从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径（总体）的质量判断,与所抽取的零件内径（样本数据）直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.
例3、甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：
t/hm2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
10
乙
结论：
甲品种的样本平均数为10,样本方差为
［（）2+（）2+（）2+（10-10）2+（）2］÷5=0.02.
乙品种的样本平均数也为10,样本方差为
［（）2+（）2+（）2+（）2+（）2］÷5=0.24.
因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
练习题：
①在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.
②若给定一组数据x1,x2,…,xn,方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差是____________.
③在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度（单位：
m/s）的数据如下：
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适？
④某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？
怎样去了解？
请你为他设计一个方案.⑤某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：
0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03（单位
）
（1）求出这组数据的众数和中位数？
；问这一天城市空气是否符合标准？
⑥从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：
甲：
25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：
27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；问：
（1）哪种玉米的苗长得高？
（2）哪种玉米的苗长得齐？
结论：
①9.5,0.016②a2s2③
＝33，
＝33，
乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.④这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则
这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.⑤
（1）由题知众数是0.03，中位数为0.03；
（2）这一天数据平均数是∵∴ 这一天该城市空气不符合国标.⑥分析：
看哪种玉米的苗长得高，只要比较 甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数.
（1）
=
（25+41+40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42）＝30；
=
（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝31，
<
（2）可运算
＝104.2，
∴
<
所以乙种玉米苗长得高，甲种玉米的苗长得齐.
四、【作业】
1、必做题：
习题组4、5、6、7,B组1、2
2、选做题：
某地区全体九年级的3000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：
100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.
请根据以上数据估计该地区3000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）.
五、【课后练习】
一、选择题
1.下列说法正确的是：
（A）甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样
（B）期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好
（C）期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好
（D）期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好
2.一组数据的方差是
，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是（）
Ａ.
；Ｂ.
；Ｃ．
；Ｄ．
二填空题
3.如果14：
有6个数4，x,－1,y,z6,它们的平均数为5，则x,y,z三个数的平均数为___________________
4、数据
的平均数为
，方差为
中位数为a，则数据
的平均数、标准差、方差、中位数分别为
三、解答题
5．下面是两个学生的五次英语测试成绩：
甲
98
88
67
59
89
乙
81
85
90
72
73
试用平均数与方差分析两位同学的英语成绩，并说明那一位同学的英语成绩比较稳定？
《方差与标准差》教学设计
教学内容：
方差与标准差
教学班级：
高一
（1）班
教学时间：
___3月13日
教者：
韩彦斌
一、教学目标
（一）知识与技能目标
概念和作用，学会计算样本数据的标准差；
2.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
（二）过程与方法目标
1.通过现实生活中的例子引导学生认识到：
只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征，从而展开对描述数据离散程度的探索，并让学生“亲身经历”解决实际问题的过程.
2.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想.
（三）情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系.
二、教学重难点
教学重点：
用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差.
教学难点：
应用平均数与标准差的相关知识解决简单的实际问题.
三、教学方法与模式
教学方法：
启发式教学法讲练结合法
教学模式：
问题导入——探究新知——解决问题——练习巩固
四、教学手段与教具:
多媒体常规教学
五、教学过程:
（一）回顾旧知，完成练习
回顾众数、中位数、平均数的概念和含义，解决下面的问题：
问题1：
在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下：
成绩/米
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数、平均数（保留到小数点后两位），并分析这些数据的含义.
（二）创设情境，导入新课
问题2：
两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
乙:
9,5,7,8,7，6,8,6,7,7
如果你是教练，你应该如何对这次射击情况作出评价?
如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
分析:
甲的平均成绩是7环，乙的平均成绩也是7环.那么，是否两人的水平就没有什么差距呢？
引导学生从频率分布条形图和极差的角度分析数据的离散程度，从而找到差异.同时极差在反映数据的离散程度上有一定的缺陷，所以我们要引入新的统计量——方差与标准差.
（三）推进新课，探究新知
为了把所有的变量值都考虑进去，更精确的反映数据离散状况，我们还可以考虑用方差.
假设样本数据是
，其平均数为
，则这个样本的方差
方差的算术平方根叫做标准差，通常用s表示.
即：
标准差
标准差是统计学上考察样本数据离散程度最常用的量.在刻画样本数据的离散程度上，标准差与方差是一样的.但在解决实际问题时,一般多采用标准差，因为标准差与样本数据具有相同的单位.
引导学生思考下面的问题：
（1）标准差s的取值范围是?
（2）怎样求样本标准差？
（3）如何根据标准差的大小来衡量离散程度的大小呢？
（4）标准差为0时的样本数据有什么特点？
练习1：
若甲、乙两队比赛情况如下,下列说法哪些说法是不正确的：
平均失球数
平均失球个数的标准差
甲
乙
①平均来说，甲的技术比乙的技术好；②乙比甲技术更稳定；
③甲队有时表现差，有时表现好；④乙队很少不失球.
例1：
两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
乙:
9,5,7,8,7，6,8,6,7,7
如果你是教练，你应该如何对这次射击情况作出评价?
如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
解：
略
练习2：
甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：
t/km2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
品种
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
甲
9．8
9．9
10．1
10
10．2
乙
9．4
10．3
10．8
9．7
9．8
解:
（略）
例2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：
g）如下：
486495496498499493493498484497504489495503499503509498487500508
试估计这批白糖的平均质量和标准差.
