代数学引论第二版答案第二章.docx
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代数学引论第二版答案第二章
代数学引论第二版答案第二章
【篇一：
代数学引论第一章答案】
则g.证明:
对任意a,b错误！
未找到引用源。
g,由结合律我们可得到
（ab）2=a（ba）b,a2b2=a（ab）b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群g为交换群.
2.如果群g中,每个元素a都适合a2=e,则g为交换群.证明:
[方法1]对任意a,b错误！
未找到引用源。
g,
ba=bae=ba（ab）2=ba（ab）（ab）=ba2b（ab）=beb（ab）=b2（ab）=e（ab）=ab
因此g为交换群.
[方法2]对任意a,b错误！
未找到引用源。
g,
a2b2=e=（ab）2,
由上一题的结论可知g为交换群.
3.设g是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:
（1）a（bc）=（ab）c;
（2）由ab=ac推出b=c;（3）由ac=bc推出a=b;证明g在该乘法下成一群.证明:
[方法1]
设g={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由
（2）可知若i错误！
未找到引用源。
j（i,j=1,2,…,n）,有
akai错误！
未找到引用源。
akaj------------1aiak错误！
未找到引用源。
ajak------------2
再由乘法的封闭性可知
g={a1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}------------3g={a1,a2,…,an}={a1ak,a2ak,…,anak}------------4
由1和3知对任意at错误！
未找到引用源。
g,存在am错误！
未找到引用源。
g,使得
akam=at.
由2和4知对任意at错误！
未找到引用源。
g,存在as错误！
未找到引用源。
g,使得
asak=at.
由下一题的结论可知g在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。
[方法2]
为了证明g在给定的乘法运算下成一群，只要证明g内存在幺元（单位元），并且证明g内每一个元素都可逆即可.为了叙述方便可设g={a1,a2,…,an}.（Ⅰ）证明g内存在幺元.
1存在at错误！
未找到引用源。
g，使得a1at=a1.（这一点的证明并不难，这里不给证明）;2证明a1at=ata1;因为
a1（ata1）at=（a1at）（a1at）=（a1）2a1（a1at）at=（a1a1）at=a1（a1at）=（a1）2,
故此
a1（ata1）at=a1（a1at）at.
由条件
（1）,
（2）可得到
a1at=ata1.
3证明at就是g的幺元;对任意ak错误！
未找到引用源。
g,
a1（atak）=（a1at）ak=a1ak
由条件
（2）可知
atak=ak.
类似可证
akat=ak.
因此at就是g的幺元.（Ⅱ）证明g内任意元素都可逆；
上面我们已经证明g内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记g内元素.下面证明任意a错误！
未找到引用源。
g，存在b错误！
未找到引用源。
g，使得
ab=ba=e.
1对任意a错误！
未找到引用源。
g，存在b错误！
未找到引用源。
g，使得
ab=e;
（这一点很容易证明这里略过.）
2证明ba=ab=e;因为
a（ab）b=aeb=ab=ea（ba）b=（ab）（ab）=ee=e
再由条件
（2）,（3）知
ba=ab.
因此g内任意元素都可逆.
由（Ⅰ）,（Ⅱ）及条件
（1）可知g在该乘法下成一群.
4.设g是非空集合并在g内定义一个乘法ab.证明:
如果乘法满足结合律,并且对于任一对元素a,b错误！
未找到引用源。
g,下列方程
ax=b和ya=b
分别在g内恒有解，则g在该乘法下成一群.证明：
取一元a错误！
未找到引用源。
g,因xa=a在g内有解,记一个解为ea对任意b错误！
未找到引用源。
g,ax=b在g内有解,记一个解为c,那么有ac=b,所以
eab=ea（ac）=（eaa）c=ac=b,
因此ea为g内的左幺元.
再者对任意d错误！
未找到引用源。
g,xd=ea在g内有解,即g内任意元素对ea存在左逆元,又因乘法满足结合律,故此g在该乘法下成一群.
