3、相关定理：
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．
例题解析
a2
a
【例1】在平面直角坐标系内，A（-3，-tan30︒），B（，0），A的半径为4，
试说明点B与A的位置关系．
【例2】过一个点可以画个圆，过两个点可以画个圆，过三个点可以画
个圆．
【例3】已知，如图，在O中，AB、BC为弦，OC交AB于点D．
求证：
（1）∠ODB>∠OBD；
（2）∠ODB>∠OBC．
O
B
AD
C
O
l
H
【例4】如图，O的半径为15，O到直线l的距离OH=9，A、B、C为直线l上的三个点，AH=9，QH=12，RH=15，请分别说明点A、B、C与O的位置关系．
【例5】若A（a，-27）在以点B（-35，-27）为圆心，37为半径的圆上，求a的值．
【例6】如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆．
A
B
【例7】如图，CD是半圆的直径，O是圆心，E是半圆上一点，且∠EOD=45︒，A是
DC延长线上一点，AE与半圆交于B，若AB=OC，求∠EAD的度数．
E
B
D
O
C
A
【例8】已知，如图，AB是O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作EF//AB．
求证：
∠ABE=1∠CBE．
2
C
EDF
AOB
【例9】已知：
AB是O的直径，点P是OA上任意一点，点C是O上任意一点．求证：
PA≤PC≤PB．
模块二：
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
知识精讲
1、圆心角、弧、弦、弦心距的概念
圆心角：
以圆心为顶点的角叫做圆心角；
弧：
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；
弦：
连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；弦心距：
圆心到弦的距离叫做弦心距．
2、半圆、优弧、劣弧
C
A
O
B
半圆：
圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：
大于半圆的弧叫做优弧．
劣弧：
小于半圆的弧叫做劣弧．
如图，以A、C为端点的劣弧记作AC，读作“弧AC”；以A、C为端点的优弧记作ABC，读作“弧ABC”．
3、等弧和等圆
能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB与A'B'是等弧，记作
AB=A'B'．
半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．
4、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
5、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．
例题解析
【例10】下列命题中真命题的个数是（）
○1相等的圆心角所对的弧也相等；
○2在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等；
○
3A、B是O上任意两点，则AO+BO等于O的直径长；
○4三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例11】一条弦把圆分成1:
3两部分，则弦所对的圆心角为°．A
【例12】如图，在O中，AB=AC，∠B=70︒，则∠BAC=．
O
BC
A
O
C
B
D
【例13】如图，已知O的半径是6，∠BOD=30︒，BD=BC，CD=．
【例14】如图，O1和
O2是等圆，P是O1O2的中点，过点P作直线AD交
O1于点A、
B，交
O2于点C、D．
D
C
BP
A
求证：
AB=CD．
A
D
E
O
C
B
【例15】已知，如图，AB、CD是O的直径，弦AE//CD，联结CE、BC．求证：
BC=CE．
【例16】如图，O是∆ABC的外接圆，AO平分∠BAC，∠AOB=∠BOC，判断∆ABC
的形状，并说明理由．A
O
BC
C
D
A
M
ON
B
【例17】已知，如图，AB是O直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：
AC=BD．
【例18】如图，以点O为圆心的圆弧上依次有四个点A、B、C、D，且∠AOB
O
A
D
B
C
求证：
四边形ABCD是等腰梯形．
=∠COD．
模块三：
垂径定理
知识精讲
1、垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
2、相关结论
（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．
（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．
（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．
总结：
在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．
例题解析
【例19】O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长为．
【例20】在半径为2的O中，弦AB的长为22，则弦AB所对的圆心角∠AOB=°．
【例21】如图，O是∆ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，点E和点F
C
E
O
F
A
D
B
分别是边AC和BC的中点．求证：
四边形CEDF是菱形．
【例22】如图，一根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分，此时水面宽AB
为0.6米，污水深CD为0.1米，求圆形的下水管道的直径．
O
A
D
B
C
【例23】如图，在O中，弦CD、EF的延长线相交于点P，G、H分别是CD、EF的
CG
Q
OD
E
R
F
P
H
中点，GH与PC、PE分别相交于Q、R两点，试判断∆PQR的形状，并证明所得到的结论．
【例24】如图，P是O的弦AB的中点，PC⊥OA，垂足为C，求证：
PAPB=ACAO．
B
P
A
C
O
O
B
C
A