解法一：
直接用原始数据计算平均数和标准差，再估计这批白糖的平均质量和标准差.
解法二：
将原始数据减去500后，得到一组新的数据，先计算新数据平均数和标准差，再利用新旧数据的关系计算样本的平均数和标准差，在以此进行估计.
思考第二种解法的特征，可以得到一个更普遍的结论:
如果数据
的平均数为
，标准差为s，则新数据
的平均数为
，标准差仍为s
练习3：
如果数据
的平均数为
，标准差为s，则
（1）新数据
是的平均数为，标准差为________
（2）新数据
的平均数为____，标准差为
（四）课时小结
1方差与标准差的概念与作用.
2.标准差的计算公式：
.
（五）课后作业
1.课本P79练习1、2、3
2.课本P81习题组4，5，6
3.完成练习册相应的习题
《方差与标准差》说课稿
尊敬的各位领导、各位老师下午好！
下面我从教材、教法、学法、教学流程和教后反思几个方面进行说课。
一、说教材
（一）教学内容分析
《方差与标准差》是普通高中实验教材人教A版必修3第二章第二节《用样本的数字特征估计总体的数字特征》第二课时的教学内容，是在学习了众数、中位数、平均数的基础之上引入的又一个描述变量分布的统计量，方差和标准差是描述变量离散程度的重要指标之一。
通过本节课的学习可以使学生学会如何运用方差和标准差去描述变量分布的离散程度，并了解它在解决实际问题中的应用，同时还可以打开学生思路，对培养学生的逻辑思维能力也有重要作用。
（二）教学目标分析
在分析学生及教材的基础上，制定了本节课的教学目标：
（1）正确理解样本数据标准差的概念和作用，学会计算数据的标准差；
（2）会用样本的的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
（1）通过现实生活中的例子引导学生认识到：
只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征，从而展开对描述数据离散程度的探索，并让学生“亲身经历”解决实际问题的过程。
（2）在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想.
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系.
（三）教学重难点分析
根据《统计基础知识教学大纲》的要求，围绕教学目标，制定了本课的重点和难点：
1.教学重点：
用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差.
2.教学难点：
应用平均数与标准差的相关知识解决简单的实际问题.
（四）教材处理：
将讲解的重点放在标准差的概念和计算步骤上，通过不断提出问题、解决问题，加深学生对所学知识的理解。
通过例题和练习将标准差计算步骤加以强化，并传递“用样本的数字特征估计总体数字特征”的基本思想。
二、说教法
根据本节课教学内容的内在联系，在教学中主要采用了启发式教学，随着教学进程的需要不断提出新问题，让学生带着问题融入课堂，这样可以成功的激发学生探求知识的欲望，然后引导学生一步步找到答案，解决问题，这既加深了学生对所学知识的印象，又锻炼了学生的逻辑思维能力和总结能力，同时让学生在自己寻求答案的过程中充分体会到了成功的喜悦，促成了学生的主动学习。
此外，在教学中应用了讲练结合法，多媒体辅助教学法等.
三、说学法
根据本节课教学内容及学生的心理特点，我采用了“教法中渗透学法”的方法，即在讲究教学方法的同时，对学生进行学习方法上的指导，将学习方法渗透到课堂中，帮助学生掌握科学的学习方法，为将来继续学习做准备。
另外，教会学生学会如何利用教材去获得知识，养成爱动脑、勤思考、善学习的良好习惯。
四、说教学程序
教学过程是教学设计的具体实施，是完成前述的教学目标，掌握重点，突破难点，按照重新处理过的教材，贯彻落实启发教学法，讲练结合，课件辅助教学等教学方法和学法指导的具体体现。
（一）复习回顾、完成练习
在解决问题的过程中复习众数、中位数、平均数等概念，为本节课的展开做准备.
（二）创设情境、导入新课
采用问题导入法:
两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
乙:
9,5,7,8,7，6,8,6,7,7
如果你是教练，你应该如何对这次射击情况作出评价?
如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
引导学生从平均成绩和数据的离散散程度作出评价，而如何刻画数据的离散程度就成了这节课研究的问题.
极差在一定程度上可以刻画数据离散程度，然而极差有一个最大的缺点，那就是它只考虑了最大值与最小值之差，而没有考虑其他数值，所以只能粗略反映离散状况。
因此，我们引入了新的统计量——方差与标准差.
（三）推进新课、探究新知
采用正面导入的方式，由于极差在反映数据离散程度上的缺陷，自然的引出学生在初中已学过的方差来刻画数据的离散程度，从而过渡到本节课的重点标准差。
再设置问题引导学生探讨有关标准差的几个结论：
1.标准差s的取值范围s≥0；
2.求样本标准差的基本步骤；
标准差衡量数据离散程度的判断方法:
标准差越大，变量值离散程度越大，变量值越分散，平均数的代表性越小，反之，则相反；
4.标准差为0时的样本数据特点.
练习1的设置意在辨析理解平均数和标准差所反映总体特征.
例1是对情境导入的问题的解决，并总结了解决类似问题的思路与方法.
练习2是对例1的补充应用.
例2的设置意在传递用样本的数字特征估计总体数字特征的基本思想，并引出平均数与标准差的运算性质.
练习3的设置意在引导学生探索平均数与标准差的运算性质.
（四）课后小结：
课后小结是教学中必不可少的一个环节，通过课后小结，总结本节课的教学内容，强调学习重点.
五、课后反思
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