[总结]
群有几种等价的定义:
（1）幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.
（2）设g是一个非空集合，g内定义一个代数运算，该运算满足结合律,并且g内包含幺元,g内任意元素都有逆元,则称g为该运算下的群.
（3）设g是一个非空集合，g内定义一个代数运算，该运算满足结合律,并且g内包含左幺元,g内任意元素对左幺元都有左逆元,则称g为该运算下的群.
（4）设g是一个非空集合，g内定义一个代数运算，该运算满足结合律,并且对于任一对元素a,b错误！
未找到引用源。
g,下列方程
ax=b和ya=b
分别在g内恒有解，则称g为该运算下的群.
值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律,则该半群一定是群.
5.在s3中找出两个元素x,y,适合
（xy）2错误！
未找到引用源。
x2y2.
[思路]在一个群g中，x,y错误！
未找到引用源。
g,xy=yx错误！
未找到引用源。
（xy）2错误！
未找到引用源。
x2y2（这一点很容易证明）.因此只要找到s3中两个不可交换的元素即可.我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.解:
取
x=错误！
未找到引用源。
y=错误！
未找到引用源。
那么
（xy）2错误！
未找到引用源。
=x2y2.
[注意]
我们可以通过mathematica软件编写sn的群表,输出程序如下:
pr[a_,b_,n_]:
=（*两个置换的乘积*）
（table[a[[b[[i]]]],{i,1,n}]）;
se[n_]:
=（*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*）
（permutations[table[i,{i,1,n}]]）;
stable[n_]:
=（*生成sn群表*）
（a=se[n];
table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{i,1,n},{j,1,n}]）
当n=3时群表如下：
123132213231312321
132********3321312
213312123321132231
231321132312123213
312213321123231132
[说明]：
错误！
未找到引用源。
表示置换错误！
未找到引用源。
剩下的类似.为了让更清楚，我们分别用e,a,b,c,d,f表示错误！
未找到引用源。
错误！
未找到引用源。
错误！
未找到引用源。
错误！
未找到引用源。
错误！
未找到引用源。
那么群表如下:
6.对于n2,作一阶为2n的非交换群.
7.设g是一群,a,b错误！
未找到引用源。
g,如果a-1ba=br,其中r为一正整数,证明a-ibai=错误！
未找到引用源。
.证明：
我们采用数学归纳法证明.
当k=1时,a-1ba=br=错误！
未找到引用源。
结论成立；假设当k=n时结论成立,即a-nban=错误！
未找到引用源。
成立,下面证明当k=n+1时结论也成立.我们注意到
a-1bka=错误！
未找到引用源。
=bkr,
因此
a-（n+1）ban+1=a-1（a-nban）a=a-1错误！
未找到引用源。
a=错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
可见k=n+1时结论也成立.
由归纳原理可知结论得证.
8.证明:
群g为一交换群当且仅当映射错误！
未找到引用源。
是一同构映射.证明:
（Ⅰ）首先证明当群g为一个交换群时映射错误！
未找到引用源。
是一同构映射.
由逆元的唯一性及错误！
未找到引用源。
可知映射错误！
未找到引用源。
为一一对应，又因为
错误！
未找到引用源。
并且群g为一个交换群,可得
错误！
未找到引用源。
.
因此有
错误！
未找到引用源。
.
综上可知群g为一个交换群时映射错误！
未找到引用源。
是一同构映射.（Ⅱ）接着证明当映射错误！
未找到引用源。
是一同构映射,则群g为一个交换群.若映射错误！
未找到引用源。
是一同构映射,则对任意错误！
未找到引用源。
有
错误！
未找到引用源。
另一方面，由逆元的性质可知
错误！
未找到引用源。
.
因此对任意错误！
未找到引用源。
有
错误！
未找到引用源。
即映射错误！
未找到引用源。
是一同构映射,则群g为一个交换群.
9.设s为群g的一个非空子集合，在g中定义一个关系a～b当且仅当ab-1∈s.证明这是一个等价关系的充分必要条件为s是一个子群.
