学年度九年级上学期第一次月考数学试题 62.docx

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学年度九年级上学期第一次月考数学试题62

北师大版九年级上学期第一次月考

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．下列方程是一元二次方程的是（）

A．x2+3y﹣5=0B．

﹣2x2+1=0

C．ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数）D．

x2+4x﹣5=0

2．一元二次方程3x2﹣7x﹣12=0的二次项、一次项和常数项分别是（）

A．3x2，7x，12B．3x2，﹣7x，12C．3x2，7x，﹣12D．3x2，﹣7x，﹣12

3．关于x的方程5x2﹣4x=1的根的情况描述正确的是（）

A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根

C．方程有两个不相等的实数根D．以上情况都有可能

4．一元二次方程6x2﹣7x+1=0的两个根是（）

A．x1=﹣

，x2=1；B．x1=

，x2=﹣1C．x1=

，x2=1D．x1=﹣

，x2=﹣1

5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）

A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1

6．顺次连结菱形四边中点所得的四边形一定是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A．内角和是360°B．对角线相等C．

对边平行且相等；D．对角线互相垂直

8．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分

9．下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（）

A．四边形ABCD中，AC=BDB．四边形ABCD中，AC⊥BD

C．四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，∠D=90°

D．四边形ABCD中，∠ABC=90°

10．若直角三角形中两直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线是（）

A．13B．6C．6.5D．6.5或6

11．如果关于x的方程（m﹣2）

﹣2x﹣12=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）

A．±2B．2C．﹣2D．都不对

12．已知一元二次方程kx2+4x+4=0（k≠0）当方程有实数根时k的取值范围是（）

A．k≥1B．k≥﹣1C．k≤1且≠0D．k＜﹣1

二、填空题（每小题3分，共15分）

13．当m__________时，关于x的方程x2﹣3x﹣m=0有两个不相等的实数根．

14．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=2，∠BOC=120°，则AC的长是__________．

15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么图中共有__________个等腰直角三角形．

16．已知菱形的两条对角线长分别为4cm，8cm，则它的面积是__________cm2．

17．如图，菱形ABCD的周长是40cm，且DE丄AB，菱形ABCD的面积为40cm2，则DE=__________．

三．解答题（共69分）

18．用配方法解方程：

3x2+8x﹣3=0

19．用公式法解下列方程：

2x2+6=7x．

20．（24分）任选一方法解下列方程

（1）x2﹣8x﹣9=0

（2）x2﹣7x﹣18=0

（3）5x2﹣4x=0（4）（x+3）2=5（x+3）

21．已知关于x的一元二次方程3x2+kx+6=0的一根2，求另一个根和k的值．

22．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

23．已知：

如图所示，在矩形ABCD中，AF=BE．

求证：

DE=CF．

24．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．

求证：

（1）△ADC是等边三角形；

（2）四边形ACED是菱形．

2015-2016学年四川省德阳市九年级（上）第一次段考

数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．下列方程是一元二次方程的是（）

A．x2+3y﹣5=0

B．

﹣2x2+1=0

C．ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数）

D．

x2+4x﹣5=0

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义：

未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【解答】解：

A、是二元二次方程，故A错误；

B、是分式方程，故B错误；

C、a=0时是一元一次方程，故C错误；

D、是一元二次方程，故D正确；

故选：

D．

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．一元二次方程3x2﹣7x﹣12=0的二次项、一次项和常数项分别是（）

A．3x2，7x，12B．3x2，﹣7x，12C．3x2，7x，﹣12D．3x2，﹣7x，﹣12

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】根据ax2+bx+c=0（a，b，

c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，可得答案．

【解答】解：

3x2﹣7x﹣12=0的二次项3x2，

一次项是﹣7x，常数项是﹣12．

故选：

D．

【点评】本题考查

了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

3．关于x的方程5x2﹣4x=1的根的情况描述正确的是（）

A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根

C．方程有两个不相等的实数根D．以上情况都有可能

【考点】根的判别式．

【分析】把a=5，b=﹣4，c=﹣1代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断根的情况．

【解答】解：

∵a=5，b=﹣4，c=﹣1，

∴△=b2﹣4ac=52﹣4×（﹣4）×（﹣1）=9＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：

