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课题学习与评价

课题学习与评价

——从南京市2008—2009第二学期初三调研测试卷第27题谈起

南京市雨花台中学杭秉全

一、评析一模第27题

今年南京的数学一模考试的第27题是一道“课题学习”型试题．

题目

27．如图①的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．

（1）如图②，数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm．小明用一张1260cm2的矩形纸方法包好了这本书，展开后如图①所示，求折叠进去的宽度；

（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典．你能用一张41cm×26cm的矩形纸，按图①所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？

请说明理由．

评析本题的数学思考对象是一个与学生生活实际结合密切的“包书问题”．命题者的文字表述处理、数据处理精彩．结合图形，简短的58个字将一个生活实际问题表述的清楚明了，两个问题的文字量也非常小，减轻了学生的阅读负担，有效地保证了学生的数学思考时间与精力；所设置的数据贴合实际，同时很好地控制了解答的计算量，实属不易．

本题的思考解答过程，要求学生经历“‘问题情境→建立模型→求解→解释与应用’的基本过程”，这是课标对初中学段的课题学习提出的具体目标之一．

本题借助实际生活情境提出的包书纸大小的几何图形问题，重点考查了学生建立代数模型的能力．而且对这一几何问题的两小问，需要建立两种不同的代数模型解决．其中问题1需要建立方程模型；问题2解法多样，须分“字典的长与矩形纸的宽方向一致”、“字典的长与矩形纸的长方向一致”两种情况思考包书材料长宽是否够大，方法1：

计算符合包书要求的纸的长、宽，再与所给包书纸大小进行比较，方法2：

建立不等式模型，分析所给包书纸包住字典折叠进去的宽度，与包书要求比较．不同的代数模型建立都要依赖于学生通过分析、总结、概括从问题背景中抽象出相应的数量关系，因而，数量关系的分析是解决问题的关键之所在．根据本题的数据设计，还可以用包书纸的面积计算、比较，得出矩形纸不能包好这本字典．当然，所给包书纸面积大小符合要求，只是能包好这本字典的必要条件，但不充分，如果面积大小达不到要求，一定包不住；如果面积大小符合要求，还必须做长与宽的分析，才能得出结论．

由本题提供的良好情境和解题思考，还可拓展联想到：

报纸包卷起来的挂历（圆柱体）、报纸包一条香烟（长方体），报纸的长与宽与所包物体的长与宽不一致，会带来更多的思考与探究，又可以形成一个新的课题学习．

二、对“课题学习”的认识

初中数学学习包括“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。

其中“课题学习”归属于“实践与综合应用”这一领域。

“课题学习”在课标中有教学目标要求，在教材中有教学的内容与素材，在教参中有教学课时要求．所以在中考中，一定会通过相应的试题为载体，对这部分的教与学进行考查．它是近几年来中考的热点、亮点之一，不少地区，包括江苏几个市在近几年中考命题的实践与探索中，对“课题学习”的考查已逐渐形成了自己的特色．所以应引起我们的高度重视，在后续的中考二轮复习中，应进行专题复习．

下面就“课标要求”、“课题素材”两个方面对“课题学习”进行一个再认识．

（一）课标要求

在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．

在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题．

具体目标

1．经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程．

2．体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识．

3．获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．

4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．

可见，“课题学习”是一种具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性的学习活动．强调密切联系实际、综合应用知识、以探索为主线的解决问题的活动．

这些目标和特点是可以通过试题解答加以考查的．

（二）课题素材

在二轮专题复习时，课题学习的素材选择丰富，下列素材大家供大家做复习参考．

素材选择1《中考指导书》第十章课题学习

在《中考指导书》第十章课题学习中设计了：

拼图问题、格点问题、储蓄问题、分割问题、统筹问题、测量问题、覆盖问题．

教学建议：

课前布置准备，课上做好交流，教师引导提炼，以期提高效率．

确保学生充足的独立思考时间，因为教师、其他学生的思维不能取代学生个人的思维，即使听教师分析、与同学交流讨论也要建立在有学生自己的独立思考的基础上，这样才能收获更实、实现真正意义上的能力提升．