【篇二：
现代数学引论第一章部分习题参考答案】
ss=txt>第4页
（2）证明：
?
?
?
?
x?
liman?
?
?
ak
n?
?
n?
1k?
n
?
?
k?
n
?
ak是一个单调递增的集合序列，
?
?
?
?
而根据定义，lim
n?
?
an是这些集合的并集，即?
?
ak，那么肯定存在一个
n?
1k?
n
?
?
?
?
足够大的n使得
k?
n
?
ak中包含了x，即x?
k?
n0
?
ak
?
?
上式中，对于任意的n
?
n0，都有?
ak?
an
k?
n0
?
?
因此只要取n证毕。
第10页
?
n0，即有，对于所有n?
n
，x
?
k?
n0
?
ak?
an
证明：
因为a是可列集，因此可以将a中的元素一一列出如下：
i
i
a1：
a11,a12,a13,...
a2：
a21,a22,a23,...a3：
a31,a32,a33,...
?
如下图所示，对上述元素按照对角线顺序从左上到右下扫描
在此基础上定义一个映射：
使得某集合元素aij映射到扫描的顺序值n（n
?
1,2,3,4...）那么?
ai中的元素与自然数n之间构成了一一
i?
i
对应的关系，所以是可列集。
第12页
?
?
【说明：
（
?
i?
1
ai
2
i
ai?
0or1foralli）表示的是一个二进制
的小数，记为（0.a1a2a3...ak...）2，该小数的每一位相应的权值为：
2,2,2,...,2
k
?
1?
2?
3?
k
...
每一位a都可以取0或者1，所有可能的组合对应[0,1]之间所有的实数。
提示中定义的映射，对应到的是一个集合{n的是数（0.a
12
n?
n,an?
1}，表示
aa3...ak...）2中所有取值为1的位ak对于的下标k
2
例如（0.0101）对应到集合｛2，4｝】证明：
定义映射
?
?
?
ai?
ai?
0or1foralli?
对所有x?
[0,1]?
?
?
i
?
i?
12?
?
?
f（x）?
f（?
i?
1
ai
2
i
）?
{nn?
n,an?
1}
那么x和以自然数为元素构成的集合{n应的关系。
对任意的x，都有f（x
n?
n,an?
1}形成了一一对
，即每个x
）?
{nn?
n,an?
1}?
n
的像f（x）都是自然数集n的子集。
那么以所有的像f（x）为元素构成的集合就是自然数集n的幂集2，即
n
{f（x）x?
[0,1]}?
2
因此，
第15页：
n
?
2
n
证明：
要证明此定理需证明定义的关系~满足等价关系的3个性质。
①x和x属于同一个子集显然成立，满足自反性
②x和y都属于同一个子集，可以得出y和x属于同一个子集，满足对称性③设x和y属于同一个子集am，y和z属于同一个子集an，由于对任意i,j，ai和aj的交集为空集，而y所属的am和an是同一个子集，即m=n。
所以x属于am，z也属于an，有x和z属于同一个子集，满足传递性。
综上，所定义的关系是一个等价关系。
【篇三：
俄罗斯教材《代数引论》的启迪_2】
ass=txt>庄瓦金
（漳州师范学院，福建，363000）
一《引论》的特色
1继承性
在注意《引论》继承自己前辈工作之时，我们注意到《引论》三卷本与n.jacobson的《抽象代数学》三卷本[6]在分卷上的相似性，这也多少说明[3~5]继承了国际上代数教材的遗产，使得这三卷本能够更好地贯串一条主线。
因此，《引论》的继承性不仅是莫斯科大学的，而且也包涵了全世界各著名大学的。
2整体性
《引论》的特色不仅在于教材的系统性，更在于教材的整体性。