C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

4．一元二次方程6x2﹣7x+1=0的两个根是（）

A．x1=﹣

，x2=1B．x1=

，x2=﹣1C．x1=

，x2=1D．x1=﹣

，x2=﹣1

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解．

【解答】解：

6x2﹣7x+1=0，

（6x﹣1）（x﹣1）=0，

则6x﹣1=0或x﹣1=0，

解得x1=

，x2=1．

故选：

C．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降

次，把解一元二次方程转化为解一元一次方

程的问题了（数学转化思想）．

5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）

A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．

【解答】解：

x2+4x﹣5=0，

x2+4x=5，

x2+4x+22=5+22，

（x+2）2=9，

故选：

A．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．

6．顺次连结菱形四边中点所得的四边形一定是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

【考点】中点四边形．

【分析】根据三角形的中位线定理首先可以证明：

顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．

【解答】解：

如图，四边形ABCD是菱形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

则EH∥FG∥BD，EF=FG=

BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=

AC，AC⊥BD．

故四边形EFGH是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴EH⊥EF，∠HEF=90°

∴边形EFGH是矩形．

故选：

B．

【点评】本题考查了中点四边形．能够根据三角形的中位线定理证明：

顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是

矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．

7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A．内角和是360°B．对角线相等

C．对边平行且相等D．对角线互相垂直

【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．

【分析】由菱形的性质和平行四边形的性质，容易得出结果．

【解答】解：

∵菱形的性质有：

内角和360°，对边平行且相等，对角线互相垂直平分，对角相等；

平行四边形的性质有：

内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等；

∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线互相垂直；

故选：

D．

【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质；熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解决问题的关键，注意区别．

8．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A．对角相等B．对边相等

C．对角线相等D．对角线互相平分

【考点】矩形的性质；平行四边形的性质．

【专题】证明题．

【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．

【解答】解：

矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．

故选：

C．

【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．

9．下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（）

A．四边形ABCD中，AC=BD

B．四边形ABCD中，AC⊥BD

C．四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，∠D=90°

D．四边形ABCD中，∠ABC=90°

【考点】矩形的判定．

【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定A，B错误，根据有三个角是直角的四边形是矩形；可判定C正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；可判定D错误．

【解答】解：

当四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD时，四边形ABCD是矩形；故A，B错误；

当四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，∠D=90°时，四边形ABCD是矩形；故C正确；

当四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=90°时，四边形

ABCD是矩形；故D错误．

故选C．

【点评】此题考查了矩形的判定．注意熟记定理是解此题的关键，注意排除法在解选择题中的应用．

10．若直角三角形中两直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线是（）

A．13B．6C．6.5D．6.5或6

【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：

∵两直角边的长分别为12和5，

∴斜边=

=13，

∴斜边上的中线=

×13=6.5．

故选C．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．

11．如果关于x的方程（m﹣2）

﹣2x﹣12=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）

A．±2B．2C．﹣2D．都不对

【考点】一元二次方程的定义．

【专题】计算题．

【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0且m2﹣2=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．

【解答】解：

根据题意得m﹣2≠0且m2﹣2=2，

解得m=﹣2．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

2的整式方程叫一元二次方程．

12．已知一元二次方程kx2+4x+4=0（k≠0）当方程有实数根时k的取值范围是（）

A．k≥1B．k≥﹣1C．k≤1且≠0D．k＜﹣1

【考点】根的判别式．

【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．

【解答】解：

∵方程有两个实数根，

∴根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣16k≥0，

即k≤1，且k≠0，

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

二、填空题（每小题3分，共15分）

13．当m＞﹣

时，关于x的方程x2﹣3x﹣m=0有两个不相等的实数根．

【考点】根的判别式．

【分析】若根的判别式△=b2﹣4ac＞0，则一元二次方程有两不等根，依此建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【解答】解：

∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣3，c=﹣m，

∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＞0，

解得m＞﹣

．

故答案为：

＞﹣

．

【点评】考查了根的判别式，总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

14．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=2，∠BOC=120°，则AC的长是4．

【考点】矩形的性质；含30度角的直角三角形．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据矩形的性质，因为矩形的对角线相等且互相平分，则△BOC是等腰三角形．

【解答】解：

∠BOC=120°，则其余两角的度数为30°，

在△ABC中，AB=2，∠ACB=30°，因为在直角三角形中，30°所对的角是斜边的一半，所以AC=4．

【点评】利用矩形性质，矩形的对角线相等且互相平分，求出∠ACB的度数，然后根据直角三角形的特点求出AC的长度．

15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么图中共有8个等腰直角三角形．

【考点】正方形的性质；等腰三角形的判定．

【专题】证明题．

【分析】根据正方形的性质，及等腰直角三角形的定义．

【解答】解：

正方形的性质

：

正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等．

可知该图形中的三角形都是直角三角形，然后就有规律的数，可以从一边开始，注意

不要漏数．

故图中共有8个等腰直角三角形．

故答案为8．

【点评】熟悉正方形

的性质．此题关键应该是数等腰三角形的个数，数时要有规律的数，可以从一边开始，注意不要漏数．

16．已知菱形的两条对角线长分别为4cm，8cm，则它的面积是16cm2．

【考点】菱形的性质．

【分析】由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出结果．

【解答】解：

由菱形的面积公式得：

菱形的面积=

×4×8=16（cm2）；

故答案为：

16．

【点评】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式；熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．

