数学北师大版六年级下册莫比乌斯带.docx
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数学北师大版六年级下册莫比乌斯带
【教学内容】
《义务教育教科书数学》（人教版）四年级上册第70页。
【教学目标】
1.认识“莫比乌斯带”，通过操作、思考，发现并验证“莫比乌斯带”的特征。
2.培养大胆猜测，勇于探究的求索精神。
3.在“莫比乌斯带”魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养其良好的数学情感。
【教学准备】
每位学生若干张长方形纸条、剪刀、固体胶、水彩笔。
【教学过程】
一、魔术引入，揭示课题
1.魔术引入，激发学生对纸条的兴趣
师：
老师手里有一张纸条和两个回形针，一会儿老师可以利用纸条变个魔术，让两个回形针手牵手，你信吗？
师：
请你瞪大眼睛仔细看，鉴证奇迹的时刻到了……
师：
看来这小小的纸条看似普通，其实还真是挺不简单的！
今天我们这节课就和纸条有关，这节课的名字叫做？
请同学们齐读课题。
生齐读课题：
“神奇的怪圈——莫比乌斯圈”。
2.揭示课题“神奇的怪圈——莫比乌斯圈”
师：
看了这个课题，你们有什么想法和问题吗？
你们想通过这节课学习关于莫比乌斯圈的哪些知识？
生1：
莫比乌斯圈是什么样子的？
师：
莫比乌斯圈就长这样儿，老师粘黑板上。
生2：
莫比乌斯圈在生活中有哪些应用？
回归生活。
师：
“莫比乌斯带”有很多神奇的地方，在生活中有很多应用。
生3：
什么是莫比乌斯圈？
师出示小资料，让学生读一读，介绍莫比乌斯圈的来历。
生4：
莫比乌斯圈有什么神奇的地方？
师：
这个问题太好了，说莫比乌斯圈是神奇的怪圈，它神奇在哪儿，又为什么奇怪呢？
下面我们就一起来研究研究这个莫比乌斯圈。
【设计意图】学生有问，教师就要有所回应。
让学生初步了解关于莫比乌斯圈的相关知识，既回应了学生，满足了学生需求，也为后面的深入教学打下基础。
让学生在后来的学习中，可以越来越深刻地感悟到，原来知识不仅仅是这样，帮助学生养成乐于探究，乐于深入探究的好的自学习惯。
二、认识“莫比乌斯圈”
（一）莫比乌斯圈的形成过程
师：
要想研究这个问题，我们必须先弄清莫比乌斯圈的形成，这就需要我们先回归到刚才变魔术用的那张纸条，一切都从这张小小的纸条说起。
1.一张纸条两个面，四条边
师：
请同学们观察这个纸条，它有几个面，几条边？
生：
（齐）两个面，四条边。
2.一张纸条两个面，两条边
师：
一个正面，一个反面，上、下、左、右四条边。
谁会变魔术，能把它变成有两条边，两个面的？
学情预设：
学生能说出把纸条两边粘起来，这样就是两个面，两条边。
师：
我看见很多同学都折好了，举起来，是不是做成这样的？
师：
如果这个纸环里面有一只小蚂蚁，它想要爬到纸环的外面，得怎么爬？
生：
越过纸环边缘翻过去，或者在纸环上打洞。
师：
如果这只蚂蚁不经过纸环的边缘，也不打洞，它怎么才能从里面直接就爬到外面呢？
生1：
把两个面变成一个面。
生2：
做成黑板上的莫比乌斯圈。
师：
那这个纸圈应该怎么做呢？
3.一张纸条一个面，一条边
学生动手试做，当学生遇到困难时老师带领学生一起做一个纸圈。
把纸条拿在手中，捏着一端，再将另一端扭转180°，反面朝上，再上下重叠、对接、粘贴起来。
强调：
一头不变，另一头拧180°，两头粘贴。
学生动手验证—教师指导验证方法—说说你的发现。
师：
这是怎么做出来的？
你们能做吗？
同学之间可以互相帮助。
师：
好，请看，先把它做成一个普通的纸环，然后将一段翻转180度，再把它粘好。
师：