【例25】位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小智和小方沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长240米，A到BC的距离为5米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．
【例26】如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD=22，BD=3，则
AB的长为．C
B
H
O
D
A
3
3
【例27】已知O的半径r=4，AB、CD为O的两条弦，AB、CD的长分别是方程
x2-（4
+4）x+16
=0的两根，其中AB>CD，且AB//CD，求AB与CD间
的距离．
【例28】已知，如图，
O1与
O2交于A、B，过A的直线分别交
O1与
O2于M、N，
B
P
N
C
A
M
C是MN的中点，P是O1O2的中点．
3
【例29】如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为
E，AE=EC，AB=
2AE，且BD=2
，求四边形ABCD的面积．
A
B
D
E
O
C
【例30】如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90︒，点C是弧AB上的一个动点
（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）在∆DOE中是否存在长度保持不变的边？
如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．
B
D
C
E
O
A
（2）设BD=x，∆DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
随堂检测
【习题1】已知
半径为5，若点P不在
上，则线段OP的取值范围为
O
O
．
【习题2】如图，AB是直径，BC=CD=DE，∠BOC=40︒，则∠AOE=．
ED
C
AOB
【习题3】如图，为方便三个村庄居民子女的上学问题，上级镇政府决定在A、B、
B
C三个村庄旁边造一所学校，要求它到各村庄的距离相等，请你在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹）
A
C
A
C
EF
O
BD
【习题4】如图，AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∠OEF=25︒，求∠EOF的度数．
A
D
B
E
C
【习题5】如图，在∆ABC中，∠B=90︒，∠A=60︒，以点B为圆心，AB为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E．求证：
（1）AD=2DE；
（2）D是AC的中点．
AOB
D
C
E
【习题6】如图，AB为O直径，E为BC的中，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=．
C
E
F
O
D
【习题7】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD），点O是CD的圆心，其中CD=600米，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90米，求这段弯路的半径．
A
O
B
C
【习题8】如图，在∆ABC中，∠A=70︒，O截∆ABC的三边所得的弦长都相等，求∠BOC的度数．
【习题9】已知，如图，∆ABC是等边三角形，AB是O的直径，AE=EF=FB，
C
A
M
N
O
B
E
F
CE、CF交AB于点M、N．求证：
AM=MN=NB．
【习题10】如图，AB为O的直径，CD为弦，过点C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于点N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．
M
B
A
N
O
C
D
课后作业
【作业1】在下列命题中，正确的个数是（）
○1圆心角相等，则它们所对的弦必相等；
○2经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆；
○3直径平分弦，则必垂直于弦；
○4如果同圆中，两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【作业2】在∆ABC中，∠C=90︒，D、E分别是AB、AC的中点，AC=7，BC=4．若以点C为圆心，BC为半径作圆，判断点D、E与C的位置关系．
【作业3】已知直线a和直线外两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a
B
上．
A
a
【作业4】已知O外一点A和圆上的点最大距离为23厘米，最小距离为10厘米，则O的半径为厘米．
【作业5】如图，在O中，2AB=BC，试确定AB与2BC的大小关系．
B
A
O
C
DE
FC
AG
O
B
【作业6】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G、B、F、E，GB=8厘米，AG=1厘米，DE=2厘米，则EF=厘米．
P
【作业7】已知点A（1，0），B（4，0），P是经过A、B两点的一个动圆，当与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为3时，求圆心P的坐标．
C
B
A
P
O
【作业8】已知，如图，在O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB的中点，
AB、OC相交于P．
求证：
四边形OACB为菱形．
C
A
P
O
B
D
E
F
【作业9】已知：
过圆O内一点P作弦AB、CD，且AB=CD，在BD上取两点E、F，且BE=DF．
求证：
直线PO是EF的垂直平分线．
【作业10】如图，
O1与
O2交于A、B，M为O1O2的中点，过点A作EF⊥AM分
别交O1与
O2于点E、F．若∠O1AO2=90︒，AO1
AO2=O1O2=m（m≥2），
求EF的长．
B
M
F
A
E
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