首先是代数科学的整体性，中国的高等代数与抽象代数两门课程，在[3~5]中则整合为一，使整个代数教材的水平提高了一个层次，让学生尽早接触抽象代数思想，推进了学生对代数结构的理解。
这显然对于学生的整个数学学习大有好处。
其次是数学课程的整体性，《引论》第一卷的前言一开头就写到：
“人们很早就感到有必要把代数、线性代数和几何放到一个统一的教程中。
而教科书《代数学引论》自出版后的22年来可以看作是这种统一处理的初步考试。
”因此，《引论》突出了代数与几何的统一；同时也注意了与分析的联系，特别是注意到了线性代数的两大后继课程：
计算数学与泛函分析，这不仅在教材中有交代，而且在基本术语上相一致，如“线性变换”称为“线性算子”。
再次是数学语言的整体性，在[1]中，著者就注意了范畴论，在[4]中注意了范畴中的“态射”，这或许影响了丘维声在[7]中前言的用词。
3权威性
调群、群和代数的组合理论、表示论、整数格的研究。
1968年获苏联国家奖。
”可见，柯斯特利金几乎涉及整个代数深刻领域的研究，从而保证了他作为莫斯科大学代数学科带头人的权威性，也保证了《引论》的权威性。
这种权威除了著者的实力外，还有著者长达三十年的实践，还有著者继承莫斯科大学250年的传统。
因此，这种权威是世界的，因而《引论》已译成英文、保加利亚文、西班牙文、波兰文、法文、中文。
作为大学本科教材，没有这种权威性，是不可能有如此多种译本的。
4先进性
《引论》第一卷的前言中，对第三卷有个说明：
这里的代数属初等水平，但充分包含了当代每个数学家所需的代数系统。
因此可以猜想：
《引论》是以培养数学家为目标的。
这在以后的各卷中都有明确的表露。
在第一卷的第一章“代数的起源”中，在对高斯消元法作注时，提及了1969年的施特拉辛的研究，为第二卷的待解问题：
施特拉辛问题作了伏笔。
第一章7的例1是费马猜想，点出了费马数的最新成果f1945；例2是欧拉研究的一个多项式：
形如n2?
n+41
?
n?
的数；7的最后的例子是“给定圆周上任意n个点，确定由?
?
2?
?
条弦划分的圆内的区域数
?
?
?
n?
?
n?
rn=1+?
《引论》在阐述代数起源时就把人们带进了解决数?
2?
?
+?
?
4?
?
，则留给读者完成。
由此可见，
?
?
?
?
学难题的王国，为贯彻培养数学家的宗旨打下基础。
再看《引论》各卷之末，第一卷是“关于多项式的公开问题”，第二卷是“有待解决的问题”，第三卷是“未解决的问题”，都充分体现了《引论》培养数学家的宗旨。
当然，《引论》没有直接这么说，但在序言中明确写到：
“教科书应当成为创造性思维的推动力”。
著者就是围绕某些基本问题刻意安排大量习题，并与这些猜想相串通，以培养学生的创造性思维，为未来的数学家增进数学素质的。
再加上教材内容之深刻，将之综合，充分地体现了《引论》的先进性，与欧美教材相比较，这种先进性也是世界的。
二中国的矛盾
为了从《引论》中吸收营养，这里不得不面对我们之现实。
1文革冲击
2市场冲击
“学好数理化，走遍天下都不怕”，这是文化大革命以前人们的口头语，可时下，在市场经济的冲击下，已消失得无影无踪，每年大学招生，不仅高考状元无一人学习数业专业，而且连数学奥赛的优胜者也基本不念数学专业，新生质量较文革前大为下降，而且女生人数的比例在逐年增加。
市场经济的冲击还远不止于此。
如教材、教学参考书，我们统计了1977以来出版的46种带上高等代数帽子的各种图书，习题解答类竞多达一半，而教科书性质者，大多类同，较高水平又方便学生学习的是很少很少。
因此，学生基本上停滞在单一的教材上苦学，难以提高自身的学习能力。