刚才我说它只有一个面，我们一起来动手验证一下，用笔在纸圈中间画一条线，笔尖不离开纸面一直画一圈，你会有哪些发现？
生：
又回来了
师：
说明了什么？
生：
它只有一个面。
师：
我们用手指沿着纸圈的边走一圈，你又发现了什么？
生：
它只有一条边。
【设计意图】有趣的问题能促使学生思考和探究，在探究过程中问题层层深入，提高了思维含量。
由“这张纸条几条边，几个面”到“谁能将这张纸条变成两条边，两个面”，再到“怎样变成一个面，让蚂蚁爬到外面”，问题一层一层深入，一个比一个更有难度，进一步激发了学生学习数学的兴趣。
（二）莫比乌斯圈的成因
师：
为什么从这个面就滑到了另外一个面呢？
为什么两条边就变成了一条边呢？
小组同学交流一下。
教师总结：
内侧面和外侧面相接，上面的边和下面的边相连，因此，这个纸圈会是一条边，一个面。
【设计意图】从纸条到普通纸圈再到“莫比乌斯带”，学生经历了一个从熟悉到陌生，从普通到神奇的知识形成过程，这个过程对学生来说是新鲜、有趣的，它指引着学生一步步揭开“莫比乌斯带”的神秘面纱。
师：
一张普通的纸条，从两个面四条边，到变成一个面一条边，你觉得莫比乌斯圈神奇吗？
生：
有点儿神奇。
师：
莫比乌斯圈的神奇之处可不止这些，让我们接着来研究。
三、“莫比乌斯圈”的特点
魔术：
找一名比较高比较胖的同学到讲台，教师把一个做好的莫比乌斯圈放在该生头顶。
师：
看，这个莫比乌斯圈小小的，一会儿老师变一个魔术，能让这个莫斯乌斯圈把这名同学套进去，
你们相信吗？
生：
老师吹牛，不信，这么小怎么套进去？
1.用剪刀沿着纸圈的中线剪开
师：
莫比乌斯带诞生以后，引起了很多人的关注，有人就想，如果沿着纸圈的中线剪开，会是什么样子的呢？
同学们，让我们来猜一猜。
生1：
它会变成两个圈。
生2：
……
师：
要想知道它到底会变成什么样子，我们该如何做？
生：
剪剪看。
师：
为了不把它剪断，先看老师是怎样开始剪的？
注意安全。
学生动手沿着中线剪开，发现剪开之后变成了一个大的纸环。
师：
那么，这个大的纸环是不是“莫比乌斯带”呢？
请同学们再用手中的彩笔画出中线来验证一下。
生：
我发现一笔画完后，它又回到起点，所以它还是莫比乌斯圈。
师：
现在的这个莫比乌斯圈和原来的那个对比一下，你还有没有其他发现？
生：
变大了。
师：
那么，回到刚才的那个问题，现在老师说我能让这个纸圈把同学套进去，你相信了吗？
生：
相信了，只要纸条够宽，这样不断沿着二分之一处剪下去就行了。
师：
是呀，说得太好了，不断剪下去就行了，那不断剪下去，它不但会套进去一名同学，还会……
生：
装下我们整个班级的学生，甚至装下整个地球。
师：
说得太棒了，数学往往就是这样，只要一动手，再一仔细想，就会有很多意外的收获。
师：
学到了这里，你对莫比乌斯带有了怎样的感觉呢？
生：
太神奇了！
2.沿着第二个环离边缘三分之一宽度的地方剪
师：
莫比乌斯带的神奇还远远不止这些，让我们继续体会。
师：
刚才我们变了一个小魔术，把同学们都装进了一个大纸圈里，下面老师还能变一个魔术，还是这一个莫比乌斯圈，不仅能把全班同学都装进纸圈里，还能让每个同学都分别在自己的纸圈里，一个变多个。
你们相信吗？
生1：
相信了，但是怎么做到的呢？
生2：
不相信，这个有些吹牛。
请拿出2号纸条，把它做成莫比乌斯圈。
师：
刚才我们把一个“莫比乌斯圈”平均分成了2份，我有一个想法，如果我们把它们平均分成3份，又会出现怎样的情况呢？
拿出平均分成3份的纸条，将中间的一部分涂色。
如果沿着任意一条线剪开会怎样呢？
动手之前我们仍然先来猜测一下结果。
学生大胆猜测。
师：
