广东省惠州市2011届高三第二次调研考试(文科数学)(参考答案及评分标准).doc
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广东省惠州市2011届高三第二次调研考试
数学试题（文科）
本试卷共5页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
圆锥的侧面积公式，其中为底面半径，为母线．
球的表面积公式，其中为球的半径．
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．集合,,若,则的值为（）
A.0B.1C.2D.4
2．若复数为纯虚数，则实数的值为（）
A．B．C．D．或.
3．已知条件：
，条件：
<1，则是成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
4．函数的零点个数为（）
A.3B.2C.1D.0
5．设函数，曲线在点处的切线方程为，
则曲线在点处切线的斜率为（）
A.3B.5C.2D.4
6．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
7．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是（）
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
8．已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）
A．B．C．D．
9．若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（）
A．B． C． D．
B
C
A
E
F
M
（第10题图）
10．在平面向量中有如下定理：
设点为同一平面内的点，则三点共线的充要条件是：
存在实数，使.
如图，在中，点为边的中点，点在边上，
且，交于点，设，
则（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）
（一）必做题：
第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。
50
10
主视图
40
侧视图
20
20
20
俯视图
开始
sum=sum+i*（i+1）
i=1,sum=0
输出sum
i=i+1
结束
否
是
？
11.一简单组合体的三视图及尺寸如下图示（单位：
cm），则该组合体的表面积为。
12.若点到直线的距离为4，且点在不等式＜3表示的平面区域内，则=。
13.一个算法的程序框图如上图所示，若该程序输出的结果为70，则判断框中应填入的条件是。
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆与方程所表示的图形的交点坐标为。
15．（几何证明选讲选做题）如图，点在⊙O上，为直径AC上一点，的延长线交⊙O于，，若⊙O的半径为，，则的长为。
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
（★请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分．）
16．（本题满分12分）
已知向量，，且满足。
（1）求函数的解析式；并求函数的最小正周期和最值及其对应的值;
（2）锐角中，若，且，，求的长．
17．（本题满分12分）
惠州某中学高三（16）班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．
（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学B得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？
并说明理由．
18．（本题满分14分）
如图，在四棱锥中，垂直于底面,底面是直角梯形，，且（单位：
），为的中点。
（１）如图，若正视方向与平行，请在下面（答题区）方框内作出该几何体的正视图并求出正视图面积；
（２）证明：
平面；
（３）证明：
平面；
19．（本题满分14分）
已知函数（其中常数）,是奇函数.
（１）求的表达式;
（２）讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.
20．（本题满分14分）
设直线与椭圆相交于、两个不同的点，与轴相交于点。
（1）证明：
；
（2）若是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程。
21．（本题满分14分）
对于函数，若存在∈R，使成立，则称为的不动点．如果函数＝有且仅有两个不动点0和2．
（1）试求b、c满足的关系式；
（2）若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn·＝1，
求证：
＜＜；
（3）在
（2）的条件下，设bn＝－，为数列{bn}的前n项和，求证：
．
惠州市2011届高三第二次调研考试
数学试题（文科）答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
B
D
D
A
C
C
A
1.【解析】∵,,∴∴,故选D.
2.【解析】由故选A
3.【解析】p：
，q：
或，故q是p成立的必要不充分条件，故选B.
4.【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选B。
5．【解析】由已知，而，所以。
6.【解析】，，∴只需将的图象向左平移个单位，答案选D。
7.【解析】路程是时间的函数∴随着时间的变大，路程也逐渐增大，故排除D；汽车减速行驶之后停车，汽车速度的变化是逐渐变小故选A
8.【解析】C；，；
∴，因此．
9．【解析】由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得．
10．【解析】因为点B、M、F三点共线，则存在实数t，使.
又，，则.
因为点C、M、E三点共线，则，所以.故，故选A.
二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）
11.12800；12.m=-3；13.14.；写也给分；15.MN=2
11．【解析】该组合体的表面积为：
12.【解析】由题意得：
2m+3＜3且，解得m=-3
13.【解析】:
sum=,i等于5时再运行一次循环体程序就要跳出，故
14.【解析】,；写,也给分；
15．【解析】∵∴,∵OM=2,BO=∴BM=4,
∵BM·MN=CM·MA=（+2）（-2）=8，∴MN=2．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．解：
（1）且
∴,又
………….2分
…………….4分
函数的最小正周期…………….5分
当时，的最大值为，
当时，最小值为…………….7分
（2）因为即
∴……….8分
∵是锐角的内角，∴……….9分
∵，AC=3
由余弦定理得：
……….10分
∴……….12分
17．解：
（1）某同学被抽到的概率为……….2分
设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为…….4分
（2）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有：
共种，……….6分
其中有一名女同学的有种
选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为……….8分
（只是列出组合，没考虑顺序的同样给分）
（3），
20090325
，
第二同学B的实验更稳定……….12分（每个结果算对给1分）
18．解
（1）正视图如下：
（没标数据扣1分）
…………3分
主视图面积……………….4分
（2）设的中点为，连接………………5分
，且………………6分
故四边形平行四边形，可得，………………7分
平面，平面，平面………………9分
（3）底面，平面，………10分
又平面，平面
平面………………11分
平面,所以，………………12分
又为的中点，所以，………………13分
平面，平面，所以平面……14分
19．解：
（1）由题意得，……….1分
又因为是奇函数所以，即对任意的实数有
….3分
从而有即，……….5分
因此的解析式为……….6分
（2）由
（1）得，所以……….7分
令解得……….8分
则当时
即在区间上是减函数；….9分
当时即在区间上是增函数……….10分
由前面讨论知，在区间上的最大值与最小值只能在处取得，
而……….12分
因此在区间上的最大值为……….13分
最小值为……….14分
20．解：
（1）证明：
将，消去x，得
①……………3分
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
所以…………5分
（2）解：
设
由①，得…………7分
因为…………8分
所以，
消去，得
化简，得…②……11分
因F是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a2－1
代入②式，解得………………13分
所以，椭圆的方程为…………14分
21．解：
（1）设
∴……………3分
（2）∵c＝2∴b＝2∴，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an≠1．
当n≥2时，2Sn-1＝an－1－an－12……②，
①－②得（an＋an－1）（an－an－1＋1）＝0，
∴an＝－an－1或an＝－an－1＝－1，……5分
当n＝1时，2a1＝a1－a12a1＝－1，
若an＝－an－1，则a2＝1与an≠1矛盾．∴an－an－1＝－1，∴an＝－n．……6分
∴要证不等式，只要证，即证，
只要证，即证．……7分
考虑证不等式（x＞0）**．………………8分
令g（x）＝x－ln（1＋x），h（x）＝ln（x＋1）－（x＞0）．
∴g'（x）＝，h'（x）＝，
∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0,＋∞）上都是增函数，……9分
∴g（x）＞g（0）＝0，h（x）＞h（0）＝0，∴x＞0时，．
令则**式成立，∴＜＜，……………10分
（3）由
（2）知bn＝，则Tn＝．
在中，令n＝1，2，3，……，2008，并将各式相加，
得，
即T2009－1＜ln2009＜T2008．…………………14分
第11页共11页
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