更不少学生成了习题解答的奴隶，这样一门着力培养学生创造思维能力的课程竞有不少学生在背习题解答、应付考试，年复一年的这样高师数学毕业生到中学任教，请大家想想，这对于中国后代的数学教育有多么大的危害？
！
3体制之疑
上面例子已涉及大学体制。
熊丙奇先生在《教育熊视》[11]中有个标题：
“大学最深刻的危机：
体制化”，“官”太让人无可奈何！
：
有个代数教授，他的老师好不容易争取到一个出国名额，使他有机会跟一位国际代数名家读硕、读博、做博士后，回国后不久就评上教授，学校对他也十分关照，但中国的气候毕竟与欧美有异，他深知，要在国内为先，在国内一级刊物发文是自然之事，可他投这些一级刊的文章老是被退回，因此就查起审稿人的为人来了，但得到的答复是中国代数老前辈们为人极佳。
于是，随着时间的流失，他想当“院士”的雄心消失了，因而寻找机会，利用民主党派参政人才之缺，离开学校去当个副厅长，这种还算真才实学者的当官之路，钻体制的漏洞，一步步走上大学领导，利用手中的权力打扮自己，为数也不少，且党内居多，而且反转过来，欺压你这些教授，你们又怎么样？
！
这种现状怎不引起人们的关注！
中国实施经济改革，可教育不然。
教育是在教育部的主导下进行的改革，体制问题左右一切，例如教材，鼓励老师积极性，可本科评估，教材认定的是姓“高”，像北大代数小组的《高等代数》，编著者都不好意思，第三版时加了“王萼芳、石生明修订”，可人们只认是高等教育出版社出版，不管北京大学的现实情况如何，不少学校仍然把它认定为首选教材，考研用书！
在这样的体制下，丘维声退位，蓝以中日子也有担忧。
前几天，蓝先生通过北大出版社理学部主任给我寄来了他的新著《高等代数学习指南》[12]，这是一本编著目的正确、阐述简洁、方便学习阅读并达到一定深广度的学习指导书，加上国家首批精品课程、北京大学的牌子，可在当今体制下，对市场、消路还是有担心。
4环境混沌
上述表明，在当今体制下，环境受污染，已处于混沌。
这类混沌的深广度如何？
我们不仿来看看教育部抓的质量工程吧！
此下，四年一次的“教学成果奖”评选，每年评定的“教学名师”、“精品课程”、“教学团队”，花样不少，名堂也应有尽有！
我还当省政协委员时，针对其中的“名堂”曾写了个提案，教育厅可热情啊，连处长都来电话，以示重视。
其中，关键的建议是各种评优应有“答辩”环节，厅里也同意了，可至今未见实施。
原因何在？
五颜六色，色彩交混。
就说“教学成果奖”，既无发表正式论文，又无实际成果推广应用，单凭几个人七措八拼，整理出一篇“综述”，竟然可以评上省教学成果一等奖。
最近试行“成果鉴定”，用一个鉴定专家的话说：
问题不少（指所谓成果），可在纸上这些都不会写，因而结论是很漂亮的。
有了教学成果一等奖，随之
带来的好处有“教学名师”、所“主持”的课程是省精品课程（从来不上这门课）。
而且还上了政府特殊津贴，有一个获奖者，政府特殊津贴十几年前就报，可以说是纷了十几年，是评上了教学成果一等奖（其实他搞的是倒退教学）后才拿到津贴。
如果能把所有获省教学成果奖的申报书及附件都在网上公开供人们浏览评议，我看有意思的东西一定不少！
至于“教学名师”，不上课、少上课的领导更容易上，只要他想评。
而“精品课程”，网评为主，学校的网页慢点，你再好也没用；且单看网页，只要有钱、有权，我可以抄袭，可以找人做得漂漂亮亮的，还拍上不了？
！
因此，网评的材料必须是独立自主的，否则是在鼓励抄袭，其害无穷！
环境混沌，说到底是体制问题，教师在学校的地位。
有个学校本科质量评审刚过不日，请来了一位名校校长报告，参加者是全校行政人员和副教授以上老师，人们不尽要问题：
我们广大的青年教师（其中大多至少是硕士毕业生），还不如临时工性质的行政人员吗？