那么，你自己验证一下。
注意，一定要沿着上面的线剪开。
学生动手操作，教师巡视，指点有困难的学生。
展示学生作品。
师：
看，和你猜测的一样吗？
分成了大小两个纸环。
观察这两个纸环你有什么发现？
学情预设：
（1）其中小的纸环有颜色，说明是刚才中间的一部分组成的，大的纸环就是两边的部分组成的。
（2）两个纸环还是莫比乌斯圈。
师：
哎，再次回到刚才的问题，老师想把一个圈变成37个圈，把你们都装进来，分别套在自己的圈里，现在你相信了吗？
生：
相信！
师：
那我们只需要怎么做就行了？
生：
只要材料够用，就沿着三分之一处不断剪。
【设计意图】魔术的情境引入，激发了学生的学习热情。
通过让学生动手沿二分之一，三分之一线剪，使学生经历了一个从猜测到验证的过程，不仅满足了学生的好奇心，也向学生初步渗透了猜测、验证、探索等数学思想，并引导孩子们寻找生活中的“莫比乌斯带”，发挥想象看到能否创造性地用上它，这让孩子们体会到，数学来源于生活，又回到生活。
【板书设计】
神齐的莫比乌斯带
纸条：
4条边2个面
纸环：
2条边2个面
莫比乌斯带：
1条边1个面
教师内容：
北师大版六年级下册第54页、55页。
教学目标：
第一，学生能将长方形纸条制作成莫比乌斯带，体会莫比乌斯带的特征。
第二，学生通过动手操作、验证交流，经历认识和探索莫比乌斯带的过程，积累数学活动经验。
第三，在数学活动中经历猜想与探索的过程，感受莫比乌斯带魔术般的神奇变化，感受数学的无穷魅力，进一步激发学生学习数学的兴趣和培养良好的数学情感。
第四，培养大胆猜测、勇于探究的求索精神。
教学重点：
一个面一条边（单侧曲面）的理解。
教学难点：
理解莫比乌斯带只有一个面。
教学过程：
课前谈话：
从前有一个小偷，偷了一位农民的东西，被很不幸被当场捕获。
小偷被送到县衙，县官一看，心里咯噔一下：
天哪，这不是我的侄子吗？
我得救他。
于是他在一张纸条的正面写上：
小偷应当放掉，在这张纸条的反面写上：
农民应当关押。
县官将纸条交给执事官，执事官拿到纸条一看，非常气愤，他不想冤枉一个好人，放掉一个坏人，但是又不敢得罪县官，于是，他灵机一动，把纸条扭了扭，当场向大家宣布：
根据县太爷的命令：
应当放掉农民，应当关押小偷。
县官听了大怒，责问执事官。
执事官将纸条捏在手上给县官看，县官仔细查看，发现字迹没有被涂改，纸条也没有被破坏。
县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。
同学们，你们知道这是怎么回事吗？
一、创设情境，解决问题
师：
在100多年前一个阳光美好的下午，一位老人制作了一个纸环，这时一只小蚂蚁爬上了他的桌子，他微笑着对小蚂说：
小朋友，到我这个新建筑上来看看吧。
他于是小心翼翼地把小蚂蚁请到了纸环的外侧，然后在纸环的内侧放了一点面包屑（课件出示主题图），
这时他想：
如果小蚂蚁不爬过纸杯的边缘，也不破坏纸环，它能吃到面包屑吗？
（稍作停顿）请利用你手中的一面是蓝色的长方形纸条，小组内研究研究。
学生小组合作展开研究。
师：
（观察学生）同学们研究的非常认真，哪个小组已经把问题解决了？
到前面演示一下。
生：
我们小组已经解决问题了，大家看（手中拿着一张一面涂有蓝色的长方形纸条），我把这张纸条首尾相接，就做成了一个纸环，这个纸环有两个面，如果小蚂蚁不爬过纸环的边缘，也不破坏纸环，它是永远吃不到面包屑的。
所以我们就想了一个办法，把纸环的一端一扭，这样就可以把小蚂蚁引到有面包屑的那一面了，更确切地说，我们把纸环的正面和反面接到了一起，现在的纸环只有一个面了。
师：
怎么扭？
生：
扭半圈，也就是扭180?
