误差
12
O.81OC3
0.06J55
校正合计
13
51.90170
均方犠谍差
0.25S91
R方
09E44
因变量均値
1.29084
调整R方
0.9（831
鉴异系数
2U1349B
彗数怙计値
变早
自由度
怙计值
标准误差
t值
Pr>|t|
1ntercept
1
9.56399
0.30<*45
30.07
<.000II
X
1
-4./s«a&
D.17232
-2J.5D
<.0001
输岀统计星
观测
因变早
预测值
标准渎走均值预测
95%CL
预测
残差
1
4.7000
4.3712
0.1313
373C2
5.0061
0.3289
2
3./（Wl
3.89/3
0.11/b
3.2/feU
4.siin
-0L1S72
3
3.0002
Z4234
0.1041
2.S133
4.0334
-0.4231
片
工丨泗
2.9495
0.M20
23487
3.5502
0.2504
5
2.3997
2.4756
o.oen
1B819
it.392
0.0759
6
2.0001
20017
0.0741
14120
2.5905
-0.0DI549
7
1.5994
1.52/8
0.D/00
09413
2.1143
0LU716
8
1,0006
1.0533
0.0700
0.W4
1.C40d
-0.0533
9
0.5908
0.5Q00
0.0741
-».009876
L1609
0.0180
10
d3938
0.llXil
0.0917
-0.4575
0.6S97
0.2购7
11
-0.1905
-0.3S7G
0.0920
-09886
0.2323
0.1693
12
-1.2040
•0.8+1/
0.1041
14517
-0.2311
0l3（523
13
-1.609-1
-1.3150
0.1175
-19371
-0.G941
-0.2S39
14
-1.5141
-1.7035
0.1318
•2.42彳4
-L1545
0.2754
H
1*
D.■罪
Ad^FEOnbsi
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霜暑口田念12NSJFDOB?
*
R方D
鼻整覽力i0WJ1
I；台□SBt■JUHw列羽
程序说明：
（1）调整后的R2=0.9831,说明拟合程度很好；F检验的P值=O.OOO1Va=0.05,拒绝原假设，故直线回归的斜率不为0;
（2）将线性回归系数代入，得到原回归方程
y=14530.28*e-4.73895x
（3）残差图趋势，符合残差随机正态分布的假设（不带其它明显趋势）。
、多项式回归
一般函数都可用多项式来逼近，故多项式回归分析可用来处理相当广泛的非线性问题。
对观测数据（Xt,yt）,t=1,…,N.多项式回归模型为：
yt=%++方…+b玳x；+令*尸12…皿|令
］勺£-*■
_£11
Y=\
1$Xy…
€
jB=
r£二
」x.vx.v"
爭N.
则模型可写为:
Y二XB+£
当X列满秩时，用最小二乘估计B=XX"XY可求得其多项式回归方程。
但由于XX」的计算既复杂又不稳定，故一般采用正交多项式法来进行多项式回归。
多项式模型可以直接应用GLM（广义线性模型）求解。
例2重庆市种畜场奶牛群1—12月份（x1）,产犊母牛平均产奶量（y）的资料如程序数据步中，试对该资料配置一个合适的回归方程。
代码：
dataexam25_2;inputx1y@@;x2=x1*x1;
datalines;
13833.43
73476.76
23811.58
83466.22
33769.47
93395.42
43565.74
103807.08
53481.99
113817.03
63372.82
123884.52
run;
procsgplotdata=exam25_2;
scatterx=x1y=y;
title'原始数据散点图';
run;
procregdata=exam25_2;
modely=x1x2;
run;
运行结果：
SQD
3™
阙.
Mir
REG过程
按型：
M0DEL1
因变军：
y
iiffi（的观测数匹
便用的规测数12
方苣分斬
源
白由度
平方和
均方
F伯
Pr>F
模型
2
332594
16G2S7
16.89
0.000!
）
误葢
9
83501
93H56254
校正合计
11
4?
1195
均方根淒差
9H.21977
R方
0.7895
因变阜均值
3t）4O.Iflt）/
调整R方
0?