17．如图，菱形ABCD的周长是40cm，且DE丄AB，菱形ABCD的面积为40cm2，则DE=4cm．

【考点】菱形的性质．

【分析】由菱形的性质和周长求出菱形的边长，再由菱形的面积=底×高，即可得出DE的长．

【解答】解：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∵菱形ABCD的周长是40cm，

∴AB=BC=CD=AD=10cm，

∵DE⊥AB，

∴菱形ABCD的面积=AB×DE=40，

即10×DE=40，

∴DE=4（cm）；

故答案为：

4cm．

【点评】本题考查了菱形的性质、菱形的周长、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，熟记菱形的面积等于底×高是解决问题的关键．

三．解答题（共69分）

18．用配方法解方程：

3x2+8x﹣3=0

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】配方法．

【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．

【解答】解：

∵3x2+8x﹣3=0，

∴3x2+8x=3，

∴x2+

x=1，

∴x2+

x+

=1+

，

∴（x+

）2=

，

⇒x=

，

解得x1=

，x2=﹣3．

【点评】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

19．用公式法解下列方程

2x2+6=7x．

【考点】解一元二次方程-公式法．

【专题】计算题．

【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．

【解答】解：

方程整理得：

2x2﹣7x+6=0，

这里a=2，b=﹣7，c=6，

∵△=49﹣48=1，

∴x=

，

解得：

x1=2，x2=

．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

20．（24分）任选一方法解下列方程

（1）x2﹣8x﹣9=0

（2）x2﹣7x﹣18=0

（3）5x2﹣4x=0

（4）（x+3）2=5（x+3）

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】

（1）等式的左边利用“十字相乘法”进行因式分解，即利用因式分解法解方程；

（2）把方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，得到x+2与x﹣9的积为0，可得两式中至少有一个为0，可得两个一元一次方程，分别求出两方程的解即可得到原方程的解；

（3）等式的左边利用提取公因式法进行因式分解；

（4）先移项，然后等式的左边利用提取公因式法进行因式分解．

【解答】解：

（1）由原方程，得

（x+1）（x﹣9）=0，

x+1=0或x﹣9=0，

所以x1=﹣1，x2=9；

（2）x2﹣7x﹣18=0，

因式分解得：

（x+2）（x﹣9）=0，

可化为：

x+2=0或x﹣9=0，

解得：

x1=9，x2=﹣2．

（3）5x2﹣4x=0，

x（5x﹣4）=0，

则x=0或5x﹣4=0，

解得：

x1=0，x2=0.8．

（4）（x+3）2=5（x+3），

（x+3）（x+3﹣5）=0，

则x+3=0或x﹣2=0．

解得：

x1=﹣3，x2=2．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式

分解法：

先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

21．已知关于x的一元二次方程3x2+kx+6=0的一根2，求另一个根和k的值．

【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．

【分析】把x1=2代入已知方程，列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程3x2+kx+6=0的一个根是x1=2，

∴3×22+2k+6=0，

解得k=﹣9．

又∵x1•x2=

，即2x2=2，

∴x2=1．

综上所述，k的值是﹣9，方程的另一个根是1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．求方程的另一根时，也可以通过解关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0得到．

22．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析】关系式为：

每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．

【解答】解：

设每件服装应降价x元，根据题意，得：

（44﹣x）=1600

解方程得x=4或x=36，

∵在降价幅度不超过10元的情况下，

∴x=36不合题意舍去，

答：

每件服装应降价4元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．

23．已知：

如图所示，在矩形ABCD中，AF=BE．

求证：

DE=CF．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】要证明DE=CF，只要证明△ADE≌△BCF即可．根据全等三角形的判定定理，可以得出结论．

【解答】证明：

∵矩形ABCD，

∴∠A=∠B、AD=BC，

∵AF=BE，

∴AE=BF，

∴△ADE≌△BCF（SAS）．

∴DE=CF．

【点评】本题考查了矩形的性质，各内角为90°，对边相等．根据三角形全等的判定定理求出全等三角形，是证明线段相等的常用方法．

24．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．

求证：

（1）△ADC是等边三角形

；

（2）四边形ACED是菱形．

【考点】菱形的判定与性质；等边三角形的判定．

【专题】证明题．

【分析】

（1）由菱形的性质得出AD=DC，AD∥BC，再由∠ADC=60°，即可得出△ADC是等边三角形；

（2）先证明四边形ACED是平行四边形，再由等边三角形的性质得出AD=AC，即可得出四边形ACED是菱形．

【解答】证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=DC，AD∥BC，

又∵∠ADC=60°，

∴△ADC是等边三角形；

（2）∵DE∥AC，AD∥BE，

∴四边形ACED是平行四边形，

又∵△ADC是等边三角形，

∴AD=AC，

∴四边形ACED是菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．