素材选择2《苏科版教材》中部分“阅读”、“数学活动”、“读一读”、“课题学习”的内容。

①“阅读、读一读”

“读一读、阅读”通常介绍与本节、本章内容有关的知识或思想方法．对渗透在“过程”中的基本思想方法，加以简要介绍，以引导学生学会“数学思考”．

有利于实现“获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识”这一课标对课题学习提出的具体目标．

如：

年级

章节

栏目

课题

内容解读

七上

第二章有理数

阅读

分类

分类的思想方法

七上

第三章用字母表示数

阅读

归纳

归纳的思想方法

七下

第七章平面图形认识二

阅读

特殊化

特殊与一般的思想方法

七下

第九章从面积到乘法公式

阅读

互逆变形

逆向思考的思想方法

七下

第十章二元一次方程组

阅读

转化

转化的思想方法

八上

第四章数量、位置的变化

阅读

有趣的坐标系

用多维坐标系表示事物、现象的方法

八下

第八章分式

阅读

类比

类比的思想方法

九上

第一章图形与证明二

读一读

倒过来想

探求证明途径中，从结论出发逆推的方法

九下

第六章二次函数

读一读

学会“读”图

从函数图象中，“读”出函数图象增减性、函数与方程、函数与不等式关系等信息

②部分“数学活动、课题学习”

“数学活动、课题学习”通常是引导学生应用本章知识和方法解决一些实际问题．为学生提供了做数学的机会，设计突出“动”与“用”两个字，引导学生在活动中思考，更好的感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验．

部分“数学活动、课题学习”密切联系实际，有利于实现使学生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”这一课标对课题学习提出的具体目标．

年级

章节

栏目

课题

内容解读

七上

第六章平面图形的认识

（一）

数学活动

测量距离

设计了测量两点间的距离和点到直线的距离的活动．使学生经历应用所学知识解决实际问题的过程；丰富对有关图形知识的认识，发展共建观念

七上

课题学习

制作无盖的长方体纸盒

设计了运用正方形纸片制作无盖的长方体纸盒的活动，提出了怎样制作才能使无盖纸盒容积尽可能大的思考和制作要求．使学生经历“实际问题→数学问题→建立数学模型→运用所学知识解决问题”的过程

八下

第十章图形的相似

数学活动

测量物体的高度

选择利用平行投影、中心投影、光学原理或视点、视线、盲区等知识，建立“相似”的模型，解决高大物体的高度测量问题

九上

第四章一元二次方程

数学活动

矩形绿地中的花圃设计

以“在长宽确定的矩形绿地中设计面积为绿地面积一半的花圃”为背景，使学生经历“问题情境→建立医院二次方程模型→方程求解→解释与应用”的过程

九下

第七章锐角三角函数

数学活动

测量建筑物的高度

建立“直角三角形模型”，综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题（即：

底部可到达与底部不可到达的物体高度测量问题）

③还有一部分“数学活动”突出数学知识，有利于实现“使学生体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识”这一课标对课题学习提出的具体目标．

如：

年级

章节

栏目

课题

内容解读

七下

第九章从面积到乘法公式

数学活动

拼图公式

渗透了“数形结合”的思想，将整式乘法与拼图的面积计算联系起来．使学生理解整式乘法的几何意义，矩形拼图中的等量关系支撑．获得一些研究问题的方法和经验

八下

第八章分式

数学活动

分式游戏

将分式有关概念的理解，分式的计算、解分式方程这些数学技能训练镶嵌到一个简单、有趣、互动的纸片设计、摆放游戏中．展现了活泼、灵活的问题背景设计方式

八下

第十一章图形与证明

（一）

数学活动

尝试“证明”

设计了4个问题（简单的数字幻方、算式谜问题，有趣的纸片叠放顺序、图书交换阅读过程分析问题），使学生在探索问题结论中获得一些研究问题的方法和经验，在尝试证明中发展有条理表达