。
师：
这样一扭真的可以帮助小蚂蚁吃到面包屑了吗？
生：
老师，给我们点时间我们试试好吗？
师：
好，请同学们用XX同学的方法试着做一做。
学生尝试做纸环。
师：
（观察学生）已经做好纸环的同学，请举起纸环示意一下，没做出来的同学也别着急，旁边的同学教教他。
做好的同学，想办法验证一下：
现在小蚂蚁能吃到面包屑吗？
学生独自或小组内想办法进行验证。
师：
那也就是说，不管用什么方法验证，这样一扭确实帮助小蚂蚁吃到了面包屑。
大家同意吗？
生：
同意。
师：
一个普通的纸环经过轻轻的一扭，就有原来的两个面变成了一个面，神奇吗？
学生看着自己手里的纸环，自言自语：
太神奇了！
师：
大家知道这个神奇纸环的名字吗？
学生摇头：
不知道。
师（课件出示）：
请同学们阅读小资料。
小资料：
德国有一位数学家叫奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯，1858年，一次偶然的机会，他发现了这样一个奇妙的纸圈。
人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯圈，或莫比乌斯环、莫比乌斯带。
二、动手操作，深刻体验
师：
莫比乌斯带到底有多神奇呢？
见证奇迹的时刻到了！
现在我们每个人的手里都有一个莫比乌斯带，如果沿着莫比乌斯带的二等分线剪开，会变成什么样呢？
不着急做，先猜一猜。
生1：
两个变小了的环。
生2：
断了，不是环形了。
生3：
套在一起的两个环，比原来小。
生4：
变成了一个更大的环，有原来的两倍大。
生5：
两个莫比乌斯环。
师：
大家的想法真多，我们要想知道到底谁猜的正确，该怎么办？
生：
动手试一试。
师：
那大家就试一试，用剪刀时请注意安全。
学生动手验证猜测。
学生经过动手操作得到的结果：
变成了一个更大的环。
师：
（看着手中拿着大环的学生）太神奇啦！
这是怎么回事？
多出的部分是从哪来的？
生纷纷举手：
大环的周长是原来小环的2倍，但大环的宽度却只有原来小环的一半，宽变到长上去了，这就是变大的原因。
师：
大家同意他的说法吗？
（同意）这位同学太善于观察了，真了不起！
师追问：
这个大环还是莫比乌斯环吗？
学生利用前面已经掌握的方法再次验证，得出结论：
新的环不再是莫比乌斯环。
三、利用网络，了解应用
师：
这么神奇的莫比乌斯环，它在生活中有什么用处呢？
请大家
利用手中的平板电脑查找一下，生活中哪些领域用到了莫比乌斯环。
学生利用网络查找关于莫比乌斯环的相关应用。
学生汇报查找到的资料：
生产中的传送带、生活中的针式打印机、游乐场的过山车、公园里的莫比乌斯爬梯、绘画作品……
师：
同学们很会应用网络进行学习，通过网络我们了解到，莫比乌斯带被广泛应用到各个领域。
四、静心回顾，谈谈感悟
师：
今天我一起研究了关于莫比乌斯带的知识，在这节课中你有什么感想？
生1：
这节课我很开心，我感到莫比乌斯带真的很神奇。
生2：
我喜欢和同学一起研究数学问题，通过研究，我们知道了更多的奥秘。
生3：
我要把数学课上的学习热情带到中学课堂去。
……
师：
“莫比乌斯带”确实很神奇，让我们产生了无限的遐想，希望这节课对同学们有所启发，多留心观察生活，勇于探索，发现更多的奥秘。
教学目标：
１.使学生了解，认识莫比乌斯带．
２．动手制作，自立探索莫比乌斯带．
３.感受教学知识的无穷奥妙，激发学习数学的浓厚兴趣．
教具：
剪刀胶水水彩笔纸条若干个．
教学过程：
一．揭示课题
师：
同学们，知道我们这节课要研究什么吗？
生：
神奇的莫比乌斯带
师：
你们是怎么知道的？
生：
屏幕上有课题
师：
哦，原来电视带给大家的信息，你们可真会观察．那么看了这个课题，你们有什么想法吗？
生１：
莫比乌斯带是什么样子的？
生２：
莫比乌斯带有什么神奇的地方？
生３：
莫比乌斯带在生活中有哪些应用？
师：
同学们想知道的还真不少，要想知道这些问题还得从这张小小的纸条说起．
变魔术
师：
（出示一张白纸条）请拿出这样的白纸条．这个纸条有几条边，几个面？
