全国初中数学竞赛试题与参考答案.docx

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全国初中数学竞赛试题与参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题

题号

一

二

三

总分

11

12

13

1

～

5

～

10

14

6

得分

评卷人

复查人

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答；

2．解答书写时不要超过装订线；

3．草稿纸不上交.

一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为

A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw27

1．设a

7

1，则代数式3a312a2

6a

12的值为（

>.

10

7

12

2．对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算

“△”为：

bd，adbc）．如果对于任意实数

u，v，

u，v

）△

u，v

），那么

>.

都有<

qfRgF4dw27

3．若x

1

，y

0，且满足xy

xy，x

x3y，则x

y的值为（

>.

y

2

2

4．点D，E分别在△

ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点

F，设

S四边形EADF

S1，SBDF

S2，SBCF

S3，SCEF

S4，则S1S3

与S2S4的大小关系为

（>.

S2S4

S2S4

1

1

1

1

，则4S的整数部分等于（

>.

5．设S3

3

3

3

1

2

3

99

二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）

6．若关于x的方程（x

2）（x2

4xm）0有三个根，且这三个根恰好可

以作为一个三角形的三条边的长，则

m的取值范围是.

7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是

1，2，2，3，3，

4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是

1，3，4，5，6，8.

同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率

是.

NW2GT2oy01

8．如图，点A，B为直线y

x上的两点，过A，B两点分别作

y轴的平行

线交双曲线

y

1

2AC，则4OC2

OD2的值

x

为.

NW2GT2oy01

<第8题）

9．若

<第10题）

y

1x

x1的最大值为

a，最小值为

b，则a2

b2的值为

.

10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB

ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为

三、解答题<共4题，每题20分，共

的长为

.

80分）

35，正方形

NW2GT2oy01

CDEF

内接于△

11．已知关于

x的一元二次方程

x2

cx

a

0的两个整数根恰好比方程

x2

ax

b

0的两个根都大

1，求

a

bc的值.

12．如图，点

H为△

ABC的垂心，以

AB为直径的⊙

O1和△

BCH

的外接圆

⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：

点P

为CH的中点.

13．如图，点

A为y轴正半轴上一点，

<第12题）

A，B两点关于x轴对称，过点A任

作直线交抛物线y

2

x2于P，Q两点.

3

<1）求证：

∠ABP=∠ABQ；

<2）若点A的坐标为<0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线PQ的函数解读式.

14．如图，△ABC中，

BAC

60

，

<第13题）

AB

2AC．点

P在△ABC

内

，

且

PA

3，PB5，PC

2，求△ABC的面积．

中国教育学会中学数学教学专业

委员会

<第14题）

“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答

案

一、选择题

1．A

解：

由于a

71，a1

7，a2

62a，所以

3a

3

12a

2

（

）

（

）

6a123a6

2a

126

2a

6a12

6a2

12a

60

（

）

12a

60

24.

66

2a

2．B

解：

依定义的运算法则，有

ux

vy

，

u（x

1）

vy

，

u

0

即

对任何实数

vx

uy

，

v（x

1）

uy

0

v

u，v都成立.由于实数u，v的任意性，得

3．C

解：

由题设可知yxy1，于是

x

yx3y

x4y1，

所以

4y11

，

故y

1

，从而x4．于是xy

9

2

．

2

4．C

解：

如图，连接DE，设SDEFS1

，则

S1

EF

S4，从而有S1S3

S2S4．由于S1S1

，所以

S2

BF

S3

S1S3

S2S4．

<第4题）

5．A

解：

当k2，3，，99时，由于

1

1

1

1

1

，

k3

kk2

1

2k1kkk1

所以

1S1

11

1

1

11

99

1

5.

23

33

993

2

2

100

4

于是有4

4S

5，故4S的整数部分等于4．

二、填空题

6．3＜m≤4

解：

易知x

2是方程的一个根，设方程的另外两个根为

，

，则

x1x2

x1x2

4，x1x2

m．显然x1

x2

4

2，所以

x1

x2

2，

164m≥0，

即

2

4x1x2

2，

16

4m

≥0，所以

x1x2

16

4m

2，

16

4m≥0，

解之得

3＜m≤4.

7．1

9

解：

在36对可能出现的结果中，有

4对：

<1，4），<2，3），<2，3），

<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为

5的概率是4

1

.NW2GT2oy01

36

9

8．6

解：

如图，设点C的坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d）,

则点A的坐标为（a，a），点B的坐标为（c，c）.由于点C，D

在双曲线y

1上，所以ab

1，cd

1．

x

由于AC

a

b，BD

c

d，又由于BD

2AC，于

<第8题）

是

c

d

2ab，c2

2cd

d2

（4a2

2ab

b2），

所以

（4

a2

b2）（c2

d2）8ab

2cd

6，

即4OC2

OD2

6.