九上

第一章图形与证明二

数学活动

折纸与证明

设计用长方形制片折正方形、正方形纸片折等边三角形和用纸条折一个正五边形的活动，使学生经历“折纸操作→合情推理的猜想判断→演绎推理的猜想判断的证明”

九上

第三章二次根式

数学活动

画画算算

过边角顶点画不同大小的格纸中正方形与长方形的对角线，运用二次根式运算，计算它们的长度，发现一些有趣的规律

九下

第九章概率的简单应用

数学活动

估计圆周率的值

以“投针实验”为背景，使学生经历“设计策略→建立概率模型→实验检验”的过程；体会统计思想和概率的意义

素材选择3《数学综合实践活动（苏科版）》中有不少好的课题

《数学综合与实践活动》教材是依据《标准》和《教科书》编写的，是用于指导学生动手操作实践的活动性材料。

旨在落实《课标》中“综合与实践”这一领域的课程目标，力求与苏科版初中数学教材融为一个有机的整体，进一步强化教材“做”数学的特点，为学生提供“做”数学的材料，充分体现以“生活·数学”、“活动·思考”为主线的编写理念。

在编写内容上，既有生动有趣的数学探究活动，又有丰富内涵的研究性课题学习．

在呈现方式上，既有以动手操作为主的数学实验，又有以动脑思维的思辩研究；

在目标设置，既有经历实验、操作、猜想、验证等过程性目标，又有体现发现、提出、分析和解决问题的结果性目标。

每个课题由“活动准备”、“活动内容”、“活动创新”、“活动收获”、“相关链接”5个板块绘成，可以在教师的指导下课堂上完成，也可以作为学生数学课外活动的辅导材料。

其中，有些内容，值得大家再“课题学习”复习时，关注、研究．

如：

年级

章节

课题

内容解读

七上

第四章走进图形世界

表面展开与材料利用

以利用“格纸”制作正方体表面展开图为背景，研究表面展开图的形状及其在画线放样时如何合理组合，因为不同的组合方式直接关系到材料的利用率，让学生收获实验、观察、计算、思考、想象、合作等活动经验．此外，在“活动创新”中，将正方体展开图问题，拓展为截去一角的正方体，留给学生更加广阔的思维、探究空间．

七下

第十二章数据在我们周围

摸球实验

设计了两种样本选定不同的“摸球实验”，估计不透明布袋中黄色乒乓球的数量，让学生认识到数学实验的价值，切实体会到“用样本估计总体”的数学思想，感受到数学在解决问题中的价值．在“相关链接”中介绍了两种常用的抽样方法

八上

第四章数量、位置的变化

棋盘上马的行踪

以中国象棋中，马走日子为背景，设计了“马回原位”与“走遍棋盘”两个活动，使学生在活动中，体会用两个数据刻画“马”的位置，准确、便于交流和规律思考．两个活动均具有较强的探究性，在“活动创新”中，将“马”的行走步伐进行了拓展，思考更一般性的结论．其中活动2就是寻找棋盘上马的“哈密顿圈”，关于“哈密顿”问题在相关链接中作了简单介绍

八下

第一章一元一次不等式

招聘----货物调运中的数学问题

活动形式新颖，以“招聘货物调运参谋”为活动背景，进行货物调运中的数学思考，加深对“三个一次”即一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的内在联系的理解和掌握．初步了解一次函数、一元一次不等式在实际生活、生产中的应用，渗透分类讨论、数形结合的思想方法

八下

第二章分式

通过类比解决问题

设计了两个“用已有方法解决新问题”的活动．活动一要求运用阅读材料中提供的计算方法进行计算；活动二要求在探讨得出两个分数大小比较的多种方法之后，进行分式大小的比较思考．让学生体会到数学中类比的思想．认识到分式与分数、不等式与等式、函数与方程等都可以类比．

