一元二次方程的应用练习.docx

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一元二次方程的应用练习

一．选择题（共12小题）

1．（2016•日照）2015年某县GDP总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP总量实现1210亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为（　　）

A．1.21%B．8%C．10%D．12.1%

2．（2016•台湾）如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？

（　　）

A．

B．

C．2﹣

D．4﹣2

3．（2016•张家口一模）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（2016•东明县一模）某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（　　）

A．8%B．18%C．20%D．25%

5．（2015•济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（　　）

A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm

6．（2015•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：

a2+b﹣1，例如：

把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（　　）

A．3B．﹣1C．﹣3或1D．3或﹣1

7．（2015•潍坊一模）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

8．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　）

A．5B．6C．7D．8

9．（2015•阳新县校级模拟）如图是某朋的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22），若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（　　）

A．32B．126C．135D．144

10．（2015•河西区二模）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（　　）

A．5mB．（5+

）mC．（5+3

）mD．（5+5

）m

11．（2015秋•渝北区期末）已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣10x+k=0的两根，则（　　）

A．k=16B．k=25C．k=﹣16或k=﹣25D．k=16或k=25

12．（2015秋•东平县期末）元旦当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给（　　）人发了短信？

A．10B．11C．12D．13

二．填空题（共5小题）

13．（2016春•房县期末）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请　　　　　　队参赛．

14．（2016春•杭州期末）某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低　　　　　　元．

15．（2016春•嵊州市期中）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，若经x秒后P，Q两点之间的距离为4

，那么x的值为　　　　　　．

16．（2015•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒

个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为　　　　　　时，△PQB为直角三角形．

17．（2015•辽宁校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以2

cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为　　　　　　秒时，△BQP的面积为24cm2．

三．解答题（共6小题）

18．（2016•永州）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

19．（2016•毕节市）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

20．（2016•西宁）青海新闻网讯：

2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．

21．（2016•济宁）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．

（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

22．（2016•繁昌县一模）果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．

（1）求李明平均每次下调的百分率；

（2）小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：

方案一：

打九折销售；

方案二：

不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．

23．（2016•汉川市模拟）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．

（1）P、Q两点从出发开始到几秒？

四边形PBCQ的面积为33cm2；

（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？

点P和点Q的距离是10cm．

一元二次方程的应用练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

A．1.21%B．8%C．10%D．12.1%

【解答】解：

设该县这两年GDP总量的平均增长率为x，根据题意，

得：

1000（1+x）2=1210，

解得：

x1=﹣2.1（舍），x2=0.1=10%，

即该县这两年GDP总量的平均增长率为10%，

故选：

C．

（　　）

A．

B．

C．2﹣

D．4﹣2

【解答】解：

设丁的一股长为a，且a＜2，

∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积，

∴2a+2a=

×22+

×a2，

∴4a=2+

a2，

∴a2﹣8a+4=0，

∴a=

=4±2

，

∵4+2

＞2，不合题意舍，

4﹣2

＜2，合题意，

∴a=4﹣2

．

故选D．

3．（2016•张家口一模）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（　　）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：

依题意得（a+b）2=b（b+a+b），

而a=1，

∴b2﹣b﹣1=0，

∴b=

，而b不能为负，

∴b=

．

故选B．

A．8%B．18%C．20%D．25%

【解答】解：

设每次降价的百分率为x，由题意，得

200（1﹣x）2=128，

解得：

x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）．

答：

每次降价的百分率为20%．

故选C．

5．（2015•济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（　　）

A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm

【解答】解：

正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，

（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300，

解得x1=16，x2=﹣4（不合题意，舍去）；

答：

正方形铁皮的边长应是16厘米．

故选：

D．

6．（2015•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：

a2+b﹣1，例如：

把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（　　）

A．3B．﹣1C．﹣3或1D．3或﹣1

【解答】解：

由题意得：

m2+（﹣2m）﹣1=2，

m2﹣2m﹣3=0，

（m﹣3）（m+1）=0，

解得m1=3，m2=﹣1．

故选D．

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

【解答】解：

设AC交A′B′于H，

∵∠A=45°，∠D=90°

∴△A′HA是等腰直角三角形

设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2﹣x

∴x•（2﹣x）=1

∴x=1

即AA′=1cm．

故选B．

8．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　）

A．5B．6C．7D．8

【解答】解：

根据题意得：

1+x+x（1+x）=49，

解得：

x=6或x=﹣8（舍去），

则x的值为6．

故选：

B．

A．32B．126C．135D．144

【解答】解：

根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：

x，则最大数为x+16，根据题意得出：

x（x+16）=192，

解得：

x1=8，x2=﹣24（不合题意舍去），

故最小的三个数为：

8，9，10，

下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：

15，16，17，

第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：

22，23，24，

故这9个数的和为：

8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．

故选：

D．

10．（2015•河西区二模）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（　　）

A．5mB．（5+

）mC．（5+3

）mD．（5+5

）m

【解答】解：

设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，

根据题意得：

π（x+5）2=2πx2，

解得，x=5+5

或x=5﹣5

（不合题意，舍去）．

故选D．

11．（2015秋•渝北区期末）已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣10x+k=0的两根，则（　　）