生：
（齐）四条边，两个面．
师：
一个正面，一个反面（边说边比划，学生也随着说）我会变魔术，能把他变成只有两条边，两个面．
师：
（教师微笑着把纸条变成圈），是比是有两条边，两个面（边问边比划）．
生：
是
师：
你会吗？
生：
会（学生都做了纸圈）．
师：
说到这，同学们可能会觉得，这也没什么神奇的呀！
是呀，这点小把戏，地球人都知道．奇妙的是我还能把它变成一个面，一条边．（停顿，环视学生）．看，我变出来了是这样的．
（做纸圈）师：
这是怎么做出来的？
你们能做吗？
同学之间可以互相帮助．这位同学做出来了，说说你是怎么做出来的？
师：
好请看，先把它做成一个普通的纸圈，然后将一段翻转180度，再把它粘好．（学生跟着一起做）．
师：
刚才我说它只有一个面，（那么它是不是一个面呢？
）我们一起来动手验证以下，用笔在纸圈中间画一条线，笔尖不离开纸面一直画一圈，你会有什么发现？
生：
又回来了
师：
说明了什么？
生：
它只有一个面．
师：
我们用手指沿着纸圈的边走一圈，你又发现了什么？
（同学们真的很会观察发现）
师：
这样一个怪怪的纸圈叫什么名字呢？
生：
莫比乌斯带
师：
为什么？
（德１８５８）你怎么知道的？
那么莫比乌斯带有什么特点呢？
12剪
师：
莫诞生以后，引起了很多人的关注，有人就想，如果沿着纸圈的中线剪开，会是什么样子的呢？
同学们，让我们来猜一猜．
生１：
它会变成两个圈．
生２：
...........
师：
要想知道它到底会变成什么样子的，我们该怎样做？
生：
剪剪看．
师：
为了不把它剪断，先看老师是怎样开始剪的？
（强调怎样剪）注意安全．
师：
剪完的同学举起来给大家看一看，太不可思议了！
怎么会变成这个样子呢？
生：
（因为莫......是扭了１８０度才粘在一起的，所以剪开后好像伸开了一样，是一个连着的大圈）．
师：
分析得很合理，那么这个大圈是不是莫.......带呢？
我们来验证一下吧．（沿着大圈的中线用笔一直画，看看是每个面画上了）
生：
我发现一笔画完后，并不是每一个面都画上了，所以它不是莫......带．
师：
确实是这样的，它有两个面，不是..................．
?
．猜
‚．剪
ƒ．汇报（真的是两个圈，并且还套在一起）．
师：
学到了这里，你对莫......带有了怎样的感觉呢？
生：
太神奇了
沿13剪
师：
莫......带的神奇还远远不止这些，让我们继续体会．
请拿出２号纸条，把它做成莫..........带．
师：
这个莫.........带的面被平均分成三等分，我们可以沿着任意一条直线剪下去，会有怎样的结果呢？
猜剪汇报
生：
一个大圈套着一个小圈．
师：
验证一下，这两个圈是不是莫．．．．．带？
怎么会变成这样？
生：
中间涂色的部分变成了这个小圈，两边沿涂色的部分，剪完后连在一起，变成了这个大圈．
师：
你们赞成他的说法吗？
你们可真会探索、发现．
刚才我们研究了莫．．．．．．带的½和13线剪开后的情况，感受到了莫.......的神奇．
欣赏资料（１）
师：
莫.......还有很多神奇的地方，大家想对它有更多的了解吗？
（多媒体演示）．
师：
这是莫.......的爬梯，一只小蚂蚁在快速地往前走，这只小蚂蚁会有怎样的奇遇呢？
生：
答小蚂蚁从一个点出发，最后又回到一个点，它怎么也爬不出这个爬梯......
师：
大家的想象力真丰富．
师：
请看这是中国科技馆的大厅里耸立着一个巨型的三叶纽结．这个三叶纽结就是莫.......带的原理设计的．它每天不停地旋转着美妙的曲线，带给我们美的享受，让我们享受着数学的神奇，带给我们无限的遐想．
师：
莫......带不但很神奇，它在生活中还有许多用处呢？
有些机器上的传动带就做成莫........带形状的，这样就不会只磨损一个面，使传动带的寿命提高了一倍．
课外延伸：
总结：
通过这节课的学习，你知道了什么？
师：
其实，莫.......带还有许多的玩法，比如：
刚才我们将纸条的一端扭转一个１８０°，还可以.........
