想，根据题意梳理数量关系，区分相等关系与不等关系，建立方程或不等式模型，转化为数学问题．

（答题时间：

60分钟）

一、选择题．

1.以方程组

的解为坐标的点（x，y），在平面直角坐标系中的位置是在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列各组中三条线段的长度能组成三角形的是（）

A.1cm、2cm、3cmB.1cm、1cm、2cm

C.1cm、2cm、2cmD.1cm、3cm、5cm

3.买苹果和梨共50千克，其中苹果的质量是梨的2倍少8千克．若设买苹果x千克，买梨y千克，则列出的方程组应是（）

A.

B.

C.

D.

4.下列说法中正确的是（）

A.有且只有一条直线垂直于已知直线．

B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．

C.互相垂直的两条直线一定相交．

D.直线c外一点A与直线c上一些点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm．

5.不等式组

的解集表示在数轴上为（）

6.已知一个二元一次方程组的解是

，则这个方程组是（）

A.

B.

C.

D.

*7.一种品牌的彩电进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于彩电积压：

商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5％，则至多可以打（）折

A.6B.7C.8D.9

**8.若不等式（a＋4）x＜5的解集是x＞－1，则a的值为（）

A.－6B.－5C.－9D.－15

二、填空题．

9.在二元一次方程2x＋y＝9中，若x、y互为相反数，则x＝__________，y＝__________．

10.不等式5x－12≤2（4x－3）的负整数解是__________．

11.如图所示，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若沿虚线剪去∠A后，∠1＋∠2＝__________．

12.小明对某市的一个文明小区500户家庭拥有电话机、电脑的情况进行了抽样调查，得到如图所示的扇形统计图．根据图中提供的信息，有电话机、电脑各一台的家庭有__________户．

13.一个多边形的每一个内角都是140°，则它的每一个外角都等于__________，它是__________边形．

*14.若方程组

的解满足x＋y＝

，则m＝__________．

三、解答题．

15.解方程组：

．

16.解不等式组

，并把它的解集表示在数轴上．

17.如图所示，AB∥CD，∠B＝45°，∠D＝∠E，求∠E的度数．

18.如图所示，已知线段OA的端点O的坐标为（0，0）．

（1）写出端点A的坐标；

（2）将线段OA向上平移两次，每次平移1个单位，写出两次平移后线段OA的两个端点的坐标；

（3）在

（2）的基础上，再将线段向右平移2个单位，写出线段OA的两个端点的坐标；

（4）在（3）的基础上，允许进行两次平移，每次平移1个单位，能还原到原来的位置吗？

请你试一试？

四、拓广探索．

*19.某中学为促进课堂教学，提高教学质量，对七年级学生进行了一次“你最喜欢的课堂教学方式”的问卷调查．根据收回的问卷，学校绘制了“频率分布表”和“频数分布条形图”（如图）．

频率分布表

代号

教学方式

最喜欢的频数

频率

1

老师讲，学生听

20

0.10

2

老师提出问题，学生探索思考

100

3

学生自行阅读教材，独立思考

30

0.15

4

分组讨论，解决问题

0.25

请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）补全“频率分布表”；

（2）在“频数分布条形图”中，将代号为“4”的部分补充完整；

（3）你最喜欢以上哪一种教学方式或另外的教学方式，请提出你的建议．并简要说明理由．（字数在20字以内）

一、选择题：

1.A2.C3.D

4.D解析：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以A错误；点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，所以B错误；在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交．在空间，两条直线可以互相垂直但不相交，如教室里前面墙壁的下边线和右边墙壁的上边线互相垂直但不相交，所以C错误；选项D正确．

5.B解析：

这个不等式组的解集是－1＜x≤3．

6.C解析：

注意选项A不是二元一次方程组．

7.B解析：

设至多可以打x折出售，则1200×

－800≥800×5%，解得x≥7，所以至多可以打7折出售．

8.C解析：

只有当a＋4＝－5时，不等式（a＋4）x＜5的解集是x＞－1，所以a＝－9．或采用试值法，将四个选项代入检验．

二、填空题：

9.9，－9解析：

依题意，把y＝－x代入2x＋y＝9中，得x＝9，则y＝－9．或解方程组

．

10.－1、－2解析：

解这个不等式得x≥－2，其中负整数解是－1、－2．

11.270°解析：

可根据三角形外角和求∠1＋∠2，因为∠1和∠2是图中小三角形的两个外角，此三角形点A处的外角是90°，所以∠1＋∠2＝360°－90°＝270°．或根据四边形内角和求解．

12.100解析：

由扇形图可知，有电话机、电脑各一台的家庭所占百分比是1－78%－2%＝20%，所以有电话机、电脑各一台的家庭有500×20%＝100（户）．

13.40°，九解析：

因为这个多边形的每一个内角都是140°，所以它的每一个外角都等于180°－140°＝40°．设这是一个n边形，则（n－2）·180°＝140°·n，解得n＝9．或依据外角度数计算边数，因为这个多边形的每一个外角都是40°，所以其边数是360°÷40°＝9．

14.0解析：

本题解法较多，方法一：

解

，把解代入3x＋2y＝2m－3；方法二：

直接从

中解出m；方法三：

在

中令①＋②并变形为x＋y＝

，得

＝

，解出m．

三、解答题：

15.解：

将原方程组去分母变形为

，令①×3＋②×2得17y＝306，解得y＝18．将y＝18代入

－

＝3得z＝12．所以原方程组的解是

．

16.解：

原不等式组的解集是－

≤x＜1，在数轴上表示如下：

17.解：

因为AB∥CD，∠B＝45°，所以∠CFE＝∠B＝45°．因为∠CFE是△EFD的一个外角，所以∠CFE＝∠E＋∠D，又因为∠D＝∠E，所以45°＝2∠E，即∠E＝22.5°．

18.解：

（1）A（2，1）；

（2）O（0，2）、A（2，3）；（3）O（2，2）、A（4，3）；（4）不能．

四、拓广探索：

19.解：

（1）频率分布表如下：

代号

教学方式

最喜欢的频数

频率

1

老师讲，学生听

20

0.10

2

老师提出问题，学生探索思考

100

0.50

3

学生自行阅读教材，独立思考

30

0.15

4

分组讨论，解决问题

50

0.25

（2）频数分布条形图补充完整如下：

（3）我喜欢第2种方式，因为喜欢这种方式的人数最多．（注：

回答另外的方式或其他方式也可，但避忌不着边际的回答或建议。