A．k=16B．k=25C．k=﹣16或k=﹣25D．k=16或k=25

【解答】解：

当BC是腰，则AB或AC有一个是8，故82﹣10×8+k=0，

解得：

k=16，

当BC是底，则AB和AC是腰，则b2﹣4ac=102﹣4×1×k=100﹣4k=0，

解得：

k=25，

综上所述：

k=16或k=25．

故选：

D．

A．10B．11C．12D．13

【解答】解：

设小明发短信给x个人，由题意得：

1+x+x2=157，

解得：

x1=12，x2=﹣13（不合题意舍去），

答：

小明发短信给x个人给12个人，

故选C．

二．填空题（共5小题）

13．（2016春•房县期末）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请　8　队参赛．

【解答】解：

∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，

∴共7×4=28场比赛．

设比赛组织者应邀请x队参赛，

则由题意可列方程为：

=28．

解得：

x1=8，x2=﹣7（舍去），

所以比赛组织者应邀请8队参赛．

故答案为：

8．

【解答】解：

设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．

根据题意，得[（3﹣2）﹣x]（200+

）﹣24=200．

原式可化为：

50x2﹣25x+3=0，

解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．

故应将每千克小型西瓜的售价降低0.3或0.2元．

故答案为：

0.3或0.2．

，那么x的值为　2或

　．

【解答】解：

∵∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm，

∴AB=6cm．

∴BQ=2x，PB=6﹣x．

∵P，Q两点之间的距离为4

，

∴BQ2+PB2=PQ2，

∴（2x）2+（6﹣x）2=（4

）2，

整理得，5x2﹣12x+4=0，

解得x1=2，x2=

．

故答案为：

2或

．

16．（2015•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒

个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为　2或5+

或5﹣

　时，△PQB为直角三角形．

【解答】解：

作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，

∴∠OPG=45°，

∵OP=

t，

∴OG=PG=t，

∴点P（t，t），

又∵Q（2t，0），B（6，2），

根据勾股定理可得：

PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，

①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，

即：

2t2+[（6﹣2t）2+22]=（6﹣t）2+（2﹣t）2，

整理得：

4t2﹣8t=0，

解得：

t1=0（舍去），t2=2，

∴t=2，

②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，

∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]=2t2，

整理得：

t2﹣10t+20=0，

解得：

t=5±

．

∴当t=2或t=5+

或t=5﹣

时，△PQB为直角三角形．

故答案为：

2或5+

或5﹣

．

cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为　2　秒时，△BQP的面积为24cm2．

【解答】解：

如图1，过D点作DH⊥BC，垂足为点H，

则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．

∴CH=BC﹣BH=14﹣6=8cm．

在Rt△DCH中，∠DHC=90°，

∴CD=

cm．

当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t．

①如图1，当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC=2

t．

又∵DH=HC，DH⊥BC，

∴∠C=45°．

∴在Rt△QCG中，QG=QC•sin∠C=2

t×sin45°=2t．

又∵BP=BC﹣PC=14﹣t，

∴S△BPQ=

BP×QG=

（14﹣t）×2t=14t﹣t2．

当Q运动到D点时所需要的时间t=

=4．

∴S=14t﹣t2（0＜t≤4），

当S=24时，14t﹣t2=24，

解得：

t1=2，t2=12（舍）．

②如图2，当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，

则：

QG=AB=8cm，BP=BC﹣PC=14﹣t，

∴S△BPQ=

BP×QG=

（14﹣t）×8=56﹣4t．

当Q运动到A点时所需要的时间t=

=4+

．

∴S=56﹣4t（4＜t≤4+

），

当S=24时，56﹣4t=24，

解得：

t=8＞4+

，舍去，

综上，当t=2时，S=24，

故答案为：

2．

三．解答题（共6小题）

18．（2016•永州）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种商品每次降价的百分率；

【解答】解：

（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，

依题意得：

400×（1﹣x%）2=324，

解得：

x=10，或x=190（舍去）．

答：

该种商品每次降价的百分率为10%．

（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，

第一次降价后的单件利润为：

400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；

第二次降价后的单件利润为：

324﹣300=24（元/件）．

依题意得：

60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，

解得：

m≥22.5．

∴m≥23．

答：

为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

【解答】解：

（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：

6000（1+x）2=8640

解得：

x=0.2=20%，

答：

该县投入教育经费的年平均增长率为20%；

（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，

所以2017年该县投入教育经费为：

y=8640×（1+0.2）=10368（万元），

答：

预算2017年该县投入教育经费10368万元．

20．（2016•西宁）青海新闻网讯：

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．

【解答】解：

（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：

解得：

答：

每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．

（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．

根据题意可得：

720（1+a）2=2205

解此方程：

（1+a）2=

，

即：

，

（不符合题意，舍去）

答：

2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．

21．（2016•济宁）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入

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