生：
还可以扭转成两个１８０°，也就是３６０°等
师：
刚才我们沿着12线﹑13线剪，其实还可以........，那样会是什么样子呢？
师：
有兴趣的同学可以爱课下继续探索，研究．将研究的结果写成数学日记，在全班交流，我期待着同学们会有更神奇的发现
一、创设情境，解决问题
师：
在100多年前一个阳光美好的下午，一位老人制作了一个纸环，这时一只小蚂蚁爬上了他的桌子，他微笑着对小蚂说：
小朋友，到我这个新建筑上来看看吧。
他于是小心翼翼地把小蚂蚁请到了纸环的外侧，然后在纸环的内侧放了一点面包屑（课件出示主题图），
这时他想：
如果小蚂蚁不爬过纸杯的边缘，也不破坏纸环，它能吃到面包屑吗？
（稍作停顿）请利用你手中的一号的长方形纸条，小组内研究研究。
学生小组合作展开研究。
师：
（观察学生）同学们研究的非常认真，哪个小组已经把问题解决了？
到前面演示一下。
生：
我们小组已经解决问题了，大家看（手中拿着一张一面涂有蓝色的长方形纸条），我把这张纸条首尾相接，就做成了一个纸环，这个纸环有两个面，如果小蚂蚁不爬过纸环的边缘，也不破坏纸环，它是永远吃不到面包屑的。
请同学们在指环外侧取一点作为蚂蚁的起点，将它的行走路线涂色。
再观察一下它的边，看看会有什么发现。
发现纸环涂到只有一面的颜色，另一面涂不到，也就是说这样的纸环有两个面两条边，叫做双侧曲面。
那同学们换另种方法来试试，看结果会怎样？
请大家拿出二号纸条，把纸条一头扭转180度，两头再粘接起来做成一个新的纸环。
试试这样可以帮助小蚂蚁吃到面包屑吗？
师：
好，请同学们用这种方法试着做一做。
学生尝试做纸环。
师：
（观察学生）已经做好纸环的同学，请举起纸环示意一下，没做出来的同学也别着急，旁边的同学教教他。
做好的同学，想办法验证一下：
现在小蚂蚁能吃到面包屑吗？
学生独自或小组内想办法进行验证。
师：
那也就是说，不管用什么方法验证，这样一扭确实帮助小蚂蚁吃到了面包屑。
大家同意吗？
生：
同意。
那请同学们将小蚂蚁的行走路线来涂色，在观察一下它的边，看看又会有怎样的发现。
沿着面涂颜色，最后涂成的是一种颜色，也就是说蚂蚁不翻过任何一处的纸的边缘，却能爬到纸表面的每一个地方。
看来这个纸环只有一个面一条边，也就是单侧曲面。
师：
一个普通的纸环经过轻轻的一扭，就有原来的两个面变成了一个面一条边，神奇吗？
学生看着自己手里的纸环，自言自语：
太神奇了！
师：
大家知道这个神奇纸环的名字吗？
学生摇头：
不知道。
师（课件出示）：
发现这个奥秘的就是这个叫莫比乌斯的老人，他是德国有一位数学家叫奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯，1858年，他在研究四色定理时，发现了这样一个奇妙的纸环。
人们就把这样的纸环叫莫比乌斯带，也叫做莫比乌斯圈。
二、动手操作，深刻体验
师：
莫比乌斯带到底有多神奇呢？
现在我们每个人的手里都有一个普通的纸环和一个莫比乌斯带，如果沿着纸环的二等分线剪开，会变成什么样呢？
不着急做，先猜一猜。
师：
大家的想法真多，我们要想知道到底谁猜的正确，该怎么办？
生：
动手试一试。
师：
那大家就试一试，用剪刀时请注意安全。
学生动手验证猜测。
学生经过动手操作得到的结果：
普通纸环变成了两个窄一点的纸环，但莫比乌斯带却没有分成两个圈，而变成了一个窄一点的大纸环。
新的纸环还是莫比乌斯带吗？
学生利用前面已经掌握的方法再次验证，得出结论：
师：
太神奇啦！
如果将莫比乌斯带再三等分，四等分剪开，又会怎样的呢？
学生利用前面已经掌握的方法再次验证，得出结论：
三、利用网络，了解应用
师：
这么神奇的莫比乌斯环，它在生活中有什么用处呢？
师：
通过网络我们了解到，莫比乌斯带不止是一个数学概念，它作为一个极富趣味与意义的主题，还被运用在鞋
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