9．3

2

1≥0，得1≤x≤1．

解：

由1

x≥0，且x

2

2

y2

1

2

x2

3x

11

2（x

3）2

1．

2

2

2

2

4

16

由于1

<

3

<1，所以当x=

3时，y2

取到最大值1，故a=1．

2

4

4

当x=

1或1时，y2取到最小值1，故b=

2．

2

2

2

所以，a2

b2

3．

2

10．84

解：

如图，设BC＝a，AC＝b，则

a2

b2

352＝1225．①

又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以FE

AF，即

12

b

12

CB

AC

<第10题）

a

b

，故

12（ab）ab．②

由①②得

（a

2

2

b

2

2ab122524（a

b），

b）a

解得a＋b＝49<另一个解－25舍去），所以

a

b

c

49

35

84．

三、解答题

11．解：

设方程x2

ax

b

0的两个根为

，

，其中

，

为整数，且

≤

，则方程x2

cx

a

0的两根为

1，

1，由题意得

a，

1

1

a，

两式相加得

2

2

1

0，

即

（

2）（

2）

3

，

2

，

2

，

所以

1

或

3

2

；

2

1.

3

，

，

解得

1

或

5

；

3.

1

又由于a

（

），b

，c

（[

1）（

1）]，

所以

a0，b

1，c2

；或者

a

8，

b，1

5

，

c

故a

bc

3

，或29.

12．证明：

如图，延长AP交⊙O2于点Q，

连接AH，BD，QB，QC，QH.

由于AB为⊙O1的直径，

所以∠ADB∠BDQ90°，

故BQ为⊙O2的直径.

<第12题）

于是CQBC，BHHQ.

又由于点H为△ABC的垂心，所以AHBC，BHAC.

所以AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACQH为平行四边形.

所以点P为CH的中点.

13．解：

<1）如图，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为C，D.

设点A的坐标为<0，t），则点B的坐标为<0，-

t）.

设直线PQ的函数解读式为ykxt,并设P，Q的坐

标分别为（xP，yP）,（xQ，yQ）.由

ykxt，

得

于是xPxQ

于是BC

BD

y

2x2，

3

2x2

kxt

3

3t，即t

2xPxQ.

2

3

2

2

2

2

yP

t

3

xP

t

3

xP

yQ

t

2

2

2

2

3

xQ

t

3

xQ

1，

<第13题）

2xx

2x

（x

x

）

xP

3PQ

3

P

P

Q

.

2

2

xQ

3xPxQ

3xQ（xQ

xP）

又由于PC

xP

，所以BC

PC.

QD

xQ

BD

QD

由于∠BCP∠BDQ90，所以△BCP∽△BDQ，

故∠ABP=∠ABQ.

<2）解法一设PCa，DQb，不妨设a≥b>0，由<1）可知

∠ABP=∠ABQ30，BC=3a，BD=3b，

所以AC=3a2，AD=23b.

由于PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ.

于是PCAC，即a3a2，

DQADb23b

所以ab3ab．

由<1）中xPxQ

3

t，即

ab

3，所以ab

3，a

b

33，

2

2

2

2

于是可求得a

2b

3.

将b

3代入y

2x2，得到点Q的坐标<

3，1）.

2

3

2

2

再将点Q的坐标代入y

kx1，求得k

3.

3

所以直线PQ的函数解读式为y

3

1.

x

3

根据对称性知，所求直线

PQ的函数解读式为y

3

3

x

1，或yx1.

3

3

解法二设直线PQ的函数解读式为y

kx

t,其中t1.

由<1）可知，∠ABP=∠ABQ

30，所以BQ

2DQ.

故

2xQ

xQ2

（yQ

1）2.

将yQ

2xQ2代入上式，平方并整理得

3

4xQ415xQ2

90，即（4xQ2

3）（xQ2

3）

0.

所以xQ

3或3.

2

又由（1>得xPxQ

3t

3，xP

xQ3k.

2

2

2

若xQ

3，代入上式得

xP

3，从而k

2

（xPxQ）

3.

2

3

3

同理，若xQ

3，可得xP

3，从而k

2（xP

xQ）

3.

2

3

3

所以，直线PQ的函数解读式为

3

x

1，或y

3

1.

y

x

3

3

14．解：

如图，作△ABQ，使得

QAB

PAC，ABQ

ACP，则△ABQ∽△ACP.

由于AB2AC，所以相似比为2.

于是

AQ

2AP

23，BQ

2CP4

．

<第14题）

QAP

QAB

BAP

PAC

BAP

BAC

60.

由AQ:

AP

2:

1知，APQ90

，于是PQ

3AP

3．

所以BP2

25

BQ2

PQ2，从而

BQP

90．

于是

AB2

PQ2

（AP

BQ）2

288

3.

故SABC

1ABACsin60

3AB26

73．

2

8

2

申明：

所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用

途。