429
锂异系数
2.72609
参数怙计值
自由度
参数
怙计值
标准误差
t值
Pr>|t|
1nteroepI
1
4117.20136
102.54649
40.15
G000II
xl
1
-204.9366S
36.26837
-5.65
00（X）3
x2
1
1578670
2.71589
5.81
00003
以下列鑫的残弹七回归量：
¥
255D75100125flK5075im1251ITO
X1泛
GLM过程
源
自由度
平方和
均方
卜慎
丹>卜
2
3325S4.3259
166297.IC30
16.89
0.000（5
g口旦Be差
9
88601.0629
9844.5625
校正合计
11
421I9S.3808
Rh
姿异系数
根MSt
*均值
0.7SS644
2.725689
99.21977
3640.172
自由度
犁SS
均方
F值
Pr>b
xl
1
1L0050
11.0050
0.00
0.9741
*1*x1
1
332583.3210
332563.3210
33.78
0.0003
源
自由度
111SS
均方
卜值
Pr>卜
xl
1
314325.5414
314325.b4bl
31.93
0.tK）03
x1*x1
1
3325S3.3210
33P583.3210
33,78
0.0003
舂数
估计憤
标准误差
tffi
Pr>|t|
1ntorcnpt
4117,201364
1025464905
4a15
<.0001
x1
-204.936578
3&那£3725
-5.6&
U.0003
x1*x1
15.785599
2,7168077
681
J0003
拟合图y
料匸二1那l^Rl
程序说明：
（1）观察数据的散点图，更适合二次多项式拟合，也可以测试几种不同次数的多项式拟合选择其中最优的；
（2）将回归系数代入多项式方程得到：
y=4117.20136-204.93668x1+15.78570x12
三、不能变换为线性的非线性回归
该类非线性回归分析就是利用最小二乘准则来估计回归系数B,
使得残差平方和最小。
一般来用数值迭代法来进行，先选定回归系数的初值％,按照给定的步长和搜索方向逐步迭代，直到残差平方和达到最小。
有5种常用的非线性回归迭代方法：
高斯-牛顿法
（Gauss-Newton）、最速下降法（梯度法）、牛顿法（Newton）、麦夸特法（Marquardt）、正割法（DUD）。
高斯-牛顿法在初值选取适当，且可逆时非常有效，但在其他情形，其求解较为困难，对此，Marguardt对其中的正则系数阵作适当修正，得到了改进算法。
（二）PROCNLIN过程步
对于不能线性化的非线性模型。
其估计不能直接运用经典的最小二乘法，而需要运用其他估计方法，如加权最小二乘法、直接搜索法、直接最优法与Taylor级数展开法进行线性逼近。
此时，可以利用NLIN过程步实现相应的计算，它是采用最小误差平方法及迭代推测法来建立一个非线性模型，估计参数默认采用高斯-牛顿迭代法NLIN过程不保证一定可以算出符合最小误差平方法之标准的参数估计值。
基本语法：
PROCNLINdata=数据集;
PARMS参数名二数值；
MODEL因变量二表达式;
vOUTPUTout=输出数据集;>
说明：
（1）NLIN的可选项包括：
outest=输出数据集一一输出每步迭代的结果；
best=n只输出最好的n组残差平方和;
method=gauss|marquardt|newton|gradient|dud
|设定参数估计的迭代方法，默认为gauss（没有der.语句）；
（2）PARMS语句指定参数并赋值，一般包括参数名、初始值（GridSearch可以帮助选择合适的初始值）、迭代准则;例如：
parmsb0=0b1=1to10b2=1to10by2b3=1,10,100;
（3）bounds语句用于设定参数的约束，主要是不等式约束，约束间用逗号分隔。
例如，boundsa<=20,b>30,1<=c<=10;
（4）der.语句用于计算模型关于各参数的偏导数，相应格式
为：
一阶偏导数：
der.参数名=表达式；
二阶偏导数：
der.参数名.参数名=表达式；
例如，对于模型modely=bO*（1—exp（-b1*x））;二阶偏导数表达式：
der.b0.b1二x*exp（-b1*x）;
例3根据对已有数据的XY散点图的观察和分析，发现丫随X增长趋势是减缓的，并且Y趋向一个极限值，我们认为用负指数增长曲线来拟合模型较为合适。
代码:
dataexpd;
inputxy@@;
datalines;
0200.570300.720400.810500.870600.910700.94