八下

第五章图形的证明一

图形旋转巧转化

介绍了旋转变换的概念，例说了旋转变换在解决问题中的巧妙与简洁，而后依据有简单到复杂的原则设计了五个可运用旋转变换解决问题的思考活动，使学生获得利用图形的旋转简洁解题的经验．“活动创新”以图形旋转为问题背景，提出旋转图形中图形数量关系的探究与说理，发展学生有条理思考、表达的能力

九全

第一章图形与证明二

折叠猜想证明

设计了折叠、展开、剪拼、猜想、证明等数学活动，其中活动一从将矩形沿对角线折叠展开，活动二折出三角形的中位线，活动三折出矩形对称中心，思考缺角矩形的等积折叠．通过这些活动，使学生认识到：

把图形沿末条直线折叠，则重合部分关于折痕成轴对称．由轴对称图形的性质可以发现很多数学结论，这些结论又有广泛的应用

九全

第四章一元二次方程

一元二次方程与纸盒设计

活动一同课本该章中的数学活动“矩形绿地中的花圃设计”；活动二是将七上课题学习“制作无盖的长方体纸盒”的制作材料：

正方形制片变成了长为30cm，宽为20cm的矩形纸片，并且对底面面积大小提出了要求；活动三裁剪矩形纸板中间；活动创新对矩形纸片制作无盖的长方体纸盒进行了无底面积要求更一般性的探究．通过这些剪、拼、算的活动，使学生充分感受一元二次方程在实际中的应用、在操作决策中的作用，丰富了学生寻找数量关系的经验．

九全

第六章二次函数

能安全通过拱桥吗

两个活动与活动创新，提出了三组探究性问题，通过这些不同现实情境下的探究性问题的思考，使学生认识到：

建立直角坐标系，将抛物线形拱桥数学化，进而探求抛物线的函数关系式，从而获得问题的解决是条一般性的思路，体会函数在实际生活中的应用价值

九全

第七章统计的简单应用

生日相同的概率有多大

活动一利用转动自由转动的转盘、抽取扑克牌、计算器生成随机数三种方法估算6个人中2个人同月过生日的概率；活动二尝试运用相关知识（如活动一前面卡通人的提示），计算6个人中2个人同月过生日的概率；活动三探求50人的班级中，至少2人生日相同的概率．使学生经历实验、统计、思考、计算等活动过程，发展合作、交流意识，提高思维水平．认识到：

为了尽可能使实验所的频率稳定与理论概率，用频率估算理论概率尽可能精确，就需要尽可能多地增加调查对象，但费时费力；为了省时省力，用计算器产生随机数进行模拟实验代替实际调查

教学建议：

1．分类回顾，领悟教材编写的整体性、计划性、系统性．

2．挖掘实质，每个课题学习素材背后都有相应的数学内涵，对数学内涵、实质的挖掘过程是个提炼的过程，也是能力提升的过程．

3．适度探索，每个课题学习素材之后都留有很大的继续思考、探索的空间，教师适当地设置一些问题，可拓展学生的思维．

4．关注这些素材中一些能体现探究、可做进一步拓展思考的好的问题素材或思考解决问题的方式，做进一步的研究、开发，如：

拼图公式；关注一些新颖、灵活的问题呈现方式或载体，如：

分式游戏．

三、中考中“课题学习”的评价

在“中考”中较为注重通过对“重要数学活动经验”和“数学基本思想方法”的考查来了解“课题学习”的情况．“归纳与概括”与“抽象与建模”的能力是两个隐形的能力要求，而“实验与操作”的能力和“综合与延伸”的能力则是两个较为显性的要求．

结合课标的目标要求，可将中考对“课题学习”的考查归类为“数学建模型”、“数学探究型”两种类型．

1．数学建模型：

让考生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程．

常见模型有：

代数模型（包括方程、不等式、函数模型），几何模型；数学建模型问题还包括测量型问题与决策性问题．

例1（08南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器▲台．

评析本题问题背景简洁、新颖、具有生活性．解决问题不需要用过多的知识点和复杂的思维、计算过程，从学生的直接回答就能判断其思维状况，设置成填充题是适当的．解决问题的关键是能否建立适当而熟悉的几何模型来分析解决问题．

