高中数学 21《平面向量的实际背景及基本概念》导学案 新人教A版必修4.docx

高中数学 21《平面向量的实际背景及基本概念》导学案 新人教A版必修4.docx

《高中数学 21《平面向量的实际背景及基本概念》导学案 新人教A版必修4.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 21《平面向量的实际背景及基本概念》导学案 新人教A版必修4.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高中数学21《平面向量的实际背景及基本概念》导学案新人教A版必修4

2019-2020年高中数学2.1《平面向量的实际背景及基本概念》导学案新人教A版必修4

【学习目标】

1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2．通过对向量的学习，初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

3．通过对向量与数量的识别能力的训练，培养认识客观事物的数学本质的能力.

【导入新课】

情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：

猫能否追到老鼠？

（画图）

结论：

猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：

老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.

引言：

请同学指出哪些量既有大小又有方向？

哪些量只有大小没有方向？

新授课阶段

（一）向量的概念：

我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：

（可制作成幻灯片）

1．数量与向量有何区别？

2．如何表示向量？

3．有向线段和线段有何区别和联系？

分别可以表示向量的什么？

4．长度为零的向量叫什么向量？

长度为1的向量叫什么向量？

5．满足什么条件的两个向量是相等向量？

单位向量是相等向量吗？

6．有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7．如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？

这时各向量的终点之间有什么关系？

注意：

1．数量与向量的区别：

2.向量的表示方法：

①用表示；

②用

（黑体，印刷用）等表示；

③；

④.

3.有向线段：

具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：

.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

4．零向量、单位向量概念：

①叫零向量，记作0.0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.

②，叫单位向量.

说明：

零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5．平行向量定义：

①叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

说明：

（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

6．相等向量定义：

叫相等向量.

说明：

（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

7．共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

说明：

（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

例1书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（）

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

（）

例3下列命题正确的是（）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解析：

例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.

变式一：

与向量长度相等的向量有多少个？

变式二：

是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？

变式三：

与向量共线的向量有哪些？

变式训练：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：

①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.

课堂小结

1、描述向量的两个指标：

模和方向.

2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

作业

课本88页习题2.1第3、5题

拓展提升

1．下列各量中不是向量的是（）

A.浮力B.风速C.位移D.密度

2.下列说法中错误的是（）

A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0

C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的

3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）

A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆

4．已知非零向量,若非零向量，则与必定.

5．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定.

6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则

参考答案

1、数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①有向线段

②字母ａ、ｂ

③有向线段的起点与终点字母：

；

④向量的模，记作||.

3.起点、方向、长度.

4．零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量

②长度为1个单位长度的向量

5．平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量

6．相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量

例1书本86页例1.

例2

（1）（不一定）

（2）（不一定）

（3）（零向量）

（4）（零向量）

（5）（平行向量）

（6）（长度相等且方向相同）

（7）（不一定）

例3

解：

由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

例4

变式一：

（11个）

变式二：

（存在）

变式三：

（）

变式训练

解：

①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.

拓展提升

1.D2.A3.D4.平行5.不共线6.，

2019-2020年高中数学2.1《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计新人教A版必修4

【教学目标】

1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2．通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

3．通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

【导入新课】

情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：

猫能否追到老鼠？

（画图）

结论：

猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：

老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.

引言：

请同学指出哪些量既有大小又有方向？

哪些量只有大小没有方向？

新授课阶段

（一）向量的概念：

我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：

（可制作成幻灯片）

1．数量与向量有何区别？

2．如何表示向量？

3．有向线段和线段有何区别和联系？

分别可以表示向量的什么？

4．长度为零的向量叫什么向量？

长度为1的向量叫什么向量？

5．满足什么条件的两个向量是相等向量？

单位向量是相等向量吗？

6．有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7．如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？

这时各向量的终点之间有什么关系？

注意：

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：

；

④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.

3.有向线段：

具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：

起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

4．零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：

零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5．平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

说明：

（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

6．相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：

（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

7．共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

说明：

（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

例1书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

（不一定）

例3下列命题正确的是（）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：

由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.

变式一：

与向量长度相等的向量有多少个？

（11个）

变式二：

是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？

（存在）

变式三：

与向量共线的向量有哪些？

（）

课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：

①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.

课堂小结

4、描述向量的两个指标：

模和方向.

5、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

6、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

作业

课本88页习题2.1第3、5题

拓展提升

1．下列各量中不是向量的是（）

A.浮力B.风速C.位移D.密度

2.下列说法中错误的是（）

A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0

C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的

3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）

A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆

4．已知非零向量,若非零向量，则与必定.

5．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定.

6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则.

参考答案

1.D2.A3.D4.平行5.不共线6.，