！
政治上的歧视，还何以调动广大教师的教学积极性？
高校是政客们主持的，危险！
三《引论》的启示
在困难面前，中国人是有骨气的。
陈省身先生生前曾倡导中国数学科学在21世纪率先赶上世界先进水平，为此，大学本科数学主干基础课教学任重而道远。
下面结合《引论》的启示，说四点想法。
1解放思想提升水平
中国地方大、发展不平衡。
因此，解放思想，应该是国家一流大学先行，向《引论》学习把培养目标锁定为培养高水平数学家，探索《引论》的内容、处理方法有哪些适合中国国情，编著有别于大众化的较高水平的高代教材（北大[15]、清华[16]似乎已有所行动）。
此外，一流大学的主干基础课应有院士级的带头人，其培养在自然状态下也是一件难事；一流大学的硕士研究生招生命题也应跟上，考出技巧、考出难度、考出特色。
，大部分学生毕业后将要到中学任教，当然无法跟一流大学走。
但也应该解放思想，在面向全体学生的同时注意提升自己的水平，注意有逐年增加的考上硕士研究生的学生，而高代教材，吸纳[10]，酌情吸纳[3~5]，适用的优秀教材，也应该摆上教改规划，争取早日面市。
2整体谋划协力实践
美国有个《美国国家线性代数课程研究小组》，隶属于国际线性代数学会。
中国数学会下面有教育工作委员会，是否也应承担高校数学主干基础课改革的指导、组织工作？
！
教育部还有教材评审组这样的构建，这是否能与数学会合力起来？
因此，我建议构建全国性的高等代数教学研讨会，在此会议形式下形成组织领导学术班子（这当然是民间性质的）。
这样，除了会上有高水平的研究报告、研究成果外，各个高校，首先是名牌大学有自己或合作的教材改革计划与实践成果；一
般高校在全国大形势下也有结合自己实际的计划与实践。
因此，体制也应相应跟上。
高校质量工程有不少钱，教育部、各省应当增设优秀教材、教学参考书出版基金，高等教育出版社应划出一些书号，用于高校主干基础课的专列出版，如“精品课程教材系列”。
3突出主线加宽认知
前面说的两点是宏观上的认识，下面说两点具体的认知。
主线问题在[15，18]中已有阐述，说了就是当然不是科学的态度，还得有争论。
最近一本“降低知识起点，加大教材使用弹性”的厚书[24]认为“矩阵?
?
是线性代数的一条主线”。
如果是工科高代，我看是可以商量的，但作为理科数学各专业的高等代数，鉴于学生在本科学习中必须认知20世纪抽象代数的概念、结构和方法，高代中应重视代数运算、代数结构的教学，以向量空间及其线性算子作为线性代数教学主线应该是顺理成章之事，至于各章教材的编排当然可以有异，提倡百家共存。
讲授要突出重点、重视难点分析，但认知量不宜减，酌情加宽基础理论的知识面，如相抵标准形的应用，矩阵广义逆例讲、多项式根的分布，商空间，对偶空间，共轭变换，正交空间，辛空间，张量的概念。
当然还可点讲一些，让学生多知道些背景与知识，特别是向优生介绍高水平的教材、教学参考书以及后继课程的教材、专著，乃至国外名著，我在大学年代就看了不少国外代数名著，其基础就得益于这些名著。
4夯实基础，提高优生
一门主干基础课的教学，面上的控制很重要，但是极其不容易，高代教了三十余年，自己感到这个控制真正做得好的才是过去的一年。
这个控制有两点，一是夯实全体学生的基础，让学生兴趣学习高代，看学生考试成绩如何？
我上学年教两个教学班，有差异，但总的优生数较多，没有一定数量的优生数，夯实基础是一句空话。
补考学生数也是夯实基础的重要指标，上学年两个教学班第一学期共二人补考，第二学期只一人补考，为历史上最少，试卷已挂在
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