0800.950900.971000.981100.991201.001300.99
1400.991501.001601.001700.991801.001901.00
2000.992101.00
procnlindata=expdbest=10method=gauss;
parmsb0=0to2by0.5b1=0.01to0.09by0.01;
modely=b0*（1-exp（-b1*x））;
der.b0=1-exp（-b1*x）;
der.b1=b0*x*exp（-b1*x）;
outputout=expoutp=ygs;
run;
goptionsreset=globalgunit=pctcback=whiteborder
htitle=6htext=3ftext=swissbcolors=（back）;
procgplotdata=expout;
ploty*xygs*x/haxis=axis1vaxis=axis2overlay;
symbol1i=nonev=pluscv=redh=2.5w=2;
symbol2i=joinv=nonel=1h=2.5w=2;
axislorder=20to210by10;axis2order=0.5to1.1by0.05;
titlel'y=b0*（1-exp（-b1*x）';
title2'procnlinmethod=gauss'
run;
运行结果：
NLIN过稈
网格搜索
b0
bl
平方和
1.（XXX）
0.（M0U
0.00140
1.0000
0.UbOO
0.0168
1.0000
0.0600
0.（Jbb2
1,0000
0,0300
0.0G66
L0000
0C1700
0.0973
1.0000
0.0800
0.1365
1.（）000
0.0900
0.17（J«
1.uouo
0.0200
0.4193
t.5000
001OU
0.3767
L0000
00100
2.1553
MLIN过程
因壹帛7
方法：
GauNewton
迭代阶段
送代
bO
bl
乎方和
0
1DQOC
（1.fMOO
0（MH40
1
0.9361
0.D419
a0005&0
2
0.9S62
0.0420
□000577
3
0.9562
0、0420
O000577
4
fl9562
0.0120
a.ODO577
Nl>lE;Uonvergcnceileriunmet.
怙计汇■&
方法
Gfiuss-Newton
迭代
4
R
2.55?
F-7
PPC（bl）
1O2SLS
RPC（bl）
9.394E-7
ObjccL
2.5SE-10
目标
n.000517
读取的观测
20
便用的观测
20
缺失的现测
0
HotelAninterceptwasnots
pecHied
forthisnode1L
源
白由度
平力和
均方
FVa1ue
以F
模樂
2
17.6717
3.8359
275733
<.0001
误差
18
0.000577
C0OC03?
未校正合计
20
17.6723
参数
估计值
近似标准淇差
近似直信限
bO
0
Q00161
0A92S
C.
hi
a0420
0.OCO398
O（J411
（J.042S
近似相关矩阵
bO
bl
bO
10000000
a5556957
b1
-（LfiS5S9S7
1*（XIOQOOO
y=b0*（1—exp（—b1*x）
pnoenlinmethod=geuiss
程序说明：
5个值，bi取0.01,0.02,…,0.09共9个值，所有可能组合为5X9=45,
选项best=10要求输出残差平方和最小的前10种组合；
（2）最好的迭代初始值为bo=1.0000,b1=0.0400，此时回归
模型残差为ESS=0.00140;从该迭代初始值开始经过4次迭代误差平方和的变化就满足收敛准则（ESS值几乎不变），停止迭代；
（3）高斯-牛顿迭代算法要求给出模型y=b0（1-eTx）对参数b0
和b1的一阶偏导数表达式：
der.语句用来表示上面两个一阶偏导数表达式
（4）output语句输出一个新数据集expout,包括原数据集和非线性回归模型的预测值ygs；gplot过程的主要作用是绘制输出数据集expout中的原始数据的散点图及回归曲线的平滑线；
（5）方差分析表，给出了回归平方和为17.6717,残差平方和为0.000577,总平方和为17.6723.
（6）参数估计表，给出了b0和b1的渐近估计值，得到的非线性回归模型为
y=1.0000000*[1-exp（0.5558957x）]
同时还给出bo和b1参数估计的渐近有效标准差和渐近95%置信区间。
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