模型1：

平角模型

过A点画圆的切线，由平角180°，可知在A点安装3台监控角度是65°的监视器即可监控圆所在切线一侧的区域，当然也能监控整个圆形展厅．

模型2：

扇形模型

找到圆心，画出圆周角∠A所对应的圆心角，根据圆心角与圆周角的关系可知，1台监视器可监视圆心角为130°的扇形区域，那么整个圆形展厅可分为3个圆心角为120°的扇形区域，每个区域只需1台监视器，故为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器3台．

模型3：

圆内接四边形模型

设∠A两边与圆周交点分别为点B、C，在

上任取一点D，根据圆内接四边形性质定理，∠BDC＝180°－65°＝115°，则65°＜∠BDC＜2×65°，所以在D处置少安装2台这样的监视器．故为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器3台．

例2（08河北）在一平直河岸

同侧有

两个村庄，

到

的距离分别是3km和2km，

．现计划在河岸

上建一抽水站

，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：

图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为

，且

（其中

于点

）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为

，且

（其中点

与点

关于

对称，

与

交于点

）．

观察计算

（1）在方案一中，

km（用含

的式子表示）；

（2）在方案二中，组长小宇为了计算

的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，

km（用含

的式子表示）．

探索归纳

（1）①当

时，比较大小：

（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②当

时，比较大小：

（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）请你参考右边方框中的方法指导，

就

（当

时）的所有取值情况进行分

析，要使铺设的管道长度较短，应选择方

案一还是方案二？

评析本题以在河边建立水泵站向两个村庄供水，铺设的管道最短为研究背景，建立了两种不同的数学模型：

线的长短的几何模型和不等式的代数模型，并探讨和研究两种数学模型中数量关系．试题提供了包括问题背景、设计方案思路、观察计算结果及归纳总结在内的与建立数学模型相关的信息，有助于考查学生通过分析、总结、概括从问题背景中抽象出相应的数量关系，进而建立模型解决问题的能力．

2．数学探究型：

让考生体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．

例3（08无锡）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：

在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？

（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：

请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

图4

图3

图2

图1

评析这是一道具有现实意义、挑战性和实验操作意义的好题．问题

（1）的解答，需要根据背景正方形的特征，通过分析、操作和计算，找到可以达到预设要求的4个安装点，而且答案的不唯一性，使得操作与探究过程具有多样意义；问题

（2），则给考生的探究空间更大，考生要找到可实现预设要求的最少安装点，就更要经历一个反复“试错”的操作探究过程，并且最终获得正确结果（结果也不唯一）．本题较好的考查了用数学解决实际问题的操作与探究过程，且答案的不唯一，反映了解决问题的多样性，还可展现学生思维个性．

例4（08盐城）阅读理解：

对于任意正实数a、b，∵（

－

）2≥0，　∴a－2

＋b≥0，∴a＋b≥2

，只有当a＝b时，等号成立．

结论：

在a＋b≥2

（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2

，只有当a＝b时，a+b有最小值2

．

根据上述内容，回答下列问题：

若m＞0，只有当m＝▲时，m＋

有最小值▲．

思考验证：

如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝a，DB＝b．试根据图形验证a＋b≥2

，并指出等号成立时的条件．

探索应用：

如图2，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲线y＝

（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

评析本题考查的知识覆盖面大，综合了代数中的数与式的计算、不等式、函数，以及几何中的面积计算、三角形、相似、圆等知识．试题结构是：

代数推理的阅读理解→代数结论几何验证的思考→在联系反比例函数的坐标系情境下，应用结论探索四边形面积的最小值，考查了学生理解能力、知识迁移能力．基于“数形结合”思想层面下的横向知识综合，即代数与几何两个知识领域间知识的综合，较好的体现了课题学习之目标：

体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．